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阆中中学校 2016 年秋高 2015 级第一学段教学质量检测
数学试题(文科)
(总分:150 分 时间:120 分钟 )
注意事项:
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。
考生作答时,将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡),在本试卷上答题无效。考试结束后,
将本试卷和答题卡一并交回。本试卷卷面分计 5 分。
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(60 分,每小题 5 分)
1.直线 3 1 0x y - 的倾斜角为( )
A.30 B. 60 C.120 D.150
2.若 (4,3) (5, ) (6, )A B a C b、 、 三点共线,则下列结论正确的是( )
A. 2 3a b B. 1b a C. 3, 5a b D. 2 3a b
3.已知直线 1l :3 4 3 0x y 与直线 2l :6 14 0x my 平行,则它们之间的距离
是( )
A.1 B.2 C.
1
2
D.4
4.在同一直角坐标系中,表示直线 y ax 与 y x a 正确的是( )
A. B. C. D.
5.不等式组
0
3 4
2 3
x
x y
x y
所表示的平面区域的面积等于( )
A.
5
3
B.
5
4
C.
13
6
D.
5
6
6.点 (2,5)P 关于直线 1x y 的对称点的坐标是( )
A. ( 4, 1) B. ( 5, 2) C. ( 6, 3) D. ( 4, 2)
7.圆 x
2
+y
2
=50 与圆 x
2
+y
2
-12x-6y+40=0 的公共弦长为( )
A. 5 B. 6 C.2 5 D.2 6
8.已知圆 02422 yxyx ,则过圆内一点 0,1E 的最短弦长为( )
A. 3 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 5
9.点 0 0,M x y 是圆 2 2 2 0x y a a 上一点,则直线
2
0 0x x y y a 与该圆的位置
关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
10.右图给出的是计算
1 1 1 1
2 4 6 20
的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的
条件是( )
A. 20?i B. 20?i
C. 10?i D. 10?i
11.已知直线 3 kxy 与圆 4)2(3 22 yx )( 相交于
NM , 两点,若 32MN ,则 k的取值范围是( )
A.
4
3, B.
0,
4
3
C.
3
3,
3
3
D.
0,
3
2
12.直线 l: bxy 与曲线 :C 21 xy 有两个公共点,则b的取值范围是( )
A. 22 b B. 21 b
C. 21 b D. 21 b
阆中中学校 2016年秋高 2015级第一学段教学质量检测
数学答题卷(文科)
(总分:150 分 时间:120 分钟 命题教师:陈志明 审题教师:廖润生)
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(60 分,每小题 5 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(20 分,每小题 5 分)
13.圆心在原点且与直线 4 0x y 相切的圆的方程为__________________.
14.如果实数 yx, 满足:
01
02
01
x
yx
yx
,则目标函数 yxz 4 的最大值为 .
15.已知圆
2 2 2 4 3 0x y x y 关于直线 1 0( 0, 0)ax by a b 对称,则
1 2
a b
的最小值为 .
16.设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 为两个不同的点,直线 : 0l ax by c , 1 1
2 2
ax by c
ax by c
.
有下列命题:
①不论 为何值,点 N 都不在直线 l上;
②若直线 l垂直平分线段 MN,则 =1;
③若 =-1,则直线 l经过线段 MN 的中点;
④若 1 ,则点 M、N 在直线 l的同侧且 l与线段 MN 的延长线相交.
其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号).
三、解答题(本答题共 6 个小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)
已知直线 1 : 6 0l x my 与 2 : ( 2) 3 2 0l m x my m .
(1) 当m为何值时, 1l 与 2l 平行;
(2) 当m为何值时, 1l 与 2l 垂直.
18.(本小题满分 10 分)
已知圆C的圆心在直线 1y x 上,半径为 2,且圆C经过点 (5, 4)P .
(1)求圆C的标准方程;
(2)求过点 1,0A 且与圆 C 相切的切线方程
19.(本题满分 10 分)
某厂用甲、乙两种原料生产 A、B 两种产品,已知生产 1 吨 A 产品,1吨 B产品
分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.问:在
现有原料下,A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大?利润总额最大是多少?
列产品和原料关系表如下:
A产品
(1吨)
B产品
(1吨)
总原料
(吨)
甲原料(吨) 2 5 10
乙原料(吨) 6 3 18
利润(万元) 4 3
产品
所需原料
原料
20.(本小题满分 10 分)
过点 2,1P 作直线 l交 x轴、 y 轴的正半轴于 ,A B两点,O为坐标原点.
(1)当 AOB 的面积为
9
2
时,求直线 l的方程;
(2)当 AOB 的面积最小时,求直线 l的方程.
21.(本小题满分 12 分)
已知平面直角坐标系中的动点M 与两个定点 1(26,1)M , 2 (2,1)M 的距离之比等于 5.
