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- 2021-06-16 发布
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§3.2 一元二次不等式及其解法(一)
课时目标
1．会解简单的一元二次不等式．
2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成 ax>b (a≠0)的形式．
(1)若 a>0，解集为 x|x>b
a ；
(2)若 a<0，解集为 x|x0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次
方程的关系如下表所示：
判别式
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx
＋c
(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx
＋c
＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
(－∞，x1)∪(x2，＋
∞) {x|x∈R 且 x≠－ b
2a} R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集 {x|x12} B．{x|x≤－1 或 x≥2}
C．{x|－10，
x2＋6x≥0，
∴x≤－6 或 x>2.
4．在 R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足 x⊙(x－2)<0 的实数 x 的取值范围为
( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
答案 B
解析 ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x2＋x－2<0.∴－20.
当 m＝2 时，4>0，x∈R；
当 m<2 时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，
解得－2f(1)的解是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
答案 A
解析 f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当 x≥0 时，x2－4x＋6>3，解得 x>3 或 0≤x<1；
当 x<0 时，x＋6>3，解得－3f(1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．
二、填空题
7．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分对应点如下表：
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是______________．
答案 {x|x<－2 或 x>3}
8．不等式－10，
∴－3≤x<－2 或 00 的解集是________________．
答案 {x|x<1－ 5
2
或 x>1＋ 5
2
}
解析 ∵x2－x＋1＝ x－1
2 2＋3
4>0，
∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0 可转化为
解不等式 x2－x－1>0，由求根公式知，
x1＝1－ 5
2
，x2＝1＋ 5
2 .
∴x2－x－1>0 的解集是
x|x<1－ 5
2
或 x>1＋ 5
2 .
∴原不等式的解集为 x|x<1－ 5
2
或 x>1＋ 5
2 .
三、解答题
11．若不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集为 x|－1
3
≤x≤2 ，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a<0
的解集．
解 由 ax2＋bx＋c≥0 的解集为 x|－1
3
≤x≤2 ，
知 a<0，且关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根分别为－1
3
，2，
∴
－1
3
＋2＝－b
a
－1
3
×2＝c
a
，∴b＝－5
3a，c＝－2
3a.
所以不等式 cx2－bx＋a<0 可变形为
－2
3a x2－ －5
3a x＋a<0，
即 2ax2－5ax－3a>0.
又因为 a<0，所以 2x2－5x－3<0，
所以所求不等式的解集为 x|－1
20.
解 将不等式 x2－(a＋a2)x＋a3>0 变形为
(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
∴当 a<0 或 a>1 时，aa2}．
当 0a}．
当 a＝0 或 1 时，解集为{x|x∈R 且 x≠a}．
综上知，当 a<0 或 a>1 时，不等式的解集为{x|xa2}；
当 0a}；
当 a＝0 或 1 时，不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠a}．
【能力提升】
13．已知 a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的 x 的取值范围是( )
A. 0， 1
a1 B. 0， 2
a1 C. 0， 1
a3 D. 0， 2
a3
答案 B
解析 由(1－aix)2<1，
得 1－2aix＋(aix)2<1，
即 ai·x(aix－2)<0.
又 a1>a2>a3>0.
∴0 2
a2
> 2
a1
>0
∴00 时，x≥2
a
或 x≤－1；
当－20 时，解集为 x|x≥2
a
或 x≤－1 ；
当 a＝0 时，解集为{x|x≤－1}；
当－2
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