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- 2021-06-16 发布
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2020 年江西省南昌十中高考适应性考试数学试题
一、单选题
1.已知向量 a
、b
满足 1, 2, 2 2a b a b ,则向量 a
,b
的夹角为( )
A.
6
B.
3
C.
4
D.
2
2.在△ABC 中, , ,a b c 分别为角 , ,A B C 的对边的长,若 2 2 22020a b c ,则 2tan tan
tan (tan tan )
A B
C A B
的值为( )
A.1 B. 2018 C. 2019 D. 2020
3.若函数 1
2
13 , 03
log 2 , 0
x
x x
f x
x x
,则 0f f ( )
A. 2 B.1 C. 2 D. 1
3
4.已知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z ,则 2
xz
y
的 ( )
A.最大值为 1
8 B.最小值为 1
8
C.最大值为8 D.最小值为8
5.已知函数 2( ) 2f x x x ,集合 { | ( ) 0}A x f x , | ( ) 0B x f x ,则 A B ( )
A.[-1,0] B.[-1,2]
C.[0,1] D. ( ,1] [2, )
6.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数中,随机取出 3 个不同的数,这 3 个数的和是偶数的
概率是( )
A. 5
9
B. 4
9
C. 11
21
D. 10
21
7.在等差数列{ }na 中,若 3 6 9 12 15 120a a a a a ,则 12 183a a 的值为( )
A.24 B.36 C.48 D.60
8.已知函数 sinf x A x ( π0, 0, 2A )的部分图象如图所示,且
( ) ( ) 0f a x f a x ,则 a 的最小值为( )
A. π
12 B. π
6
C. π
3 D. 5π
12
9.设点 F 为抛物线 2 16y x 的焦点, A , B ,C 三点在抛物线上,且四边形 ABCF 为平行四边
形,若对角线 5BF (点 B 在第一象限),则对角线 AC 所在的直线方程为( )
A.8 2 11 0x y B. 4 8 0x y
C. 4 2 3 0 x y D. 2 3 0x y
10.复数 z 的共轭复数 z 满足 (1 ) 2z i i ,则| |z ( )
A.2 B. 2 C. 2
2
D. 1
2
11.若关于 x 的不等式 2 0x ax c 的解集为{ | 2 1}x x ,且函数 3 2
2
cy ax mx x 在
区间 1( ,1)2
上不是单调函数,则实数 m 的取值范围为( )
A. ( 2, 3)
B.[ 3, 3]
C. ( , 2) ( 3, )
D. ( , 2] ( 3, )
12.若 : , ,p a b c
是三个非零向量; : , ,q a b c
为空间的一个基底,则 p 是 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题
13.在平面内有 n 条直线,其中任何两条直线不平行,任何三条直线都不相交于同一点,则这 n 条
直线把平面分成________部分.
14.若
2
0
a xdx ,则在
7ax x
的展开式中, 3x 的系数是__________.(用数字作答)
15.设 f x 是周期为 2 的偶函数,当 0 1x 时, 2f x x sin x ,则
9
2f ___________.
16. A , B 为单位圆(圆心为O )上的点,O 到弦 AB 的距离为 3
2
,C 为此圆上一动点,若
OC OA OB ( , ) R ,则 的取值范围为____.
三、解答题
17.选修 4-5:不等式选讲
已知函数 2( ) 1f x x b x , 2 2 2( ) 2g x x a c x b ,其中 a ,b , c 均为正实数,
且 1ab bc ac .
(1)当 1b 时,求不等式 ( ) 1f x 的解集;
(2)当 xR 时,求证 ( ) ( )f x g x .
18.2019 年入冬时节,长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育
锻炼.现从速滑项目中随机选出 100 名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打
分(满分为 100 分)并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布
直方图:
(1)求 m 的值;
(2)将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列 2 2 列联表补充完整,
并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?
擅长 不擅长 合计
男性 30
女性 50
合计 100
2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d )
19.已知直线l 的参数方程为
1 cos 4 (
sin 4
x t
t
y t
为参数),曲线 C 的极坐标方程为
21 sin sin , 以极点为坐标原点,极轴为 x 的正方向建立平面直角坐标系。
(Ⅰ)写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程.
(Ⅱ)若点 M 的直角坐标为 1,0 ,直线l 与曲线 C 交于 ,A B 两点,求 MA MB 的值.
