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  • 2021-06-16 发布

2020年江西省南昌十中高考适应性考试数学试题(含解析)

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2020 年江西省南昌十中高考适应性考试数学试题 一、单选题 1.已知向量 a  、b  满足 1, 2, 2 2a b a b       ,则向量 a  ,b  的夹角为( ) A. 6  B. 3  C. 4  D. 2  2.在△ABC 中, , ,a b c 分别为角 , ,A B C 的对边的长,若 2 2 22020a b c  ,则 2tan tan tan (tan tan ) A B C A B   的值为( ) A.1 B. 2018 C. 2019 D. 2020 3.若函数    1 2 13 , 03 log 2 , 0 x x x f x x x        ,则   0f f  ( ) A. 2 B.1 C. 2 D. 1 3 4.已知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z      ,则 2 xz y 的 ( ) A.最大值为 1 8 B.最小值为 1 8 C.最大值为8 D.最小值为8 5.已知函数 2( ) 2f x x x  ,集合 { | ( ) 0}A x f x  ,  | ( ) 0B x f x  ,则 A B  ( ) A.[-1,0] B.[-1,2] C.[0,1] D. ( ,1] [2, )   6.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数中,随机取出 3 个不同的数,这 3 个数的和是偶数的 概率是( ) A. 5 9 B. 4 9 C. 11 21 D. 10 21 7.在等差数列{ }na 中,若 3 6 9 12 15 120a a a a a     ,则 12 183a a 的值为( ) A.24 B.36 C.48 D.60 8.已知函数    sinf x A x   ( π0, 0, 2A     )的部分图象如图所示,且 ( ) ( ) 0f a x f a x    ,则 a 的最小值为( ) A. π 12 B. π 6 C. π 3 D. 5π 12 9.设点 F 为抛物线 2 16y x 的焦点, A , B ,C 三点在抛物线上,且四边形 ABCF 为平行四边 形,若对角线 5BF  (点 B 在第一象限),则对角线 AC 所在的直线方程为( ) A.8 2 11 0x y   B. 4 8 0x y   C. 4 2 3 0  x y D. 2 3 0x y   10.复数 z 的共轭复数 z 满足 (1 ) 2z i i  ,则| |z  ( ) A.2 B. 2 C. 2 2 D. 1 2 11.若关于 x 的不等式 2 0x ax c   的解集为{ | 2 1}x x   ,且函数 3 2 2 cy ax mx x    在 区间 1( ,1)2 上不是单调函数,则实数 m 的取值范围为( ) A. ( 2, 3)  B.[ 3, 3]  C. ( , 2) ( 3, )    D. ( , 2] ( 3, )     12.若 : , ,p a b c    是三个非零向量;  : , ,q a b c    为空间的一个基底,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 13.在平面内有 n 条直线,其中任何两条直线不平行,任何三条直线都不相交于同一点,则这 n 条 直线把平面分成________部分. 14.若 2 0 a xdx  ,则在 7ax x     的展开式中, 3x 的系数是__________.(用数字作答) 15.设  f x 是周期为 2 的偶函数,当 0 1x  时,   2f x x sin x   ,则 9 2f      ___________. 16. A , B 为单位圆(圆心为O )上的点,O 到弦 AB 的距离为 3 2 ,C 为此圆上一动点,若 OC OA OB     ( , )  R ,则   的取值范围为____. 三、解答题 17.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 2( ) 1f x x b x     , 2 2 2( ) 2g x x a c x b     ,其中 a ,b , c 均为正实数, 且 1ab bc ac   . (1)当 1b  时,求不等式 ( ) 1f x  的解集; (2)当 xR 时,求证 ( ) ( )f x g x . 18.2019 年入冬时节,长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育 锻炼.现从速滑项目中随机选出 100 名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打 分(满分为 100 分)并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布 直方图: (1)求 m 的值; (2)将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列 2 2 列联表补充完整, 并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系? 