人教a版高中数学选修1-1课时提升作业（二十一）3-2导数的计算第2课时导数的运算法则探究导学课型word版含答案 7页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(二十一) 导数的运算法则 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 y=xsinx+ 的导数是 ( ) A.y=sinx+xcosx+ B.y=sinx-xcosx+ C.y=sinx+xcosx- D.y=sinx-xcosx- 【解析】选 A.因为 y=xsinx+ , 所以 y′= ′ = ′+ ′ =x′sinx+x·(sinx)′+ =sinx+xcosx+ . 2.(2015·泉州高二检测)下列求导运算正确的是 ( ) A. ′=1+ B. ′= C. ′=3x·log3e D. ′=-2sinx 【解析】选 B.因为 ′=x′+ ′=1- ,所以 A 选项错误; 又 ′= ,所以选项 B 正确; 又 ′=3xln3,所以选项 C 错误; 又 ′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项 D 错误. 3.(2015·太原高二检测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)= 2xf′(e)+lnx,则 f′(e)=( ) A.e-1 B.-1 C.-e-1 D.-e 【解析】选 C.因为 f(x)=2xf′(e)+lnx, 所以 f′(x)=2f′(e)+ , 所以 f′(e)=2f′(e)+ , 解得 f′(e)=- =-e-1. 4.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)= 4,则 a 的值是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 D.f′(x)=3ax2+6x,因为 f′(-1)=3a-6, 所以 3a-6=4,所以 a= . 5.(2015·贵阳高二检测)曲线 y=xex+1 在点(0,1)处的切线方程是 ( ) A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0 C.x-y-1=0 D.x-2y+2=0 【解析】选 A.y′=ex+xex,且点(0,1)在曲线上,当 x=0 时,导数值为 1,故所求的切线方程是 y-1=x,即 x-y+1=0. 【补偿训练】曲线 C:f(x)=sinx+ex+2 在 x=0 处的切线方程为________. 【解析】由 f(x)=sinx+ex+2 得 f′(x)=cosx+ex,从而 f′(0)=2,又 f(0)=3,所以切线方程为 y-3=2(x-0),即 y=2x+3. 答案:y=2x+3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.某物体做直线运动,其运动规律是 s=t2+ (t 的单位:s,s 的单位:m),则它在第 4s 末的瞬时 速度应该为________m/s. 【解析】因为 s′=2t- , 所以当 t=4 时,v=8- = (m/s). 答案: 7.(2015·鸡西高二检测)若函数 f(x)= ,则 f′(π)=________. 【解析】因为 f′(x)= = , 所以 f′(π)= = . 答案: 8.设 a∈R,函数 f(x)=x3+ax2+(a-3)x 的导函数是 f′(x),若 f′(x)是偶函数,则曲线 y=f(x) 在原点处的切线方程为______________. 【解析】f′(x)=3x2+2ax+(a-3), 又 f′(-x)=f′(x), 即 3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)对任意 x∈R 都成立, 所以 a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3, 曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=-3x. 答案:y=-3x 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015·哈尔滨高二检测)求下列函数的导数. (1)y= . (2)y=2xcosx-3xlog2015x. (3)y=x·tanx. 【解析】(1)y′= = = . (2)y′=(2x)′cosx+(cosx)′2x-3 =2xln2·cosx-sinx·2x-3 =2xln2·cosx-2xsinx-3log2015x-3log2015e =2xln2·cosx-2xsinx-3log2015(ex). (3)y′=(xtanx)′= ′ = = = = = . 10.求过点(1,-1)与曲线 y=x3-2x 相切的直线方程. 【解题指南】由于(1,- 1)不一定是切点,所以先设切点坐标,求出切线方程,利用切点在切线 上,求出切点坐标进而求出切线方程. 【解析】设 P(x0,y0)为切点,y′=3x2-2, 则切线斜率为 k=3 -2. 故切线方程为 y-y0=(3 -2)(x-x0). ① 因为(x0,y0)在曲线上,所以 y0= -2x0. ② 又因为(1,-1)在切线上, 所以将②式和(1,-1)代入①式得 -1-( -2x0)=(3 -2)(1-x0). 解得 x0=1 或 x0=- . 当 x0=1 时,k=1,当 x0=- 时,k=- . 故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=- (x-1). 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0. (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015·西安高二检测)设 a∈R,函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为 ( ) A.ln2 B.-ln2 C. D.- 【解析】选 A.因为 f′(x)=ex-ae-x 为奇函数,所以 a=1,设切点横坐标为 x0,则 f′(x0)= - = ,因为 >0,所以 =2,所以 x0=ln2. 【补偿训练】若函数 f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为 ( ) A. B.0 C.钝角 D.锐角 【解析】选 C.y′=exsinx+excosx, 当 x=4 时,y′=e4(sin4+cos4) = e4sin <0, 故倾斜角为钝角. 2.(2015·聊城高二检测)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…, fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则 f2015(x)= ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 【 解 析 】 选 D.f1 (x)=(sinx) ′ =cosx,f2(x)=(cosx) ′ =-sinx,f3(x)=(-sinx) ′ =-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…, fn+4(x)=fn(x),可知周期为 4.2015=4×503+3,所以 f2015(x)=f3(x)= -cosx. 【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则 f2015(x)=________. 【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx, f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x). 2015=4×503+3,所以 f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx. 答案:-cosx+sinx 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2015·天津高考)已知函数 f =axlnx,x∈ ,其中 a 为实数,f′ 为 f 的 导函数,若 f′ =3,则 a 的值为______. 【解析】因为 f′ =a , 所以 f′ =a=3. 答案:3 4.(2015·衡阳高二检测)若函数 f(x)= x2-ax+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值 范围是________. 【解析】垂直于 y 轴的切线,其切线的斜率为 0, 因为 f(x)= x2-ax+lnx, 所以 f′(x)=x-a+ . 设切点横坐标为 x0(x0>0), 则有 x0-a+ =0, a=x0+ ≥2. 答案:a≥2 【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知函数 f(x)=x2·f′(2)+5x,则 f′(2)=________. 【解析】因为 f′(x)=f′(2)·2x+5, 所以 f′(2)=f′(2)×2×2+5, 所以 3f′(2)=-5, 所以 f′(2)=- . 答案:- 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.函数 f(x)=x3-x2-x+1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0),在区间(0,1)内求实数 a,使得函数 f(x)的图象在 x=a 处的切线平行于直线 AB. 【解题指南】可先由 A,B 两点的坐标求 AB 的斜率,再求 f(x)=x3-x2-x+1 在 x=a 处切线的斜率, 令其相等,即可求出 a 的值. 【解析】直线 AB 的斜率 kAB=-1,f′(x)=3x2-2x-1,令 f′(a)=-1(0