(1)求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记动点M 的轨迹为 C ,过点 ( 2,3)P 且斜率为 k的直线 l被C所截得的弦长为
8,求直线 l的方程.
22.(本小题满分 13 分)
已知圆C:
2 2 2 4 4 0x y x y 与直线 :l y x b 相交于不同的两点 A B、 .
(1)求实数b的取值范围;
(2)是否存在直线 l,使得OA OB (其中O为坐标原点),若存在,求出直线 l的
方程;若不存在,请说明理由.
阆中中学校 2016 年秋高 2015 级第一学段教学质量检测
数学试题参考答案及评分细则
1.A
2.A
3.B
4.C
5.D【解析】根据条件,作出可行域,如图所示,
联立方程组,解得 A(0,3),B(0,
3
4
),C(1,1),则
3
5
AB ,C 点 到 AB 的 距 离 d=1 , 所 以
6
51
3
5
2
1
2
1
dABS .故选 D.
6.A【解析】
由题可设 P(2,5)关于直线的对称点 P1(x,y),可由对应点的连线与对称轴垂直得,
1 1
1 1, 1PP PPk k ( ) ,再由点斜式方程可得 P P1直线方程; 5 ( 2), +3 0y x x y
两直线方程联立
+3 0
+ -1 0
x y
x y
,的中点坐标为(-1,2),可得 P1(-4,-1,)
7.C【解析】
两圆的公共弦长即两圆交点间的距离,将两圆方程联立,可求得弦所在直线为 0152 yx ,原
点到该直线的距离为 53
12
15
2
d ,则公共弦长为 52)53(5022 222 dr ,故
本题正确选项为 C.
8.C【解析】
圆的标准方程 2 2( 2) ( 1) 5x y ,过点 0,1E 的最长弦为直径长 2 5,最短为与直径垂直的弦
长 2 3,故选 C.
9.A【解析】
0 0,M x y 是圆 2 2 2 0x y a a 上一点 2 2 2
0 0x y a ,又圆心到直线
2
0 0x x y y a 的距离
2
2 2
0 0
a
d a
x y
,故直线与圆相切.
10.C
11 . B 【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 :
2 2
| 3 2 3 | | 3 1 |
1 1
k kd
k k
, 由
32MN 2 22 3 2 4 1d d , 2 38 6 0 0
4
k k k ,故选 B.
12.C【解析】本题考查数形结合的思想方法.
由 21y x 得 2 2 1y x ,先作出曲线 2 2 1y x ,由于 0y ,去掉此曲线上 x轴下方的部分即为
曲线 2: 1C y x ;再作出直线 :l y x b ,这是一族斜率为定值 1k ,在 y轴上截距为 b的直线,
如图所示.
由图可知,当直线 l过且仅当 1,0 , 0,1A B 时,曲线 2: 1C y x 与直线 :l y x b 有两个交点,
此时 1b ;当直线 :l y x b 与曲线 2: 1C y x 相切且切点在第二象限时,有唯一的公共点,此时
2b .所以当直线 l: bxy 与曲线 c: 21 xy 有两个公共点,则 b 的取值范围是
21 b .故正确答案为 C.
13.
2 2 8x y .
14.
7
2
15.9
【 解 析 】 由 题 设 直 线 1 0( 0, 0)ax by a b 过 圆 心 )2,1(C , 即 2 1a b , 因
1
1
1
2
2
B
A
0l
xo
y
1 2 1 2 2 2( 2 )( ) 5 5 4 9b aa b
a b a b a b
,故应填 9.
16.①③④
【解析】①因为
cbyax
cbyax
22
11 中, 022 cbyax ,所以点 22 , yxN 不在直线 l上,本选
项正确;
②当 0b 时,根据 1 ,得到 1
22
11
cbyax
cbyax
,化简得
a
b
xx
yy
12
12 ,即直线MN的斜
率为
a
b
,又直线 l的斜率为
a
b
,①知点 N 不在直线 l上,得到直线MN与直线 l平行,
当 0b 时,根据 1 ,得到 1
22
11
cbyax
cbyax
,化简得: 21 xx ,直线MN与直线 l的斜率
不存在,都与 y 轴平行,①知点 N 不在直线 l上,得到直线MN与直线 l平行,综上,当 1 时,
直线MN与直线 l平行,本选项错误;
③当 1- 时, 1-
22
11
cbyax
cbyax
,化简得: 0
22
2121
cyybxxa ,而线段MN的
中点坐标为
2
,
2
2121 yyxx
,所以直线 l经过线段MN的中点,本选项正确;
④当 1 时, 1
22
11
cbyax
cbyax
,即 02211 cbyaxcbyax ,所以点 NM , 在直线
l的同侧,且 cbyaxcbyax 2211 ,得到点 NM , 到直线 l的距离不等,所以延长线于直
线 l相交,本选项正确,所以命题正确的是①③④,故填:①③④.