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计 100  2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ( 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    ) 19.已知直线l 的参数方程为 1 cos 4 ( sin 4 x t t y t         为参数),曲线 C 的极坐标方程为  21 sin sin ,     以极点为坐标原点,极轴为 x 的正方向建立平面直角坐标系。 (Ⅰ)写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程. (Ⅱ)若点 M 的直角坐标为  1,0 ,直线l 与曲线 C 交于 ,A B 两点,求 MA MB 的值. 20.如图,在多面体 ABCDE 中, AEB 为等边三角形, / /AD BC ,BC AB , 2BC AD ,点 F 为边 EB 的中点. (1)求证: / /AF 平面 DEC . (2)在 BC 上找一点G 使得平面 //AFG 平面 DCE ,并证明. 21.已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点,离心率为 1 2 , ,M N 是平面内两 点,满足 1 22F M MF   ,线段 1NF 的中点 P 在椭圆上, 1F MN△ 周长为 12. (1)求椭圆C 的方程; (2)若过 (0,2) 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B ,求OA OB  (其中O 为坐标原点)的取值范围. 22.已知函数   2 x f x e ,   lng x x . (1)设     1 1h x g x ex    ,求  h x 的极值; (2)当 0x  时,    2 11 2tt f x x g xx          恒成立,求实数t 的取值范围. 23.已知 nS 是数列 na 的前 n 项和, 2 1nS n  .等比数列 nb 中 3 9b  ,公比为 3. (1)求数列 na 和 nb 的通项公式,以及数列 nb 的前 n 项和 nT ; (2)设 n n nc a b  ,求数列 nc 的前 n 项和 nP . 【答案与解析】 1.B 根据向量的运算得到 1a b   ,再根据向量夹角公式得到答案. 2 2a b   ,则 2 2 2 2 4 4 8 4 4a b a a b b a b                ,故 1a b   , 1cos , 2 a ba b a b         ,故向量 a  ,b  的夹角为 3  . 故选:B. 本题考查了向量的夹角,向量的模,意在考查学生的计算能力和应用能力. 2.C 先利用商数关系将 2tan tan tan (tan tan ) A B C A B   ,转化为 sin sin2 cos cos sin sin sin cos cos cos A B A B C A B C A B      ,再通分结合两角和的正 弦公式得到 2 2sin sin cos sin A B C C ,再利用正弦定理将角转化为边,然后利用余弦定理结合 2 2 22020a b c  求解. sin sin22tan tan cos cos sin sin sintan (tan tan ) cos cos cos A B A B A B C A BC A B C A B       , 2sin sin cos sin (sin cos cos sin ) A B C C A B A B   , 2 2sin sin cos sin A B C C  , 2 2 2 2 2 2 cos 2019ab C a b c c c     . 故选:C. 本题主要考查同角三角函数基本关系式,正弦定理,余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用, 还考查了运算求解的能力,属于中档题. 3.C 代入 0x  求得  0f 后,再代入对应解析式即可求得结果.   0 0 10 3 23f    ,      1 2 0 2 log 4 2f f f     . 故选:C . 本题考查根据分段函数解析式求解函数值的问题,属于基础题. 4.A 由题意知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z      ,则 2y x z  , 化简 2 2 2 2 1 4( 2 ) 4 4 4 xz xz xz x zy x z x xz z z x        ,利用基本不等式即可求解. 由题意知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z      ,则 2y x z  , 又由 2 2 2 2 1 1 1 4( 2 ) 4 4 844 2 4 xz xz xz x zy x z x xz z x z z x z x            , 当且仅当 4x z z x  ,即 2x z 时等号成立,所以 2 xz y 最大值为 1 8 ,故选 A. 本题主要考查了利用基本不等式求最值问题,其中解答中根据题意,化简求得 2 2 2 2 1 4( 2 ) 4 4 4 xz xz xz x zy x z x xz z z x        ,再利用基本不等式求解是解答的关键,着重考查 了推理与运算能力. 