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- 2021-06-16 发布
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1
2021 届高三数学入学调研试题(三)文
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 2{ | 0}A x x x , { | lg(2 1)}B x y x ,则集合 A B ( )
A. 1[0, )2
B.[0,1] C. 1( ,1]2
D. 1( , )2
2.设 x , y R ,则“ 0x y ”是“ 1x
y
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知集合 { | ,0 4}A y y x x , { | 0 3}B x x ,则 ( )A B R ð ( )
A.[0,2] B.[ 2,2) C. ( 2,3) D. (2,3)
4.函数
23( ) lg(3 1)
1
xf x x
x
的定义域是( )
A. ( ,1) B. 1( ,1)3
C. 1[ ,1)3
D. 1( , )3
5.已知命题“ x R ,使 2 12 ( 1) 02x a x ”是假命题,则实数 a 的取值范围是( )
A. ( , 1) B. ( 1,3) C. ( 3, ) D. ( 3,1)
6.已知 3log 0.3a , 0.3log 0.2b , 0.20.3c ,则( )
A. a b c B. a c b C. b c a D. c a b
7.曲线 3 2 1y x x 在点 (1,0) 处的切线方程为( )
A. 1y x B. 1y x C. 2 2y x D. 2 2y x
8.函数 2sin
2 2x x
xy
的图象大致为( )
A. B.
C. D.
9.已知函数 ( )f x 的图象关于 y 轴对称,且 ( )f x 在 ( ,0] 上单调递减,则满足 1(3 1) ( )2f x f 的
实数 x 的取值范围是( )
A. 1 1,2( )6
B. 1 1,2( )6
C. 1 1,3( )6
D. 1 1,3( )6
10.已知 ( 1)f x 是定义在 R 上的奇函数, 2(2)f ,且对任意 1 1x , 2 1x , 1 2x x ,
1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
恒成立,则使不等式 2| (2 log ) | 2f x 成立的 x 的取值范围是( )
A. (0,1) B. (0,2) C. (4, ) D. (1,4)
11.若存在 x , y , *z R ,满足
2
xzy e
z
,且 2x z xe
,则 ln lny x 的取值范围是( )
A. 1[ ,1]2
B.[ ln 2, 1 ln 2]e
C. 1[1 ln 2, ]2
D.[1 ln 2, 1 ln 2]e
12.已知函数
2 2 , 0( )
ln( 1), 0
x x xf x
x x
,若方程 1( ) 2f x mx m 恰有四个不相等的实数根,
则实数 m 的取值范围是( )
A.
1
21[ , )2 e
B.
1
21( , )2 e
C.
1
21( , )2 e D.
1
2 1( , )2e
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.
1
2
0
(2 1 )dx x x ________.
14.已知命题“ x R , 2 1 0mx x ”是假命题,则实数 m 的取值范围是________.
2
15.某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 kx by e ( 2.718e
为自然对数的底数,k 、b 为常数),若该食品在 0℃的保鲜时间是192小时,在 22℃的保鲜时间是
48 小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.
16.若 0 1a b ,e 为自然数( 2.71828e ),则下列不等式:① 1 1 a bb a ;② ln ln a be e a b ;
③ log ( 1) log ( 1)a ba b ,其中一定成立的序号是________.
三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)已知集合 2{ | 2 16}2
xA x , { | 3 2 2 1}B x a x a .
(1)当 0a 时,求 A B ;
(2)若 A B ,求 a 的取值范围.
18.(12 分)己知 :| 2 5| 3p x , 2: ( 2) 2 0q x a x a .
(1)若 p 是真命题,求对应 x 的取值范围;
(2)若 p 是 q的必要不充分条件,求 a 的取值范围.
19.(12 分)已知函数 2 1( ) 2 1
x
xf x
.
(1)若 ( ) 3 2 2f a ,求 a 的值;
3
(2)判断函数 ( )f x 的奇偶性,并证明你的结论;
(3)求不等式 1
1 2( ) ( ) 02 4x xf f 的解集.
20.(12 分)已知函数 ln( ) 1
a x bf x x x
,曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2 3 0x y .
(1)求 a ,b 的值;
(2)证明:当 0x 且 1x 时, ln( ) 1
xf x x
.
4
21 .( 12 分 ) 定 义 域 为 R 的 函 数 ( )f x 满 足 : 1( ) 22f , 且 对 于 任 意 实 数 x , y 恒 有
( ) ( ) ( )f x y f x f y ,当 0x 时, 0 ( ) 1f x .
(1)求 (0)f 的值,并证明当 0x 时, ( ) 1f x ;
(2)判断函数 ( )f x 在 R 上的单调性并加以证明;
(3)若不等式 2 2 2(( 2) (2 1) 2) 4f a a x a x 对任意 [1,3]x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
22.(12 分)已知函数 ( ) ( )xf x e x a a R .
(1)当 0a 时,求证: ( )f x x ;
(2)讨论函数 ( )f x 零点的个数.
2021 届高三入学调研试卷
文 科 数 学(三)答 案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】因为 { | 0 1}A x x , 1{ | }2B x x ,所以 1{ | 1}2A B x x .
2.【答案】A
【解析】∵ 0x y ,∴ 1 0y
,∴ 1 1x yy y
,即 1x
y
,
∴“ 0x y ”是“ 1x
y
”的充分条件;
当 2x , 1y 时, 1x
y
,但 x y ,所以“ 0x y ”不是“ 1x
y
”的必要条件.
3.【答案】D
【解析】∵ { | ,0 4} { | 0 2}A y y x x y y , { | 0 3}B x x ,
∴ { | 0} { | 2}A y y y y R ð ,∴ ( ) (2,3)A B R ð .
4.【答案】B
【解析】函数
23( ) lg(3 1)
1
xf x x
x
的定义域是 1 0
3 1 0
x
x
,解得
1
1
3
x
x
,
所以函数 ( )f x 的定义域是 1{ | 1}3x x .
5.【答案】B
【解析】因为命题“ x R ,使 2 12 ( 1) 02x a x ”是假命题,
所以 x R , 2 12 ( 1) 02x a x 恒成立,
所以 2( ) 11 4 2 02Δ a ,解得 1 3a ,
故实数 a 的取值范围是 ( 1,3) .
6.【答案】B
【解析】 3log 0.3 0a , 0.3 0.3log 0.2 log 0.3 1b , 0.2 00 0.3 0.3 1c , a c b .
7.【答案】A
【解析】验证知,点 (1,0) 在曲线上,
因为 3 2 1y x x , 2' 3 2y x ,所以 1| 1xk y ,得切线的斜率为1,所以 1k ,
所以曲线 ( )y f x 在点 (1,0) 处的切线方程为 0 1 ( 1)y x ,即 1y x .
8.【答案】A
【解析】记 2sin
2 2x x
xy
为 2sin( ) 2 2x x
xf x
, 2sin( ) 2sin( ) ( )2 2 2 2x x x x
x xf x f x
,
∴ ( )f x 是奇函数,排除 C;
当 0 πx 时, 2sin 2sin( ) sin (0,1)2 2 2 2 2x x x x
x xf x x
,故 B、D 错误.
9.【答案】B
【解析】由题意 ( )f x 是偶函数,且在[0, ) 上单调递增,
∴不等式 1(3 1) ( )2f x f 可变为 1(| 3 1|) ( )2f x f ,
∴ 1|3 1| 2x ,解得 1 1
2 6x .
10.【答案】D
【解析】因为函数 ( 1)f x 的图象是由函数 ( )f x 的图象向左平移1个单位长度得到,
( 1)f x 是定义在 R 上的奇函数,所以函数 ( )f x 的图象的对称中心为点 (1,0) ,
因为对任意 1 1x , 2 1x , 1 2x x , 1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
恒成立,
所以函数 ( )f x 在 ( ,1] 上单调递减,所以函数 ( )f x 在 R 上单调递减,
因为 2(2)f ,所以 (0) 2 2( )f f ,
又 2| (2 log )| 2f x ,所以 22 (2 log ) 2f x ,即 2(2) (2 log ) (0)f f x f ,
所以 20 2 log 2x 即 20 log 2x ,所以1 4x ,
所以使不等式 2| (2 log ) | 2f x 成立的 x 的取值范围是 (1,4) .