20.如图,在多面体 ABCDE 中, AEB 为等边三角形, / /AD BC ,BC AB , 2BC AD ,点
F 为边 EB 的中点.
(1)求证: / /AF 平面 DEC .
(2)在 BC 上找一点G 使得平面 //AFG 平面 DCE ,并证明.
21.已知 1 2,F F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点,离心率为 1
2
, ,M N 是平面内两
点,满足 1 22F M MF ,线段 1NF 的中点 P 在椭圆上, 1F MN△ 周长为 12.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若过 (0,2) 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B ,求OA OB (其中O 为坐标原点)的取值范围.
22.已知函数 2
x
f x e , lng x x .
(1)设 1 1h x g x ex
,求 h x 的极值;
(2)当 0x 时, 2 11 2tt f x x g xx
恒成立,求实数t 的取值范围.
23.已知 nS 是数列 na 的前 n 项和, 2 1nS n .等比数列 nb 中 3 9b ,公比为 3.
(1)求数列 na 和 nb 的通项公式,以及数列 nb 的前 n 项和 nT ;
(2)设 n n nc a b ,求数列 nc 的前 n 项和 nP .
【答案与解析】
1.B
根据向量的运算得到 1a b ,再根据向量夹角公式得到答案.
2 2a b ,则 2 2 2
2 4 4 8 4 4a b a a b b a b ,故 1a b ,
1cos , 2
a ba b
a b
,故向量 a
,b
的夹角为
3
.
故选:B.
本题考查了向量的夹角,向量的模,意在考查学生的计算能力和应用能力.
2.C
先利用商数关系将 2tan tan
tan (tan tan )
A B
C A B
,转化为
sin sin2 cos cos
sin sin sin
cos cos cos
A B
A B
C A B
C A B
,再通分结合两角和的正
弦公式得到 2
2sin sin cos
sin
A B C
C
,再利用正弦定理将角转化为边,然后利用余弦定理结合
2 2 22020a b c 求解.
sin sin22tan tan cos cos
sin sin sintan (tan tan )
cos cos cos
A B
A B A B
C A BC A B
C A B
,
2sin sin cos
sin (sin cos cos sin )
A B C
C A B A B
,
2
2sin sin cos
sin
A B C
C
,
2 2 2
2 2
2 cos 2019ab C a b c
c c
.
故选:C.
本题主要考查同角三角函数基本关系式,正弦定理,余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用,
还考查了运算求解的能力,属于中档题.
3.C
代入 0x 求得 0f 后,再代入对应解析式即可求得结果.
0
0
10 3 23f , 1
2
0 2 log 4 2f f f .
故选:C .
本题考查根据分段函数解析式求解函数值的问题,属于基础题.
4.A
由题意知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z ,则 2y x z ,
化简 2 2 2 2
1
4( 2 ) 4 4 4
xz xz xz
x zy x z x xz z
z x
,利用基本不等式即可求解.
由题意知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z ,则 2y x z ,
又由 2 2 2 2
1 1 1
4( 2 ) 4 4 844 2 4
xz xz xz
x zy x z x xz z x z
z x z x
,
当且仅当 4x z
z x
,即 2x z 时等号成立,所以 2
xz
y
最大值为 1
8
,故选 A.
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题,其中解答中根据题意,化简求得
2 2 2 2
1
4( 2 ) 4 4 4
xz xz xz
x zy x z x xz z
z x
,再利用基本不等式求解是解答的关键,着重考查
了推理与运算能力.
5.C
分别求解不等式得到集合 ,A B ,再利用集合的交集定义求解即可.
2{ | 2 0} { | 0 2}A x x x x x , { | 2 2 0} { | 1}B x x x x ≤ ≤ ,
∴ { | 0 1}A B x x ≤ ≤ .
故选 C.
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.
6.C
【解析】基本事件总数为 3
9C ,设抽取3 个数,和为偶数为事件 A ,则 A 事件包括两类:抽取3 个
数全为偶数,或抽取 3 数 2 个奇数1 个偶数,前者 3
4C ,后者 1 2
4 5C C . A 中基本件数为
3 1 2
4 4 5C C C ,所以符合要求的概率为
3 1 2
4 4 5
3
9
11
21
C C C
C
,故答案为 11
21 .
7.C
先设等差数列的公差为 d ,根据题中条件求出 9 24a ,进而可求出结果.
