2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7 27页

7 . 2 . 2 　 复数的乘、除运算 课标阐释 思维脉络 1 . 掌握复数乘、除运算的法则 , 能够进行复数的乘、除运算 . ( 数学运算 ) 2 . 掌握虚数单位 i 幂值的周期性 , 能进行有关的运算 . ( 数学运算 ) 3 . 能在复数范围内解有关方程问题 . ( 逻辑推理、数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 我们知道 , 两个实数的乘法对加法来说满足分配律 , 即 a , b , c ∈ R 时 , 有 ( a+b ) c=ac+bc , 而且 , 实数的正整数次幂满足 a m · a n =a m+n ,( a m ) n =a mn ,( ab ) n =a n · b n , 其中 m , n 均为正整数 , 那么 , 复数的乘法应该如何规定 , 才能使得类似的运算法则仍成立呢 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、复数的乘法及其运算律 1 . 复数乘法的运算法则 设 z 1 =a+b i, z 2 =c+d i( a , b , c , d ∈ R ) 是任意两个复数 , 那么它们的积 ( a+b i)( c+d i) =ac+bc i +ad i +bd i 2 = ( ac-bd ) + ( ad+bc )i . 2 . 复数乘法的运算律 对于任意 z 1 , z 2 , z 3 ∈ C , 有 交换律 z 1 z 2 = z 2 z 1 结合律 (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) 乘法对加法的分配律 z 1 (z 2 +z 3 )= z 1 z 2 +z 1 z 3 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 复数的乘法与多项式的乘法类似 , 注意有一点不同 , 即必须在所得结果中把 i 2 换成 - 1, 再把实部、虚部分别合并 . (2) 两个复数的积仍为复数 , 可推广 , 任意多个复数的积仍然是一个复数 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 i n ( n ∈ N * ) 有什么规律 ? 提示 : i 4 n = 1,i 4 n+ 1 = i,i 4 n+ 2 =- 1,i 4 n+ 3 =- i( n ∈ N * ), 即是以 4 为周期循环出现的 . 微练习 (1)(4 - i)(3 + 2i) = 　　　　 .  (2)( - 3 + 2i) 2 = 　　　　 .  解析 : (1)(4 - i)(3 + 2i) = 12 + 8i - 3i + 2 = 14 + 5i . (2)( - 3 + 2i) 2 = 9 - 4 - 12i = 5 - 12i . 答案 : (1)14 + 5i 　 (2)5 - 12i 激趣诱思 知识点拨 知识点二、复数的除法 在进行复数除法运算时 , 通常先把 ( a+b i) ÷ ( c+d i) 写 成 的 形式 , 再把分子与分母都乘分母的共轭复数 c-d i , 化简可得 ( a+b i) ÷ ( c+d i ) = ( a , b , c , d ∈ R , 且 c+d i≠0) . 激趣诱思 知识点拨 知识点三、复数范围内一元二次方程的解法 1 . 在复数范围内 , 任何实系数一元二次方程都是有根的 , 当实系数一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0( a ≠0) 的根的判别式 Δ< 0 时 , 其求根公式 为 2 . 若复系数方程有实数根 , 通常将这个根设出 , 代入方程 , 利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0( a , b , c ∈ R , 且 a ≠0), 如何求它的实根 ? 提示 : ① 求出判别式 Δ=b 2 - 4 ac 的值 , 判断根的情况 , 若 Δ> 0, 方程有两个不相等的实根 ; 若 Δ= 0, 方程有两个相等的实根 ; 若 Δ< 0, 方程无实根 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数的乘法与除法运算 例 1 计算下列各题 : 分析 按照复数乘法与除法的运算法则进行计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 复数乘法运算的技巧 (1) 复数乘法与实数多项式乘法类似 , 在计算两个复数的乘积时 , 先按照多项式的乘法展开 , 再将 i 2 换成 - 1, 最后合并同类项即可 . (2) 三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算 , 混合运算和实数的运算顺序一致 . (3) 在复数乘法运算时 , 若符合乘法公式 , 则可直接运用公式计算 . 