11.【答案】D
【解析】由题意 ln ln ln ln ln ln ln ln 2 ln2
x
zy y x e x x xy x x z z z z z
,
∵ 2x z xe
,∴ 1
2
x ez
,令 1[ , ]2
x t ez
,
设 ( ) ln ln 2f t t t ,则 1 1( ) 1 tf t t t
,
∴ ( )f t 在 1[ ,1]2
上单调递减,在[1, ]e 上单调递增,最小值为 (1) 1 ln 2f ,
由于 1 1 1 1( ) ln ln 22 2 2 2f , ( ) 1 ln 2f e e ,
∴ ln lny x 的取值范围是[1 ln2, 1 ln2]e .
12.【答案】B
【解析】画出函数 ( )f x 的图象如图中实线部分所示,
方程 1( ) 2f x mx m 恰有四个不相等的实数根,
即函数 ( )y f x 与函数 1
2y mx m 的图象有四个不同的交点,
而 1
2y mx m 是斜率为 m ,过定点 1( 1, )2C 的直线,
如图,当直线 1l 与 ln( 1)( 0) y x x 相切时,设切点 0 0( ,ln( 1))P x x ,
又 1' 1y x
,可得
0
0 0
1ln( 1)1 2
1 1
x
x x
,解得
1
2
0 1x e ,斜率为
1
2e
,
当直线 2l 过 (0,0) 时,斜率为
1
12
1 2
,
所以当
1
21
2 m e
时,两函数的图象有 4 个不同的交点.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.【答案】 π1 4
【解析】因
1 1 1
2 2
0 0 0
(2 1 )d (2 )d 1 dx x x x x x x ,而
1
2 1 2 2
0
0
(2 )d | 1 0 1x x x ,
1
2
0
( 1 )dx x 的几何意义为圆 2 2 1x y 在第一象限所对应的面积为 π
4
,
故应填答案 π1 4
.
14.【答案】 1
4m
【解析】若命题“ x R , 2 1 0mx x ”是假命题,则“ x R , 2 1 0mx x ”为
真命题,则只需满足 0
1 4 0
m
Δ m
,解得 1
4m .
15.【答案】 24
【解析】由题意可得, 0x 时, 192y ; 22x 时, 48y ,
代入函数 ekx by ,可得 192be , 22 48k be ,即有 11 1
2
ke , 192be ,
则当 33x 时, 33 1 192 248
k by e .
16.【答案】①③
【解析】对于①,若 1 1 a bb a 成立.两边同时取对数可得 1 1ln lna bb a ,
化简得 ( 1)ln ( 1)lna b b a ,
因为 0 1a b ,则 1 0a , 1 0b ,
不等式两边同时除以 ( 1)( 1)a b 可得 ln ln
1 1
b a
b a
,
令 ln( ) 1
xf x x
, (0,1)x ,则 2 2
1 1( 1) ln 1 ln
( ) ( 1) ( 1)
x x xx xf x x x
,
当 (0,1)x 时, 11 ln 0xx
,所以 ( ) 0f x ,即 ln( ) 1
xf x x
在 (0,1)x 内单调递增,
所以当 0 1a b 时, ( ) ( )f b f a ,即 ln ln
1 1
b a
b a
,所以 1 1 a bb a ,故①正确;
对于②,若 ln ln a be e a b ,化简可得 ln lna be a e b ,
令 ( ) lnxg x e x , (0,1)x ,则 1( ) xg x e x
, 2
1( ) xg x e x
,
由 ( ) 0g x 可知 1( ) xg x e x
在 (0,1)x 内单调递增,
而 (0)g , (1) 1 0g e ,所以 1( ) xg x e x
在 (0,1)x 内先负后正,
因而 ( ) lnxg x e x 在 (0,1)x 内先递减再递增,
所以当 0 1a b 时无法判断 lnae a 与 lnbe b 的大小关系,故②错误;
对于③,若 log ( 1) log ( 1)a ba b ,
令 ( ) log ( 1)xh x x ,利用换底公式化简可得 ln( 1)( ) ln
xh x x
, (0,1)x ,
则 2 2
ln ln( 1)
ln( 1) ln ( 1)ln( 1)1( ) [ ]ln (ln ) ( 1)(ln )
x x
x x x x xx xh x x x x x x
,
当 (0,1)x 时, ln 0x x , ( 1)ln( 1) 0x x ,
所以 ln ( 1)ln( 1) 0x x x x ,即 ( ) 0h x ,则 ln( 1)( ) ln
xh x x
在 (0,1)x 内单调递减,
所以当 0 1a b 时, ln( 1) ln( 1)
ln ln
a b
a b
,即 log ( 1) log ( 1)a ba b ,所以③正确,
综上可知,正确的为①③.