设等差数列的公差为 d ,
因为 3 6 9 12 15 120a a a a a ,由等差数列的性质得 9 24a ,
所以 12 18 1 13 3( 11 ) ( 17 )a a a d a d 1 1 92 16 2 8 2 48a d a d a .
故选 C
本题主要考查等差数列的性质,熟记等差数列的通项公式与性质即可,属于基础题型.
8.A
a 是函数 ( )f x 的零点,根据五点法求出图中零点及 y 轴左边第一个零点可得.
由题意 3 11
4 12 6T ,T ,∴函数 ( )f x 在 y 轴右边的第一个零点为 5
6 4 12
,在 y 轴左
边第一个零点是
6 4 12
,
∴ a 的最小值是
12
.
故选:A.
本题考查三角函数的周期性,考查函数的对称性.函数 ( ) sin( )f x A x 的零点就是其图象对
称中心的横坐标.
9.B
根据抛物线定义和性质,可得 B 点的坐标为 1,4 ,线段 BF 的中点 D 的坐标为 5 ,22
,再根据点
差法可得 4ACk ,再根据点斜式即可求出结果.
如图所示,
设 B 点的坐标为 0 0,x y ,则 0 4 5BF x ,
所以 0 1x , B 点的坐标为 1,4 .
所以线段 BF 的中点 D 的坐标为 5 ,22
.
设 1 1,A x y , 2 2,C x y .有 2
1 116y x , 2
2 216y x ,且 1 2 22
y y .
所以 2 2
1 2 1 216y y x x ,所以 1 2
1 2 1 2
16 4y y
x x y y
,所以 4ACk .
对角线 AC 所在的直线方程为 5: 2 4 2AC y x
,即 4 8 0x y .
故选:B.
本题主要考查了抛物线的定义、性质,以及点差法的应用,属于中档题.
10.B
化简得到 1z i ,故 1z i ,再计算模长得到答案.
(1 ) 2z i i ,故
2 12 2 2 11 1 1 2
i ii iz ii i i
,故 1z i , 2z .
故选: B .
本题考查了复数的化简,共轭复数,复数的模,意在考查学生对于复数知识的综合应用能力.
11.A
试题分析:因为关于 x 的不等式 2 0x ax c 的解集为{ | 2 1}x x ,所以 2, 1x x 是
方程 2 0x ax c 的两个根, 1, 2a c ,即 1, 2a c ,由 3 2 1y x mx x ,
23 2 1y x mx ,因为函数 3 2 1y x mx x 在区间 1 ,12
上不是单调函数,
2' 3 2 1.y x mx 有正有负,可以转化为 'y 23 2 1 0x mx 在区间 1 ,12
上有解,且
不是重解,所以由 23 2 1 0x mx 可得 12 3m x x
,令 2
1 13 , 3f x x f xx x
,
令 0f x 得: 3
3x , 1 3,2 3x
,时 0f x , f x 递增, 3 ,13x
时, 0f x ,
f x 递减, max
3 2 33f x f
, 1 71 4, 2 2f f , f x 的值域为
4, 2 3 , 2 4, 2 3m , 2, 3m ,当 3m 时, 中 0 ,有 2 个相
等的根,不合题意,故选 A.
考点:1、利用导数研究函数的单调性及最值;2、不等式的解集与系数的关系;3、方程的根与系
数的关系.
【思路点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值、不等式的解集与系数的关系以及方
程的根与系数的关系,属于难题.要解答本题首先根据一元二次不等式的解集求出 a 、c 的值,进而
可知 3 2 1y x mx x 在区间 1 ,12
上不是单调函数,即 'y 23 2 1 0x mx 在区间 1 ,12
上
有解,最后再用“分离参数法”求出 m 的范围.
12.B
根据充分、必要条件的概念,判断出正确选项.
空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底,若 , ,a b c
是三个共面的非零向量,则 , ,a b c
不
能作为空间的一个基底;但若 , ,a b c
为空间的一个基底,则 , ,a b c
不共面,所以 , ,a b c
是三个非
零向量,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
故选:B
本小题主要考查充分、必要条件的判断,属于基础题.
13.
分析:首先判断 1 条直线,将平面分成 2 个区域;2 条直线,将平面分成 2+2 个区域;3 条直线,
将平面分成 2+2+3 个区域;4 条直线,将平面分成 2+2+3+4 个区域;5 条直线,将平面分成 2+2+3+4+5
个区域,进而可得一般性的结论.