17.(1)m=0 或 m=5 ;(2)m=-1 或
2
3
【解析】(1)当 m=0 时,l1 与l2 平行;
当 m=2 时,l1 与 l2 相交;
当 m 0 且 m 2 时,由
1 2
3
m
m m
得 m=5,当 m=5 时 l1 与 l2平行;
综上,当 m=0 或 m=5 时 l1 与 l2平行;.................. 5 分;
(2)当 m 0 且 m 2 时
1 2 =-1
3
m
m m
( )( ) 得 m=-1 或
2
3
,
所以当 m=-1 或
2
3
时 l1 与 l2垂直...................10 分。
18.(1) 2 24 5 2x y (2)
23 ( 1)
7
y x 或 1y x
【解析】(1)设圆心为 ( , )a b ,圆方程为 2 2( ) ( ) 2x a y b ……1分
由题意:
2 2
1 4
55 4 2
b a a
ba b
.................. 4 分
圆方程为 2 2( 4 ) ( 5 ) 2x y .................. 5 分
(2)设过点 1,0A 且与圆 c 相切的切线方程为 ( 1)y k x 即 1 0kx y ……6分
圆心到切线的距离
2
4 5
2
1
k k
k
解得:
2 3
7
k 或 1k ……9分
故切线方程为
23 ( 1)
7
y x 或 1y x ..................10 分
19.生产 A 产品 2.5 吨,B产品 1 吨时,总利润最大,为 13 万元
【解析】解:设生产 A、B 两种产品分别为 x 吨,y吨,其利润总额为 z 万元, ……1分
根据题意,可得约束条件为
0,0
1836
1052
yx
yx
yx
目标函数 z=4x+3y,..................4 分
作出可行域如图:..................7 分
由图可得直线 l 经过 P点时 z=4x+3y 取得最大值,..................8 分
由
1836
1052
yx
yx
,解得交点 P )1,
2
5( ..................9 分
所以有 )(1313
2
54 万元Pz
所以生产 A 产品 2.5 吨,B产品 1 吨时,总利润最大,为 13 万元.……10 分
20.(1) 3 0x y 或 4 6 0x y (2) 2 4 0x y
【解析】(1)设直线方程为 y-1=k(x-2),..................1 分
分别令 x=0,y=0 得 A(1-2k,0),B(0,
12
k
),..................2 分
x
2
50 3
P( ,1)
5
2-
y
6x+3y=18 2x+5y=10
故三角形 AOB 的面积为
1 12 1 2
2
S k
k
=
9
2
,..................3 分
解得
11,
4
k k ,故所求直线为 3 0x y 或 4 6 0x y ;............5 分
(2)
由(1)知
1 12 1 2
2
S k
k
..................6 分
=
1 1 1 1(2 )(1 2 ) 2 2 2 ( 2 ) 2 2
2 2 2
k k k
k k k
=4,..................8 分
故 min 4S ,此时
1
2
k , l的方程为 2 4 0x y ...................10 分
21.解:(1)由题意得:
1
2
5
MM
MM
,即
2 2
2 2
( 26) ( 1)
5
( 2) ( 1)
x y
x y
.................2 分
化简得:
2 2 2 2 23 0x y x y ,即
2 2( 1) ( 1) 25x y .................5 分
所以动点M 的轨迹方程是
2 2( 1) ( 1) 25x y
动点M 的轨迹是以 (1,1)为圆心,5 为半径的圆. .................6 分
(2)当直线 l的斜率存在时,设直线 l的方程为 3 ( 2)y k x ,即 2 3 0kx y k
圆心到直线 l的距离
2
3 2
1
k
d
k
.................8 分
由垂径定理得:
2 2 2
2
3 2
( ) 4 5
1
k
k
,解之得:
5
12
k .................10 分
所以直线 l的方程为
5 23 0
12 6
x y ,即:5 12 46 0x y .................12 分
22.解:(1)联立方程组 2 2 2 4 4 0
y x b
x y x y
,消去 y,
得到:
2 22 2( 1) 4 4 0x b x b b ................2 分
圆C:
2 2 2 4 4 0x y x y 与直线 :l y x b 相交于不同的两点 A B、 .
2 24( 1) 8( 4 4) 0b b b ................4 分
解之得: 3 3 2 3 3 2b ................6 分
(2)设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y
那么 1 2 ( 1)x x b ,
2
1 2
4 4
2
b bx x
.................8 分
所以 1 2 1 2( )( )y y x b x b
2
1 2 1 2( )x x b x x b
2 2 4
2
b b
.................10 分
假设存在直线 l,使得OA OB ,即 1 2 1 2 0x x y y
2 4 4
2
b b
+
2 2 4
2
b b
=0
解之得: 1b 或 4b .................12 分
又因为 3 3 2 3 3 2b
所以存在直线 l: 1 0x y 或 4 0x y 满足题意. .................12 分
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