三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17.【答案】(1) 1{ | 1}2x x ;(2) 3( , ] [2, )4
.
【解析】(1) 1{ | 4}2A x x , 0a 时, { | 2 1}B x x ,
∴ 1{ | 1}2A B x x .
(2)∵ A B ,
∴当 B 时,3 2 2 1a a ,即 3a ,符合题意;
当 B 时,
3
12 1 2
a
a
或 3
3 2 4
a
a
,解得 3
4a 或 2 3a ,
综上, a 的取值范围为 3( , ] [2, )4
.
18.【答案】(1)1 4x ;(2) [1,4]a .
【解析】(1) :|2 5| 3p x 为真命题,即| 2 5| 3x ,解得1 4x .
(2)根据(1)知: :1 4p x , 2: ( 2) 2 ( 2)( ) 0q x a x a x x a ,
p 是 q的必要不充分条件,
当 2a 时, : 2q x a ,故满足 4a ,即 2 4a ;
当 2a 时, : 2q x ,满足条件;
当 2a 时, : 2q a x ,故满足 1a ,即1 2a ,
综上所述, [1,4]a .
19.【答案】(1) 1
2a ;(2)奇函数,证明见解析;(3) ( 1, ) .
【解析】(1)若 ( ) 3 2 2f a ,则 2 1 2 1 2 21 3 2 22 1 2 1 2 1
a a
a a a
,
得 2 2 2 22 1a
,即 2 12 1 2 1
2 2 2 2 1
a
,
则 2 2a , 1
2a .
(2)函数 ( )f x 的定义域为 R ,
2 1 1 2 2 1( ) ( )2 1 1 2 2 1
x x x
x x xf x f x
,即函数 ( )f x 是奇函数.
(3)由不等式 1
1 2( ) ( ) 02 4x xf f ,得 1 1
1 2 2( ) ( ) ( )2 4 4x x xf f f ,
∵ 2 1 2 1 2 2( ) 12 1 2 1 2 1
x x
x x xf x
,∴ ( )f x 在 R 上是增函数,
不等式等价为 1
1 2
2 4x x ,即 2 1
2 2
22 22
x x
x
,即 2 1x x ,得 1x ,
即不等式的解集为 ( 1, ) .
20.【答案】(1) 1a , 1b ;(2)证明见解析.
【解析】(1) 2 2
1( ln )
( ) ( 1)
xa x bxf x x x
,
由于直线 2 3 0x y 的斜率为 1
2
,且过点 (1,1) ,
故
(1) 1
1(1) 2
f
f
,即
1
1
2 2
b
a b
,解得 1a , 1b .
(2)由(1)知 ln 1( ) 1
xf x x x
,所以
2
2
ln 1 1(2ln1( ) )1
x xf x xx x x
,
考虑函数
2 1( ) 2ln ( 0)xh x x xx
,则
2 2 2
2 2
(2 2 1 ( 1)( ) )x x xh x x x x
,
所以 1x 时, ( ) 0h x ,而 (1) 0h ,
故 (0,1)x 时, ( ) 0h x ,可得 ln( ) 1
xf x x
; (1 )x , 时, ( ) 0h x ,可得 ln( ) 1
xf x x
,
从而当 0x ,且 1x 时, ln( ) 1
xf x x
.