详解:1 条直线,将平面分成 2 个区域;2 条直线,将平面分成 2+2 个区域;3 条直线,将平面分
成 2+2+3 个区域;4 条直线,将平面分成 2+2+3+4 个区域;5 条直线,将平面分成 2+2+3+4+5 个区
域,故 n 条直线,将平面分成 2+2+3+4+5+…+ n 个区域.
∴ n 条直线,将平面分成
2 2
2
n n .
故答案为
2 2
2
n n .
点睛:本题考查合情推理,解题的关键是从特殊入手,推理出一般性的结论.
14.84
分析:由定积分的求出积分值,从而求出 a 的值,再用展开式的通项求常数项.
详
解:由题
2 2
0
21 2 0 202a xdx x ,则
72x x
的展开式的通项公式为
7 7 2
1 7 7
2 2k k k k k k
kT C x C xx
( )( ) ( )
,令 7 2 3, 2,k k 则 3x 的系数是 2 2
72 84.C ( )
即答案为 84.
点睛:本题考点是定积分,以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法.
15. 0
先转化成求 1( )2f 的值,再利用函数的奇偶性求 1( )2f 得解.
由函数的周期得 9
2f
1 1( 4 ) ( )2 2f f ,
因为函数是偶函数,所以 1 1 1 1( ) ( ) 2 sin( ) 1 1 02 2 2 2f f .
故答案为:0
本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16. 2 3 2 3,3 3
首先求出OA 与OB 夹角的余弦值;通过平方运算可将线性运算整理为: 2 1 ,利用
均值不等式构造关于 的不等式,解不等式求得结果.
O 到弦 AB 距离为 3
2
2
3 1cos 2 12 2AOB
OC OA OB 22 2 2 22 2OC OA OB OA OA OB OB
即 22 2 2 22 cos 1AOB
由均值不等式可知:
2
2
2 4
3
2 3 2 3,3 3
本题正确结果: 2 3 2 3,3 3
本题考查均值不等式的应用问题,关键是能够通过平方运算,将向量之间的线性运算转变为向量模
长和数量积的运算问题,从而化简为变量 , 之间的关系,进而可利用均值不等式构造不等式求
得结果.
17.(Ⅰ) 1 ,2
;(Ⅱ)见解析.
试题分析:(1)当 b=1 时,把 f(x)用分段函数来表示,分类讨论,求得 f(x)≥1 的解集.
(2)当 x∈R 时,先求得 f(x)的最大值为 b2+1,再求得 g(x)的最小值,根据 g(x)的最小值
减去 f(x)的最大值大于或等于零,可得 f(x)≤g(x)成立.
试题解析:
(1)由题意,当 1b 时,
2 1
2 1 1
2 1
x
f x x x
x
,
,
,
,
当 1x 时, 2 1f x ,不等式 1f x 无解;
当 1 1x 时, 2 1f x x ,解得 1
2x ,所以 1 12 x ;
当 1x 时, 2 1f x 恒成立,所以 1f x 的解集为 1
2
,
(2)当 x R 时, 2 2 2 21 1 1 1f x x b x x b x b b ;
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2g x x a c x b x a c x b a c b .
而 2 2 2 2 2 2 22 1 1a c b b a c b
2 2 2 2 2 21 12 a b b c c a 1 2 2 2 12 ab bc ac 1 0ab bc ac
当且仅当 3
3a b c 时,等号成立.即 2 2 2 22 1a c b b ,
因此,当 x R 时, 2 2 2 21 2f x b a c b g x ,所以,当 x R 时, f x g x
点睛:本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值三角不等式的应用,比较 2 个数大小的方法,属于
中档题.关键是通过分区间讨论的方法,去掉绝对值号,然后利用均值不等式求解即可.
18.(1) 0.025m (2)填表见解析;不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运
动与性别有关系
(1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程,解方程求得 m 的值.
(2)根据表格数据填写 2 2 列联表,计算出 2K 的值,由此判断不能在犯错误的概率不超过 0.01
的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.
(1)由题意 0.005 2 0.015 0.02 0.03 10 1m ,解得 0.025m .
(2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为 0.025+0.003 10 100 30 .