5.C 分别求解不等式得到集合 ,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 2{ | 2 0} { | 0 2}A x x x x x      , { | 2 2 0} { | 1}B x x x x  ≤ ≤ , ∴ { | 0 1}A B x x ≤ ≤ . 故选 C. 本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 6.C 【解析】基本事件总数为 3 9C ,设抽取3 个数,和为偶数为事件 A ,则 A 事件包括两类:抽取3 个 数全为偶数,或抽取 3 数 2 个奇数1 个偶数,前者 3 4C ,后者 1 2 4 5C C . A 中基本件数为 3 1 2 4 4 5C C C ,所以符合要求的概率为 3 1 2 4 4 5 3 9 11 21 C C C C   ,故答案为 11 21 . 7.C 先设等差数列的公差为 d ,根据题中条件求出 9 24a  ,进而可求出结果. 设等差数列的公差为 d , 因为 3 6 9 12 15 120a a a a a     ,由等差数列的性质得 9 24a  , 所以 12 18 1 13 3( 11 ) ( 17 )a a a d a d      1 1 92 16 2 8 2 48a d a d a      . 故选 C 本题主要考查等差数列的性质,熟记等差数列的通项公式与性质即可,属于基础题型. 8.A a 是函数 ( )f x 的零点,根据五点法求出图中零点及 y 轴左边第一个零点可得. 由题意 3 11 4 12 6T    ,T  ,∴函数 ( )f x 在 y 轴右边的第一个零点为 5 6 4 12     ,在 y 轴左 边第一个零点是 6 4 12      , ∴ a 的最小值是 12  . 故选:A. 本题考查三角函数的周期性,考查函数的对称性.函数 ( ) sin( )f x A x   的零点就是其图象对 称中心的横坐标. 9.B 根据抛物线定义和性质,可得 B 点的坐标为 1,4 ,线段 BF 的中点 D 的坐标为 5 ,22      ,再根据点 差法可得 4ACk  ,再根据点斜式即可求出结果. 如图所示, 设 B 点的坐标为 0 0,x y ,则 0 4 5BF x   , 所以 0 1x  , B 点的坐标为 1,4 . 所以线段 BF 的中点 D 的坐标为 5 ,22      . 设  1 1,A x y ,  2 2,C x y .有 2 1 116y x , 2 2 216y x ,且 1 2 22 y y  . 所以  2 2 1 2 1 216y y x x   ,所以 1 2 1 2 1 2 16 4y y x x y y     ,所以 4ACk  . 对角线 AC 所在的直线方程为 5: 2 4 2AC y x      ,即 4 8 0x y   . 故选:B. 本题主要考查了抛物线的定义、性质,以及点差法的应用,属于中档题. 10.B 化简得到 1z i  ,故 1z i  ,再计算模长得到答案. (1 ) 2z i i  ,故      2 12 2 2 11 1 1 2 i ii iz ii i i         ,故 1z i  , 2z  . 故选: B . 本题考查了复数的化简,共轭复数,复数的模,意在考查学生对于复数知识的综合应用能力. 11.A 试题分析:因为关于 x 的不等式 2 0x ax c   的解集为{ | 2 1}x x   ,所以 2, 1x x   是 方程 2 0x ax c   的两个根, 1, 2a c      ,即 1, 2a c  ,由 3 2 1y x mx x    , 23 2 1y x mx    ,因为函数 3 2 1y x mx x    在区间 1 ,12      上不是单调函数,  2' 3 2 1.y x mx   有正有负,可以转化为 'y  23 2 1 0x mx     在区间 1 ,12      上有解,且 不是重解,所以由 23 2 1 0x mx   可得 12 3m x x    ,令     2 1 13 , 3f x x f xx x       , 令   0f x  得: 3 3x  , 1 3,2 3x      ,时   0f x  ,  f x 递增, 3 ,13x      时,   0f x  ,  f x 递减,  max 3 2 33f x f         ,   1 71 4, 2 2f f        ,  f x 的值域为  4, 2 3   , 2 4, 2 3m      ,  2, 3m      ,当 3m   时,   中 0  ,有 2 个相 等的根,不合题意,故选 A. 考点:1、利用导数研究函数的单调性及最值;2、不等式的解集与系数的关系;3、方程的根与系 数的关系. 【思路点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值、不等式的解集与系数的关系以及方 程的根与系数的关系,属于难题.要解答本题首先根据一元二次不等式的解集求出 a 、c 的值,进而 可知 3 2 1y x mx x    在区间 1 ,12      上不是单调函数,即 'y  23 2 1 0x mx   在区间 1 ,12      上 有解,最后再用“分离参数法”求出 m 的范围. 12.B 根据充分、必要条件的概念,判断出正确选项. 