21.【答案】(1) (0) 1f ,证明见解析;(2)函数 ( )f x 在 R 上为减函数,证明见解析;(3)
( ,0) (1, ) .
【解析】(1)由已知,对于任意实数 x , y 恒有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y ,
令 1x , 0y ,可得 (1) (1) (0)f f f ,
因为当 0x 时, 0 ( ) 1f x ,所以 (1) 0f ,故 (0) 1f .
令 y x ,设 0x ,则 (0) ( ) ( )f f x f x , 1( ) ( )f x f x
,
因为 0x , 0 ( ) 1f x ,所以 ( ) 1f x .
(2)设 1 2x x ,则 1 2 0x x ,
1 2 1 2 2 2( ) ( ) ))[ ]( (f x f x f x x x f x 1 2 2 2(( ) () )f x x f x f x
2 1 2( )[ ( ) 1]f x f x x ,
由(1)知 2( ) 0f x , 1 2( ) 1f x x ,所以 1 2( ) ( ) 0f x f x ,即 1 2( ) ( )f x f x ,
所以函数 ( )f x 在 R 上为减函数.
(3)由 1( ) 22f ,得 1 1( 1) ( ) ( ) 42 2f f f ,
所以 2 2 2( 2 (2 1) 2) 1) 4 )( (f a a x a x f ,
即 2 2 2( 2) (2 1) 2 1a a x a x ,
上式等价于 2 2 2( 4) ) 2 3(a a x x x x 对任意 [1,3]x 恒成立,
因为 [1,3]x ,所以 2 4 0x x ,
所以
2
2
2 2
2 3 3(3 1)24 4
x x xa a x x x x
对任意 [1,3]x 恒成立,
设3 1 [2,8]x t ,
2 2
3(3 1) 27 272 2 2 0114 10 11 10
x t
x x t t t t
( 2t 时取等),
所以 2 0a a ,解得 0a 或 1a ,
即实数 a 的取值范围 ( ,0) (1, ) .
22.【答案】(1)证明见解析;(2)见解析.
【解析】(1)当 0a 时, ( ) xf x e x ,
令 ( ) ( ) 2x xg x f x x e x x e x ,则 ( ) 2xg x e ,
当 ( ) 0g x 时, ln2x ;当 ln2x 时, 0( )g x ;当 ln2x 时, '( ) 0g x ,
所以 ( )g x 在 ( ,ln2) 上单调递减,在 (ln2, ) 单调递增,
所以 ln2x 是 ( )g x 的极小值点,也是最小值点,
即 ln2
min( ) (ln2) 2ln2 2ln 02
eg x g e ,
故当 0a 时, ( )f x x 成立.
(2) ( ) 1xf x e ,由 '( ) 0f x ,得 0x ,
当 0x 时, ( ) 0f x ;当 0x 时, ( ) 0f x ,
所以 ( )f x 在 ( ,0) 上单调递减,在 (0, ) 单调递增,
所以 0x 是函数 ( )f x 得极小值点,也是最小值点,
即 min( ) (0) 1f x f a .
当1 0a ,即 1a 时, ( )f x 没有零点;
当1 0a ,即 1a 时, ( )f x 只有一个零点;
当1 0a ,即 1a 时,
因为 ( ) ( ) 0a af a e a a e ,所以 ( )f x 在 ( ,0)a 上只有一个零点,
由(1)得 2xe x ,令 x a ,则得 2ae a ,所以 ( ) 2 0a af a e a a e a ,
于是在 ( )f x 在 (0, )a 上有一个零点,
因此,当 1a 时, ( )f x 有两个零点.
综上, 1a 时, ( )f x 没有零点;
1a 时, ( )f x 只有一个零点;
1a 时, ( )f x 有两个零点.
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