完善列联表如下:
擅长 不擅长 合计
男性 20 30 50
女性 10 40 50
合计 30 70 100
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
2100 (800 300) 4.76250 50 30 70
,
对照表格可知, 4.762 6.635 ,
不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.
本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高,考查 2 2 列联表独立性检验,属于基础
题.
19.(1) 2y x= (2) 2MA MB
【试题分析】(1)运用加减消元法消去
1 4
4
x tcos
y tsin
中参数t ;运用极坐标与直角坐
标之间的关系将曲线 C 化为直角坐标方程;(2)将直线与曲线的直角坐标方程联立方
程组,求出其交点坐标,然后再运用两点间距离公式进行求解:
(1)直线l 的普通方程为方程为 1 0x y ,故直线l 的极坐标方程为方程为
2 cos 14
;曲线 C 的直角坐标方程为 2y x
(2) 2
1 22
1 0 1 5 1 51 0, , ,2 2 2 2
x y x x x xy x
或 不妨设
1 5 3 5 1 5 3 5, , ,2 2 2 2 2 2 2 2A B
,所以 3 52 2 2MA
, 3 52 2 2MB
所以 2MA MB
另法:由 2 2
21 2 3 2 2 0
2
2
x t
y x t t
y t
代入 ,由t 的几何意义得 2MA MB
20.(1) 证明见解析(2) 点G 为 BC 的中点.证明见解析
(1)取 EC 中点 M ,连接 FM , DM,根据线面平行的判定定理,即可证明结论成立;
(2)先由题意,确定点G 为 BC 的中点;再给出证明:连接 FG , AG ,根据面面平行的判定定
理,即可证明结论成立.
(1)取 EC 中点 M ,连接 FM , DM,
∵ / / / /AD BC FM , 1
2AD BC MF ,
∴ ADMF 是平行四边形,∴ / /AF DM ,
∵ AF 平面 DEC , DM 平面 DEC ,∴ / /AF 平面 DEC .
(2)点G 为 BC 的中点.
证:连接 FG , AG ,
因为G 、 F 分别是 BC , BE 的中点,所以 / /GF CE ,
又 GF 平面 DCE ,CE 平面 DCE ,所以 / /GF 平面 DCE ,
又因为 / /AD BC , 1
2AD BC ,所以 //AD GC 且 AD GC ,
即四边形 ADCG 是平行四边形,所以 / /DC AG ,
因为 AG 平面 DCE ,所以 / /AG 平面 DCE .
又因为 AG GF G ,所以平面 //AFG 平面 DCE .
本题主要考查证明线面平行,以及补全面面平行的条件,熟记线面平行的判定定理,以及面面平行
的判定定理即可,属于常考题型.
21.(1)
2 2
14 3
x y (2) 13[ 3, )4
(1)连接 2PF ,由向量的性质得出点 2F 是线段 1F M 的中点,结合中位线定理以及椭圆的性质得
出 4 4 12a c ,再由离心率公式得出 2, 1a c ,进而得出b ,即可得出椭圆方程;
(2)当直线l 的斜率不存在时,将直线 0x ,代入椭圆方程
2 2
14 3
x y ,得出 ,A B 坐标,利用
向量数量积公式得出 3OA OB ;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 2y kx ,并代
入椭圆方程,利用韦达定理得出 1 2x x , 1 2x x 的值,由判别式得出 k 的范围,求出 1 2y y ,利用向
量的数量积公式得出 2
253 4 3O OB kA
,最后由不等式的性质得出其范围.
(1)连接 2PF , 1 22F M MF , 1 2 2F F F M ,
2F 是线段 1F M 的中点, P 是线段 1F N 的中点, 2
1//
2PF MN
由椭圆的定义知, 1 2| | 2PF PF a ,
1F MN△ 周长为 1 1 1 2 1 2| | | | | | 2(| | | | | |) 4 4 12NF MN FM FP PF FF a c
由离心率为 1
2
知, 1
2
c
a
,解得 2, 1a c
2 2 2 3b a c
椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y .
