高二数学同步单元练习（必修2） 专题03 空间几何体的表面积与体积（b卷） word版含解析 12页

（测试时间：120 分钟 满分：150 分） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2,则 V1∶V2=( ) A.1∶3 B.1∶1 C.2∶1 D.3∶1 解析:V1∶V2=(Sh)∶ =3∶1. 答案:D 2.将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的( ) A. B. C. D. 答案:B 3.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于( ) A.6 B.6π C.3 π D.6 π 解析:圆台的两底面半径分别是 1,2,高为 2, 则母线长为 , 则其侧面积等于π(1+2)× =3 π. 答案:C 4.(2015 福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( ) A. 8+2 B.11+2 C.14+2 D.15 答案:B 5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A. B. C. D. 解析:设正方形的边长为 a,圆柱的底面圆的半径为 r,则 2πr=a,r= ,所以圆柱的底面积为 ,侧面 积为 a2,全面积与侧面积的比是 . 答案:D 6.一个正方体内接于表面积为 4π的球,则正方体的表面积等于( ) A.4 B.8 C.8 D.8 解析:设正方体棱长为 x,球半径为 R,则 S 球=4πR2=4π,∴R=1. 又∵正方体内接于球,∴ x=2R=2, ∴x= ,∴S 正=6x2=6× =8. 答案:B 7.有一个球与棱长为 a 的正方体的 12 条棱都相切,则这个球的体积应为( ) A. a3 B. a3 C. a3 D. a3 解 析 : 由 题 意 可 知 正 方 体 的 面 对 角 线 是 球 的 直 径 , 设 球 的 半 径 为 r, 则 r= a, 故 V= a3. 答案:C 8.平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α的距离为 ,则此球的体积为( ) A. π B.4 π C.4 π D.6 π 解析: 9.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( ) A.9π B.10π C.11π D.12π 答案:D 10.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为( ) A. B. C.8 π D. 解 析 : 设 球 的 半 径 为 R, 截 面 圆 的 半 径 为 r, 所 得 截 面 圆 的 半 径 为 r=1, 因 此 球 的 半 径 R= ,球的体积为 πR3= . 答案:D 11.(2015 安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A.1+ B.1+2 C.2+ D.2 解析: 由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面 ABD⊥平面 BCD,△ABD 与△BCD 为全等的等 腰直角三角形,AB=AD=BC=CD= .取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,则 AO⊥CO,AO=CO=1.由勾 股定理得 AC= ,因此△ABC 与△ACD 为全等的正三角形,由三角形面积公式得 S△ABC=S△ ACD= ,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为 2+ . 答案:C 12.(2016 浙江嘉兴一中高二期中)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体 积为 .则该几何体的俯视图可以是( ) 答案:C 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.半径为 2 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 . 解析: 由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为 r,高为 h, 则 解得 故它的体积为 ×π×12× . 答案: 14.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形,则它们的表面积之比 为 . 解析:S 柱=2×π +2π· ·a= πa2, S 锥=π +π· ·a= πa2.∴S 柱∶S 锥=2∶1. 答案:2∶1 15. 如图,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小值为 b,那么 圆柱被截后剩下部分的体积是 . 16.如图,球 O 的半径为 5,一个内接圆台的两底面半径分别为 3 和 4(球心 O 在圆台的两底面之 间),则圆台的体积为 . 解析: 作经过球心的截面(如图), O1A=3,O2B=4,OA=OB=5, 则 OO1=4,OO2=3,O1O2=7, V= (32+ +42)×7= . 答案: 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17.如图,在底面半径为 2,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 的圆柱,求圆柱的表面积. 解: ∴ ,即 , ∴r=1. S 底=2πr2=2π,S 侧=2πr·h=2 π. ∴S=S 底+S 侧=2π+2 π=(2+2 )π. 18.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、俯视图如图所示,其中 VA=4,AC=2 ,求该三棱锥的表面积. 解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示, 故三棱锥 V-ABC 的表面积为 3S△VBC+S△ABC=3 +3 =3( ). 19.已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜高的夹角为 30°,求正四棱锥的侧面积和表面 积. 解: 如图,正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成 Rt△POE. ∵OE=2 cm,∠OPE=30°, ∴PE=2OE=4 cm. 因此 S 侧=4× PE×BC=4× ×4×4=32(cm2),S 表面积=S 侧+S 底=32+16=48(cm2). 20.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若 AB=AC=AA1=2,∠ BAC=120°,求此球的表面积. 解: 设球心为 O,球半径为 R,△ABC 外接圆的圆心为 M, 21.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的 直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱 的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比. 解:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 V 圆柱=πr2h,由题意,圆锥的底面半径为 r,高为 h, ∴V 圆锥= πr2h. 球的半径为 r, ∴V 球= πr3. 又 h=2r, ∴V 圆锥∶V 球∶V 圆柱= ∶(πr2h)= ∶(2πr3)=1∶2∶3. 22.在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,且各侧棱长均为 2 .求该四棱锥外 接球的表面积. 解: