高中数学公式大全完整版(供参考) 8页

高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B    U UA B C B C A    UA C B   UC A B R  2．集合 1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个；非空的真子集有 2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件. （2）必要条件：若 q p ，则 p 是 q 必要条件. （3）充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设   2121 ,, xxbaxx  那么  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在  上是增函数；  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在  上是减函数. (2)设函数 )(xfy  在某个区间内可导，如果 0)(  xf ，则 )(xf 为增函数；如果 0)(  xf ，则 )(xf 为减函 数. 5.如果函数 )(xf 和 )(xg 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 )()( xgxf  也是减函数; 如果函数 )(ufy  和 )(xgu  在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 )]([ xgfy  是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么 这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数 )(xfy  ( Rx  ), )()( xbfaxf  恒成立,则函数 )(xf 的对称轴是函数 2 bax  ;两个函 数 )( axfy  与 )( xbfy  的图象关于直线 2 bax  对称. 8.几个函数方程的周期(约定 a>0) （1） )()( axfxf  ，则 )(xf 的周期 T=a； （2）， )0)(()( 1)(  xfxfaxf ，或 1( ) ( )f x a f x   ( ( ) 0)f x  ,则 )(xf 的周期 T=2a； 9.分数指数幂 (1) 1m n n m a a  （ 0, ,a m n N   ，且 1n  ）.(2) 1m n m n a a   （ 0, ,a m n N   ，且 1n  ）. 10．根式的性质 （1） ( )nn a a .（2）当 n 为奇数时， n na a ；当 n 为偶数时， , 0| | , 0 n n a aa a a a     . 11．有理指数幂的运算性质 (1) ( 0, , )r s r sa a a a r s Q    .(2) ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q   .(3) ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q    . 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N   ( 0, 1, 0)a a N   . ①.负数和零没有对数，②.1 的对数等于 0： 01log a ，③.底的对数等于 1： 1log aa ， ④.积的对数： NMMN aaa loglog)(log  ，商的对数： NMN M aaa logloglog  ， 幂的对数： MnM a n a loglog  ； bm nb a n a m loglog  13.对数的换底公式 loglog log m a m NN a  ( 0a  ,且 1a  , 0m  ,且 1m  , 0N  ). 推论 log logm n aa nb bm  ( 0a  ,且 1a  , , 0m n  ,且 1m  , 1n  , 0N  ). 15. 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n     ( 数列{ }na 的前 n 项的和为 1 2n ns a a a    ). 16.等差数列的通项公式 * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N       ； 其前 n 项和公式为 1( ) 2 n n n a as  1 ( 1) 2 n nna d  2 1 1( )2 2 d n a d n   . 17.等比数列的通项公式 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq     ； 其前 n 项的和公式为 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q       或 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q       . 18.同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1   ， tan =   cos sin 19 正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1) sin ,sin( )2 ( 1) s , n n n co           20 和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin        ; cos( ) cos cos sin sin        ; tan tantan( ) 1 tan tan         . sin cosa b  = 2 2 sin( )a b    (辅助角 所在象限由点 ( , )a b 的象限决定, tan b a   ). 21、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin2 2sin cos   ． ⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          （ 2 1 cos2cos 2   ， 2 1 cos2sin 2   ）． ⑶ 2 2tantan2 1 tan    ． 22.三角函数的周期公式 函数 sin( )y x   ，x∈R 及函数 cos( )y x   ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 2T   ； 函数 tan( )y x   ， ,2x k k Z   (A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期T   . 23.正弦定理 (n 为偶数) (n 为奇数) 2sin sin sin a b c RA B C    . 24.余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   ; 2 2 2 2 cosb c a ca B   ; 2 2 2 2 cosc a b ab C   . 25.面积定理 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B   （2）. 26.三角形内角和定理 在△ABC 中，有 ( )A B C C A B        2 2 2 C A B    2 2 2( )C A B    . 27.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 28.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）;(2)（  a）·b=  （a·b）=  a·b= a·（  b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 30．向量平行的坐标表示 设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，且 b  0，则 a b(b  0) 1 2 2 1 0x y x y   . 31. a 与 b 的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ． 32.数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 33.平面向量的坐标运算 (1)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a+b= 1 2 1 2( , )x x y y  . (2)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a-b= 1 2 1 2( , )x x y y  . (3)设 A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ,则 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y       . (4)设 a= ( , ),x y R  ，则  a= ( , )x y  . (5)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a·b= 1 2 1 2( )x x y y . 34.两向量的夹角公式 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y      (a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ). 35.平面两点间的距离公式 ,A Bd =| |AB AB AB    2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y    (A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ). 