空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底,若 , ,a b c    是三个共面的非零向量,则 , ,a b c    不 能作为空间的一个基底;但若 , ,a b c    为空间的一个基底,则 , ,a b c    不共面,所以 , ,a b c    是三个非 零向量,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 故选:B 本小题主要考查充分、必要条件的判断,属于基础题. 13. 分析:首先判断 1 条直线,将平面分成 2 个区域;2 条直线,将平面分成 2+2 个区域;3 条直线, 将平面分成 2+2+3 个区域;4 条直线,将平面分成 2+2+3+4 个区域;5 条直线,将平面分成 2+2+3+4+5 个区域,进而可得一般性的结论. 详解:1 条直线,将平面分成 2 个区域;2 条直线,将平面分成 2+2 个区域;3 条直线,将平面分 成 2+2+3 个区域;4 条直线,将平面分成 2+2+3+4 个区域;5 条直线,将平面分成 2+2+3+4+5 个区 域,故 n 条直线,将平面分成 2+2+3+4+5+…+ n 个区域. ∴ n 条直线,将平面分成 2 2 2 n n  . 故答案为 2 2 2 n n  . 点睛:本题考查合情推理,解题的关键是从特殊入手,推理出一般性的结论. 14.84 分析:由定积分的求出积分值,从而求出 a 的值,再用展开式的通项求常数项. 详 解:由题 2 2 0 21 2 0 202a xdx x     ,则 72x x     的展开式的通项公式为 7 7 2 1 7 7 2 2k k k k k k kT C x C xx ( )( ) ( )       ,令 7 2 3, 2,k k    则 3x 的系数是 2 2 72 84.C ( ) 即答案为 84. 点睛:本题考点是定积分,以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法. 15. 0 先转化成求 1( )2f  的值,再利用函数的奇偶性求 1( )2f  得解. 由函数的周期得 9 2f      1 1( 4 ) ( )2 2f f    , 因为函数是偶函数,所以 1 1 1 1( ) ( ) 2 sin( ) 1 1 02 2 2 2f f            . 故答案为:0 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16. 2 3 2 3,3 3      首先求出OA 与OB 夹角的余弦值;通过平方运算可将线性运算整理为: 2 1     ,利用 均值不等式构造关于   的不等式,解不等式求得结果. O 到弦 AB 距离为 3 2 2 3 1cos 2 12 2AOB           OC OA OB      22 2 2 22 2OC OA OB OA OA OB OB               即  22 2 2 22 cos 1AOB                  由均值不等式可知: 2 2         2 4 3     2 3 2 3,3 3           本题正确结果: 2 3 2 3,3 3      本题考查均值不等式的应用问题,关键是能够通过平方运算,将向量之间的线性运算转变为向量模 长和数量积的运算问题,从而化简为变量 ,  之间的关系,进而可利用均值不等式构造不等式求 得结果. 17.(Ⅰ) 1 ,2    ;(Ⅱ)见解析. 试题分析:(1)当 b=1 时,把 f(x)用分段函数来表示,分类讨论,求得 f(x)≥1 的解集. (2)当 x∈R 时,先求得 f(x)的最大值为 b2+1,再求得 g(x)的最小值,根据 g(x)的最小值 减去 f(x)的最大值大于或等于零,可得 f(x)≤g(x)成立. 试题解析: (1)由题意,当 1b  时,   2 1 2 1 1 2 1 x f x x x x          , , , , 当 1x  时,   2 1f x    ,不等式   1f x  无解; 当 1 1x   时,   2 1f x x  ,解得 1 2x  ,所以 1 12 x  ; 当 1x  时,   2 1f x   恒成立,所以   1f x  的解集为 1 2     , (2)当 x R 时,    2 2 2 21 1 1 1f x x b x x b x b b              ;    2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2g x x a c x b x a c x b a c b             . 而  2 2 2 2 2 2 22 1 1a c b b a c b         2 2 2 2 2 21 12 a b b c c a        1 2 2 2 12 ab bc ac    1 0ab bc ac     当且仅当 3 3a b c   时,等号成立.即 2 2 2 22 1a c b b    , 因此,当 x R 时,    2 2 2 21 2f x b a c b g x      ,所以,当 x R 时,    f x g x 点睛:本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值三角不等式的应用,比较 2 个数大小的方法,属于 中档题.关键是通过分区间讨论的方法,去掉绝对值号,然后利用均值不等式求解即可. 18.