高中数学人教a版选修4-1课时跟踪检测（五）直角三角形的射影定理word版含解析 4页

课时跟踪检测(五) 直角三角形的射影定理 一、选择题 1．已知 Rt△ABC中，斜边 AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为 AC上一点，DE⊥AB交 AB 于点 E，且 AD＝3.2 cm，则 DE等于( ) A．1.24 cm B．1.26 cm C．1.28 cm D．1.3 cm 解析：选 C 如图，∵∠A＝∠A， ∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴ AD AB ＝ DE BC ， ∴DE＝AD·BC AB ＝ 3.2×2 5 ＝1.28 (cm)． 2．已知直角三角形中两直角边的比为 1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 解析：选 C 设直角三角形两直角边长分别为 1和 2，则斜边长为 5，∴两直角边在斜 边上的射影分别为 1 5 和 4 5 . 3．一个直角三角形的一条直角边为 3 cm，斜边上的高为 2.4 cm，则这个直角三角形的 面积为( ) A．7.2 cm2 B．6 cm2 C．12 cm2 D．24 cm2 解析：选 B 长为 3 cm的直角边在斜边上的射影为 32－2.42＝1.8(cm)， 由射影定理知斜边长为 32 1.8 ＝5(cm)， ∴三角形面积为 1 2 ×5×2.4＝6(cm2)． 4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若 CD＝6 cm，AD∶ DB＝1∶2，则 AD的长是( ) A．6 cm B．3 2 cm C．18 cm D．3 6 cm 解析：选 B ∵AD∶DB＝1∶2， ∴可设 AD＝t，DB＝2t. 又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t， ∴2t2＝36，∴t＝3 2(cm)，即 AD＝3 2 cm. 二、填空题 5．若等腰直角三角形的一条直角边长为 1，则该三角形在直线 l上的射影的最大值为 ________． 解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 2 6．如图所示，四边形 ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的 是________． 解析：因为四边形 ABCD为矩形， 所以∠A＝∠D＝90°. 因为∠BEF＝90°，所以∠AEB＋∠DEF＝90°. 因为∠DEF＋∠DFE＝90°，所以∠AEB＝∠DFE. 所以△ABE∽△DEF. 答案：①③ 7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则 BC＝________. 解析：由射影定理得， AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ AC2 BC2 ＝ AD BD ，即 BC2＝ AC2·BD AD . 又∵CD2＝AD·BD， ∴BD＝CD2 AD . ∴BC2＝ AC2·CD2 AD2 ＝ 6262－3.62 3.62 ＝64. ∴BC＝8. 答案：8 三、解答题 8．如图所示，D为△ABC 中 BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若 AD＝6，AB＝10，BD＝8，求 CD的长． 解：在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8， 满足 AB2＝AD2＋BD2， ∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BC. 又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°. ∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°. 故在 Rt△BAC 中，AD⊥BC， 由射影定理知 AD2＝BD·CD，即 62＝8·CD， ∴CD＝9 2 . 9.如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为 F，直线 FD交 BE于点 G，交 AC的延长线于点 H. 求证：DF2＝GF·HF. 证明：在△AFH 与△GFB中， 因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝ 90°， 所以∠H＝∠GBF. 因为∠AFH＝∠GFB＝90°，所以△AFH∽△GFB. 所以 HF BF ＝ AF GF ， 所以 AF·BF＝GF·HF. 因为在 Rt△ABD中，FD⊥AB，所以 DF2＝AF·BF， 所以 DF2＝GF·HF. 10．已知直角三角形的周长为 48 cm，一锐角平分线分对边为 3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图， 设 CD＝3x，BD＝5x， 则 BC＝8x， 过 D作 DE⊥AB， 由题意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又 AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x. ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得 x1＝0(舍去)，x2＝2. ∴AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴三边长分别为 20 cm,12 cm,16 cm. (2)作 CF⊥AB于点 F， ∴AC2＝AF·AB. ∴AF＝AC2 AB ＝ 122 20 ＝ 36 5 (cm)； 同理，BF＝BC2 AB ＝ 162 20 ＝ 64 5 (cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为 36 5 cm， 64 5 cm.