36.向量的平行与垂直 设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，且 b  0，则 A||b  b=λa 1 2 2 1 0x y x y   . a  b(a  0)  a·b=0 1 2 1 2 0x x y y   . 37.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 1 1A(x ,y ) 、 2 2B(x ,y ) 、 3 3C(x ,y ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是 1 2 3 1 2 3( , )3 3 x x x y y yG     . 设O 为 ABC 所在平面上一点，角 , ,A B C 所对边长分别为 , ,a b c ，则 （1）O 为 ABC 的外心 2 2 2 OA OB OC     .（2）O 为 ABC 的重心 0OA OB OC       . （3）O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA           . 38.常用不等式： （1） ,a b R  2 2 2a b ab  (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2） ,a b R  2 a b ab  (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3） bababa  . 39 已知 yx, 都是正数，则有（1）若积 xy 是定值 p ，则当 yx  时和 yx  有最小值 p2 ； （2）若和 yx  是定值 s ，则当 yx  时积 xy 有最大值 2 4 1 s . 40.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 22x a x a a x a       . 2 2x a x a x a     或 x a  . 41.斜率公式 2 1 2 1 y yk x x   （ 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ）. 42.直线的五种方程 （1）点斜式 1 1( )y y k x x   (直线 l 过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )． （2）斜截式 y kx b  (b 为直线l 在 y 轴上的截距). （3）两点式 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x    ( 1 2y y )( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ( 1 2x x )). (4)截距式 1x y a b   ( a b、 分别为直线的横、纵截距， 0a b 、 ) （5）一般式 0Ax By C   (其中 A、B 不同时为 0). 43.两条直线的平行和垂直 (1)若 1 1 1:l y k x b  ， 2 2 2:l y k x b  ① 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b   ;② 1 2 1 2 1l l k k    . (2)若 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① 1 1 1 1 2 2 2 2 || A B Cl l A B C    ；② 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B    ； ( 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   , 1 2 1 2 0A A B B  ). 直线 1 2l l 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 2  . 45.点到直线的距离 0 0 2 2 | |Ax By Cd A B    (点 0 0( , )P x y ,直线l ： 0Ax By C   ). 46. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r    . （2）圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F     ( 2 2 4D E F  ＞0). 47.直线与圆的位置关系 直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax  的位置关系有三种: 0 相离rd ; 0 相切rd ; 0 相交rd .其中 22 BA CBbAad   . 48.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， dOO 21 条公切线外离 421  rrd ; 条公切线外切 321  rrd ; 条公切线相交 22121  rrdrr ; 条公切线内切 121  rrd ; 无公切线内含  210 rrd . 49.圆的切线方程 (1)已知圆 2 2 0x y Dx Ey F     ．(2)已知圆 2 2 2x y r  ． ①过圆上的 0 0 0( , )P x y 点的切线方程为 2 0 0x x y y r  ; 50.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的参数方程是 cos sin x a y b      . 51.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     焦半径公式 )( 2 1 c axePF  ， )( 2 2 xc aePF  . 52．椭圆的的内外部 （1）点 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的内部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . （2）点 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的外部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . 53.双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的焦半径公式 2 1 | ( ) |aPF e x c   ， 2 2 | ( ) |aPF e xc   . 54.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12 2 2 2  b y a x  渐近线方程： 2 2 2 2 0x y a b    xa by  . (2)若渐近线方程为 xa by   0 b y a x  双曲线可设为  2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与 12 2 2 2  b y a x 有公共渐近线，可设为  2 2 2 2 b y a x （ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上）. 55. 抛物线 pxy 22  的焦半径公式 抛物线 2 2 ( 0)y px p  焦半径 0 2 pCF x  . 过焦点弦长 pxxpxpxCD  2121 22 . 56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y    或 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y co          （弦端点 A ),(),,( 2211 yxByx ，由方 程      0)y,x(F bkxy 消去 y 得到 02  cbxax ， 0  , 为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）. 57(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 59 共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b  存在实数λ使 a=λb． P A B、 、 三点共线  ||AP AB  AP t AB   (1 )OP t OA tOB     . 60.向量的直角坐标运算 设 a＝ 1 2 3( , , )a a a ，b＝ 1 2 3( , , )b b b 则 (1)a＋b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b   ；(2)a－b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b   ；(3)λa＝ 1 2 3( , , )a a a   (λ∈R)； (4)a·b＝ 1 1 2 2 3 3a b a b a b  ； 61.设 A 1 1 1( , , )x y z ，B 2 2 2( , , )x y z ，则 AB OB OA    = 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z   . 62．空间的线线平行或垂直 设 1 1 1( , , )a x y z r ， 2 2 2( , , )b x y z r ，则 a b r r  0a b  r r  1 2 1 2 1 2 0x x y y z z   . 63.夹角公式 设 a＝ 1 2 3( , , )a a a ，b＝ 1 2 3( , , )b b b ，则 cos〈a，b〉= 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b       . 64．