(1) 0.025m  (2)填表见解析;不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运 动与性别有关系 (1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程,解方程求得 m 的值. (2)根据表格数据填写 2 2 列联表,计算出 2K 的值,由此判断不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. (1)由题意 0.005 2 0.015 0.02 0.03 10 1m       ,解得 0.025m  . (2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为 0.025+0.003 10 100 30   . 完善列联表如下: 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2100 (800 300) 4.76250 50 30 70      , 对照表格可知, 4.762 6.635 , 不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高,考查 2 2 列联表独立性检验,属于基础 题. 19.(1) 2y x= (2) 2MA MB  【试题分析】(1)运用加减消元法消去 1 4 4 x tcos y tsin         中参数t ;运用极坐标与直角坐 标之间的关系将曲线 C 化为直角坐标方程;(2)将直线与曲线的直角坐标方程联立方 程组,求出其交点坐标,然后再运用两点间距离公式进行求解: (1)直线l 的普通方程为方程为 1 0x y   ,故直线l 的极坐标方程为方程为 2 cos 14        ;曲线 C 的直角坐标方程为 2y x (2) 2 1 22 1 0 1 5 1 51 0, , ,2 2 2 2 x y x x x xy x              或 不妨设 1 5 3 5 1 5 3 5, , ,2 2 2 2 2 2 2 2A B                 ,所以 3 52 2 2MA       , 3 52 2 2MB       所以 2MA MB  另法:由 2 2 21 2 3 2 2 0 2 2 x t y x t t y t            代入 ,由t 的几何意义得 2MA MB  20.(1) 证明见解析(2) 点G 为 BC 的中点.证明见解析 (1)取 EC 中点 M ,连接 FM , DM,根据线面平行的判定定理,即可证明结论成立; (2)先由题意,确定点G 为 BC 的中点;再给出证明:连接 FG , AG ,根据面面平行的判定定 理,即可证明结论成立. (1)取 EC 中点 M ,连接 FM , DM, ∵ / / / /AD BC FM , 1 2AD BC MF  , ∴ ADMF 是平行四边形,∴ / /AF DM , ∵ AF  平面 DEC , DM  平面 DEC ,∴ / /AF 平面 DEC . (2)点G 为 BC 的中点. 证:连接 FG , AG , 因为G 、 F 分别是 BC , BE 的中点,所以 / /GF CE , 又 GF 平面 DCE ,CE  平面 DCE ,所以 / /GF 平面 DCE , 又因为 / /AD BC , 1 2AD BC ,所以 //AD GC 且 AD GC , 即四边形 ADCG 是平行四边形,所以 / /DC AG , 因为 AG  平面 DCE ,所以 / /AG 平面 DCE . 又因为 AG GF G ,所以平面 //AFG 平面 DCE . 本题主要考查证明线面平行,以及补全面面平行的条件,熟记线面平行的判定定理,以及面面平行 的判定定理即可,属于常考题型. 21.(1) 2 2 14 3 x y  (2) 13[ 3, )4  (1)连接 2PF ,由向量的性质得出点 2F 是线段 1F M 的中点,结合中位线定理以及椭圆的性质得 出 4 4 12a c  ,再由离心率公式得出 2, 1a c  ,进而得出b ,即可得出椭圆方程; (2)当直线l 的斜率不存在时,将直线 0x  ,代入椭圆方程 2 2 14 3 x y  ,得出 ,A B 坐标,利用 向量数量积公式得出 3OA OB    ;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 2y kx  ,并代 入椭圆方程,利用韦达定理得出 1 2x x , 1 2x x 的值,由判别式得出 k 的范围,求出 1 2y y ,利用向 量的数量积公式得出 2 253 4 3O OB kA       ,最后由不等式的性质得出其范围. (1)连接 2PF , 1 22F M MF   , 1 2 2F F F M  ,  2F 是线段 1F M 的中点, P 是线段 1F N 的中点, 2 1// 2PF MN 由椭圆的定义知, 1 2| | 2PF PF a  ,  1F MN△ 周长为 1 1 1 2 1 2| | | | | | 2(| | | | | |) 4 4 12NF MN FM FP PF FF a c        由离心率为 1 2 知, 1 2 c a  ,解得 2, 1a c   2 2 2 3b a c   椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . (2)当直线l 的斜率不存在时,直线 0x  ,代入椭圆方程 2 2 14 3 x y  解得 3y   , 此时 3OA OB    , 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 2y kx  代入椭圆 C 的方程 2 23 