例如 ( a±b ) 2 =a 2 ± 2 ab+b 2 ,( a+b )( a-b ) =a 2 -b 2 等 . (4) 对于复数的高次乘方运算 , 可以利用 公式 = z mn ( m , n ∈ Z ) 进行转化求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 复数除法运算的技巧 (1) 根据复数的除法法则 , 通过分子、分母都乘分母的共轭复数 , 使 “ 分母实数化 ”, 这个过程与 “ 分母有理化 ” 类似 . (2) 复数除法运算的结果要进行化简 , 通常要写成复数的代数形式 , 即实部与虚部要完全分开的形式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 计算下列各题 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 i 幂值的周期性及其应用 例 2 计算下列各式的值 : (1)i 2 016 ; 　　　　　　　　 (2)(1 + i) 12 + (1 - i) 12 ; (3)1 + i + i 2 + … + i 2 016 . 分析 根据 i 幂值的周期性以及复数高次乘方的运算法则进行计算求解 . 解 : (1)i 2 016 = i 4 × 504 = i 4 = 1 . (2)(1 + i) 12 + (1 - i) 12 = [(1 + i) 2 ] 6 + [(1 - i) 2 ] 6 = (2i) 6 + ( - 2i) 6 = ( - 4) 3 + ( - 4) 3 =- 128 . (3)1 + i + i 2 + … + i 2 016 = (1 + i + i 2 + i 3 ) + (i 4 + i 5 + i 6 + i 7 ) + … + ( i 2 012 + i 2 013 + i 2 014 + i 2 015 ) + i 2 016 = 0 × 504 + i 2 016 = 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用 i 幂值的周期性解题的技巧 (1) 熟记 i 的幂值的 4 个结果 , 当幂指数除以 4 所得的余数是 0,1,2,3 时 , 相应的幂值分别为 1,i, - 1, - i . (2) 对于 n ∈ N * , 有 i n + i n+ 1 + i n+ 2 + i n+ 3 = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 若 , 则集合 A 的子集的个数为 ( 　　 ) A.3 B.4 C.8 D.16 解析 : 当 n= 1 时 , x= i 2 + i - 2 =- 1 + ( - 1) =- 2, 当 n= 2 时 , x= i 4 + i - 4 = 1 + 1 = 2, 当 n= 3 时 , x= i 6 + i - 6 =- 2, 当 n= 4 时 , x= i 8 + i - 8 = 2, 因此 A = , 故 A 有 4 个子集 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 与复数有关的方程问题 例 3 设关于 x 的方程 x 2 - (tan θ + i) x- (2 + i) = 0 有实数根 , 则锐角 θ 以及实数根分别为 ( 　　 ) 分析 可将实数根设出 , 代入 , 利用复数相等的充要条件求解 . 解析 : 设方程的实根为 a , 则 a 2 -a (tan θ + i) - (2 + i) = 0 , 即 a 2 -a tan θ - 2 - ( a+ 1)i = 0, ∵ a ,tan θ ∈ R , 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 与复数有关的方程问题 , 一般是利用复数相等的充要条件 , 把复数问题实数化进行求解 , 根与系数的关系仍适用 , 但判别式 “ Δ ” 不再适用 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 已知关于 x 的方程 x 2 - (6 + i) x+ 9 +a i = 0( a ∈ R ) 有实数根 b , 求实数 a , b 的值 . 解 : ∵ b 是方程 x 2 - (6 + i) x+ 9 +a i = 0( a ∈ R ) 的实根 , 解得 a=b= 3 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 共轭复数及其 应用 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 (1) 由比较复杂的复数运算给出的复数 , 求其共轭复数 , 可先按复数的四则运算法则进行运算 , 将复数写成代数形式 , 再写出其共轭复数 . (2) 注意共轭复数的简单性质的运用 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 2 .m ∈ R ,i 为虚数单位 , 若 ( m+ i)(2 - 3i) = 5 - i, 则 m 的值为 ( 　　 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析 : 由 ( m+ i)(2 - 3i) = (2 m+ 3) + (2 - 3 m )i = 5 - i, 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . (2019 江苏高考 ) 已知复数 ( a+ 2i)(1 + i) 的实部为 0, 其中 i 为虚数单位 , 则实数 a 的值是 　　　　　 .  解析 : ∵ ( a+ 2i)(1 + i) =a+a i + 2i + 2i 2 =a- 2 + ( a+ 2)i, 其实部为 0 , ∴ a- 2 = 0, ∴ a= 2 . 答案 : 2