异面直线所成角 cos | cos , |a b  r r = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z          r r r r （其中 （ 0 90 o o ）为异面直线 a b, 所成角， ,a b r r 分别表示异面直线 a b, 的方向向量） 65.直线 AB 与平面所成角 sin | || | AB marc AB m       ( m  为平面 的法向量). 66.二面角 l   的平面角 cos | || | m narc m n       或 cos | || | m narc m n       （ m  ， n  为平面 ，  的法向量）. 134.空间两点间的距离公式 若 A 1 1 1( , , )x y z ，B 2 2 2( , , )x y z ，则 ,A Bd =| |AB AB AB    2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z      . 67.球的半径是 R，则 其体积 34 3V R ,其表面积 24S R ． (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6 12 a ,外接球的半径为 6 4 a . 68 1 3V Sh柱体 （ S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高）. 1 3V Sh锥体 （ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高）. 69.分类计数原理（加法原理） 1 2 nN m m m    . 70.排列数公式 m nA = )1()1(  mnnn  = ！ ！ )( mn n  .( n ， m ∈N*，且 m n )．注:规定 1!0  . 71.组合数公式 m nC = m n m m A A = m mnnn     21 )1()1( = ！！ ！ )( mnm n  ( n ∈N*， m N ，且 m n ). 72.组合数的两个性质(1) m nC = mn nC  ;(2) m nC + 1m nC = m nC 1 .注:规定 10 nC . 155.组合恒等式（1） 11m m n n n mC Cm   ;（2） 1 m m n n nC Cn m   ;（3） 1 1 m m n n nC Cm   ; （4）  n r r nC 0 = n2 ; 73.排列数与组合数的关系 m m n nA m C ！ . 74．单条件排列以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有 1 1   m nA 种；②某（特）元不在某位有 1 1   m n m n AA （补集思想） 1 1 1 1   m nn AA （着眼位置） 1 1 1 11    m nm m n AAA （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： )( nmkk  个元在固定位的排列有 km kn k k AA   种. ②浮动紧贴： n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 k k kn kn AA 1 1   种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k、h 个（ 1 hk ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排 列数有 k h h h AA 1 种. （3）两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 1 mn 时，无解；当 1 mn 时，有 n mn n n m C A A 1 1    种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 n nmC  . 75．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人，各得 n 件，其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn n mnCCCCCN )!( )!( 22    . （2）(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCCN )!(! )!( ! ... 22   . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分给 m 个人，物件必须被分完，分别得到 1n ， 2n ，…， mn 件，且 1n ， 2n ，…， mn 这 m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有 !!...! !!!... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mpmCCCN m m   . 76.二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba   222110)( ; 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT   1 )210( nr ，，，  . 77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P   78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1） 0( 1,2, )iP i   ;（2） 1 2 1P P   . 79.数学期望 1 1 2 2 n nE x P x P x P       80..数学期望的性质（1） ( ) ( )E a b aE b    .（2）若 ～ ( , )B n p ,则 E np  . 81.方差      2 2 2 1 1 2 2 n nD x E p x E p x E p               标准差 = D . 82.方差的性质(1)   2D a b a D   ；(2）若 ～ ( , )B n p ，则 (1 )D np p   . 83.. )(xf 在 ),( ba 的导数 ( ) dy dff x y dx dx     0 0 ( ) ( )lim limx x y f x x f x x x          . 84.. 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数的几何意义 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy  在 ))(,( 00 xfxP 处的切线的斜率 )( 0xf  ，相应的切线方程是 ))(( 000 xxxfyy  . 85..几种常见函数的导数 (1) 0C （C 为常数）.(2) ' 1( ) ( )n nx nx n Q  .(3) xx cos)(sin  . (4) xx sin)(cos  (5) xx 1)(ln  ； axa x ln 1)(log  (6) xx ee )( ; aaa xx ln)(  . 86..导数的运算法则 （1） ' ' '( )u v u v   .（2） ' ' '( )uv u v uv  .（3） ' ' ' 2( ) ( 0)u u v uv vv v   . 87..复合函数的求导法则 设函数 ( )u x 在点 x 处有导数 ' ' ( )xu x ，函数 )(ufy  在点 x 处的对应点 U 处有导数 ' ' ( )uy f u ，则复合函 数 ( ( ))y f x 在点 x 处有导数，且 ' ' ' x u xy y u  ，或写作 ' ' '( ( )) ( ) ( )xf x f u x  . 89.复数的相等 ,a bi c di a c b d      .（ , , ,a b c d R ） 90.复数 z a bi  的模（或绝对值）| |z =| |a bi = 2 2a b . 91.复数的四则运算法(1) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i       (2) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i       ; (3)( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i      ;(4) 2 2 2 2( ) ( ) ( 0)ac bd bc ada bi c di i c dic d c d          .  的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360  的弧度 0 6  4  3  2  3 2 4 3 6 5  2 3 2 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 无 3 1 3 3 0 无 0 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： siny x cosy x tany x 图象 定义域 R R ,2x x k k       值域  1,1  1,1 R 最值 当 2 2x k    k  时， max 1y  ；当 2 2x k    k  时， min 1y   ． 当  2x k k  时， max 1y  ；当 2x k    k  时， min 1y   ． 既无最大值也无最小值 周期性 2 2  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2 ,22 2k k        k  上是增函数；在 32 ,22 2k k        k  上是减函数． 在   2 ,2k k k    上是 增函数；在 2 ,2k k    k  上是减函数． 在 ,2 2k k        k  上是增函数． 对称性 对称中心  ,0k k  对称轴  2x k k   对称中心  ,02k k     对称轴  x k k  对称中心  ,02 k k     无对称轴 函 数性 质