4 12 0x y   整理得, 2 2(3 4 ) 16 4 0k x kx    设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则 1 2 2 16 3 4 kx x k     , 1 2 2 4 3 4x x k   2 2 2(16 ) 4 4 (3 4 ) 48(4 1) 0k k k        > ,解得 2 1 4k >  1 2y y  1 2( 2)( 2)kx kx  = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 4 32 12 122 ( ) 4 43 4 3 4 3 4 k k kk x x k x x k k k          1 2 1 2OA OB x x y y    2 2 2 4 12 12 3 4 3 4 k k k     2 2 2 2 2 16 12 12 16 2533 4 4 3 4 3 k k k k k          2 1 4k > , 24 3 4k  > , 2 1 10 4 3 4k   < , 2 25 250 4 3 4k   <  133 4OA OB  < < 综上所述, OA OB  的取值范围为 13[ 3, )4  . 本题主要考查了由 , ,a b c 求椭圆方程以及椭圆中向量的点乘问题,属于中档题. 22.(1)极小值 1 ,无极大值;(2) 2t e  . (1)先求导,再利用导数正负判断其单调性,即得极值; (2)根据题意化简得   2 21 ln 1 lntx txe e x x   恒成立,构造函数      1 ln 0F x x x x   ,研 究其单调性得 2txe x ,再化简得 ln 2 t x x  ,求 max ln x x      即可得结果. 解:(1)函数   1ln 1h x x ex    ,其定义域为 0,  . 所以   2 2 1 1 1 0exh x x ex ex      ,解得 1x e , 10, ex     时   0h x  , 1 ,x e      时   0h x  所以  h x 在 10, e      上是减函数,在 1 ,e     上是增函数, 所以  h x 有极小值 1 1h e       ,无极大值; (2)当 0x  时,    2 11 2tt f x x g xx          恒成立, 即   11 2 lntxt e x xx       对 0x  恒成立, 即    2 21 1 lntxtx e x x   ,即   2 21 ln 1 lntx txe e x x   令      1 ln 0F x x x x   ,则上式即    2txF e F x 恒成立. 因为   11 lnF x x x     . 令   11 lnG x x x    ,   2 2 1 1 1 0xG x x x x      ,得 1x  ,  0,1x 时,   0G x  ,  G x 递减,  1,x  时,   0G x  ,  G x 递增, 故 1x  时,函数  G x 取得最小值,  1 2 0G   .∴   0F x  , ∴  F x 在 0,  上单调递增,∴ 2txe x 两边取对数,可得 2lntx x ,即 ln 2 t x x  ,则 max ln 2 t x x      令   lnH x x x ,  0,x  ,   2 1 ln 0xH x x    ,得 x e 时,  0,x e 时,   0H x  ,  H x 递增,  ,x e  时,   0H x  ,  H x 递减, 所以 x e 时,函数  H x 取得最大值    max 1H x H e e   , ∴ 1 2 t e  ,即 2t e  . 本题考查了利用函数导数研究函数的单调性、极值和最值问题,考查了恒成立问题,属于中档题. 23.(1) 2, 1 2 1, 2n na n n     , 13n nb  , 1 (3 1)2 n nT   ;(2) ( 1)3 2n nP n   . (1)根据递推关系,利用临差法求得 na 的通项公式,并利用等比数列通项公式、前 n 项和公式分 别求 nb , nT ; (2)利用错位相减法求数列 nc 的前 n 项和 nP . (1)当 1n  时, 1 1 2a S  , 当 2n  时, 1n n na S S   2 2( 1) 2 1n n n     , 又 1 2 1 1 1 2a      , 2, 1 2 1, 2n na n n      ; 由 2 3 1 3 9b b   得 1 1b  , 13n nb   , ∴ 1 3 1 (3 1)1 3 2 n n nT    (2) 2 3 12 1 3 3 5 3 7 3 ...... (2 1)3n nP n            2 3 43 2 1 3 3 3 5 3 7 3 ...... (2 1)3n nP n            2 3 4 12 5 2(3 3 7 3 ...... 3 ) (2 1)3n n nP n          29(1 3 )5 2 (2 1)31 3 n nn     3 4 (2 1)3n nn    (2 2 )3 4nn   ∴ ( 1)3 2n nP n   . 本题考查等差、等比数列的通项公式、等比数列前 n 项和公式、错位相减法求和,考查转化与化归 思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意 na 的通项公式要写成分段的形式.