(2)当直线l 的斜率不存在时,直线 0x ,代入椭圆方程
2 2
14 3
x y 解得 3y ,
此时 3OA OB ,
当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 2y kx
代入椭圆 C 的方程 2 23 4 12 0x y 整理得, 2 2(3 4 ) 16 4 0k x kx
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则 1 2 2
16
3 4
kx x k
, 1 2 2
4
3 4x x k
2 2 2(16 ) 4 4 (3 4 ) 48(4 1) 0k k k > ,解得 2 1
4k >
1 2y y 1 2( 2)( 2)kx kx =
2 2 2
2
1 2 1 2 2 2 2
4 32 12 122 ( ) 4 43 4 3 4 3 4
k k kk x x k x x k k k
1 2 1 2OA OB x x y y 2
2 2
4 12 12
3 4 3 4
k
k k
2 2
2 2 2
16 12 12 16 2533 4 4 3 4 3
k k
k k k
2 1
4k > , 24 3 4k > , 2
1 10 4 3 4k
< , 2
25 250 4 3 4k
<
133 4OA OB < <
综上所述, OA OB 的取值范围为 13[ 3, )4
.
本题主要考查了由 , ,a b c 求椭圆方程以及椭圆中向量的点乘问题,属于中档题.
22.(1)极小值 1 ,无极大值;(2) 2t e
.
(1)先求导,再利用导数正负判断其单调性,即得极值;
(2)根据题意化简得 2 21 ln 1 lntx txe e x x 恒成立,构造函数 1 ln 0F x x x x ,研
究其单调性得 2txe x ,再化简得 ln
2
t x
x
,求
max
ln x
x
即可得结果.
解:(1)函数 1ln 1h x x ex
,其定义域为 0, .
所以 2 2
1 1 1 0exh x x ex ex
,解得 1x e
,
10, ex
时 0h x , 1 ,x e
时 0h x
所以 h x 在 10, e
上是减函数,在 1 ,e
上是增函数,
所以 h x 有极小值 1 1h e
,无极大值;
(2)当 0x 时, 2 11 2tt f x x g xx
恒成立,
即 11 2 lntxt e x xx
对 0x 恒成立,
即 2 21 1 lntxtx e x x ,即 2 21 ln 1 lntx txe e x x
令 1 ln 0F x x x x ,则上式即 2txF e F x 恒成立.
因为 11 lnF x x x
.
令 11 lnG x x x
, 2 2
1 1 1 0xG x x x x
,得 1x ,
0,1x 时, 0G x , G x 递减, 1,x 时, 0G x , G x 递增,
故 1x 时,函数 G x 取得最小值, 1 2 0G .∴ 0F x ,
∴ F x 在 0, 上单调递增,∴ 2txe x
两边取对数,可得 2lntx x ,即 ln
2
t x
x
,则
max
ln
2
t x
x
令 lnH x x
x , 0,x ,
2
1 ln 0xH x x
,得 x e 时,
0,x e 时, 0H x , H x 递增, ,x e 时, 0H x , H x 递减,
所以 x e 时,函数 H x 取得最大值 max
1H x H e e
,
∴ 1
2
t
e
,即 2t e
.
本题考查了利用函数导数研究函数的单调性、极值和最值问题,考查了恒成立问题,属于中档题.
23.(1)
2, 1
2 1, 2n
na n n
, 13n
nb , 1 (3 1)2
n
nT ;(2) ( 1)3 2n
nP n .
(1)根据递推关系,利用临差法求得 na 的通项公式,并利用等比数列通项公式、前 n 项和公式分
别求 nb , nT ;
(2)利用错位相减法求数列 nc 的前 n 项和 nP .
(1)当 1n 时, 1 1 2a S ,
当 2n 时, 1n n na S S 2 2( 1) 2 1n n n ,
又 1 2 1 1 1 2a , 2, 1
2 1, 2n
na n n
;
由 2
3 1 3 9b b 得 1 1b , 13n
nb ,
∴ 1 3 1 (3 1)1 3 2
n
n
nT
(2) 2 3 12 1 3 3 5 3 7 3 ...... (2 1)3n
nP n
2 3 43 2 1 3 3 3 5 3 7 3 ...... (2 1)3n
nP n
2 3 4 12 5 2(3 3 7 3 ...... 3 ) (2 1)3n n
nP n
29(1 3 )5 2 (2 1)31 3
n
nn
3 4 (2 1)3n nn (2 2 )3 4nn
∴ ( 1)3 2n
nP n .
本题考查等差、等比数列的通项公式、等比数列前 n 项和公式、错位相减法求和,考查转化与化归
思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意 na 的通项公式要写成分段的形式.
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