高中数学第7章三角函数课时分层作业32同角三角函数关系含解析苏教版必修第一册 5页

课时分层作业(三十二)　同角三角函数关系 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．若sin θ＝－，tan θ＜0，则cos θ＝(　　)‎ A．　 B．　　　‎ C．－　 D．或－ B　[∵sin θ＝－＜0，tan θ＜0．‎ ‎∴θ为第四象限角，‎ ‎∴cos θ＝＝．]‎ ‎2．(1＋tan2α)·cos2α＝(　　)‎ A．1 B．1＋sin2α C．tan2α D．1＋cos2α A　[原式＝·cos2α ‎＝cos2α＋sin2α＝1．]‎ ‎3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝(　　)‎ A． B．－ ‎ C． D．－ D　[∵sin α＝，‎ ‎∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)‎ ‎＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1‎ ‎＝2×－1‎ ‎＝－．]‎ ‎4．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝(　　)‎ A．－ B．－ ‎ - 5 -‎ C．－ D．－ C　[∵tan α＝＝－，∴cos α＝－2sin α．‎ 又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，‎ 又α为第二象限角，∴cos α＜0，‎ ‎∴cos α＝－．]‎ ‎5．已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝(　　)‎ A． B．－ ‎ C． D．－ A　[由题意知cos α≠0，则由＝5，得＝5，即tan α＝2．所以sin2α－sin αcos α＝＝＝．]‎ 二、填空题 ‎6．已知α是第三象限角，化简： － ＝　　　　．‎ ‎－2tan α　[原式＝－‎ ＝ － ＝－．‎ ‎∵α是第三象限角，∴cos α＜0．‎ ‎∴原式＝－＝－2tan α．]‎ ‎7．若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为　　　　．‎ ‎2　[tan α＋＝＋＝．‎ 又sin α＋cos α＝，‎ ‎∴sin αcos α＝，‎ ‎∴tan α＋＝2．]‎ - 5 -‎ ‎8．已知0<α<π，sin αcos α＝－，则sin α－cos α的值等于　　　　．‎ 　[∵sin αcos α<0,0<α<π，‎ ‎∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，‎ ‎∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，‎ ‎∴sin α－cos α＝．]‎ 三、解答题 ‎9．已知＝，α∈．‎ ‎(1)求tan α的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎[解]　(1)由＝，‎ 得3tan2α－2tan α－1＝0，‎ 即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，‎ 解得tan α＝－或tan α＝1．‎ 因为α∈，所以tan α<0，‎ 所以tan α＝－．‎ ‎(2)由(1)，得tan α＝－，所以＝＝＝．‎ ‎10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．‎ ‎[证明]　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，‎ 所以＋1＝2，所以＝，‎ 所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1．‎ ‎1．若sin θ＝，cos θ＝，θ是第四象限的角，则m的值为(　　)‎ A．0　　　　 B．8‎ C．0或8　　　　 D．30)上，则＋＝　　　　．‎ ‎0　[∵＋＝＋．‎ 又角α的终边落在x＋my＝0(m>0)上，故角α的终边在第二、四象限．‎ 当α在第二象限时，sin α>0, cos α<0，原式＝＋＝0；‎ 当α在第四象限时，sin α<0, cos α>0，原式＝＋＝0．]‎ ‎4．已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为　　　　．‎ 　[因为cos α－sin α＝－， ①‎ 所以1－2sin αcos α＝，‎ 即2sin αcos α＝．所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝．‎ 又0<α<，所以sin α＋cos α>0．‎ 所以sin α＋cos α＝． ②‎ - 5 -‎ 由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，‎ 所以＝．]‎ ‎5．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋‎2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：‎ ‎(1)m的值；‎ ‎(2)＋的值；‎ ‎(3)方程的两根及此时θ的值．‎ ‎[解]　(1)由根与系数的关系可知，‎ sin θ＋cos θ＝， ①‎ sin θ·cos θ＝m． ②‎ 将①式平方得1＋2sin θcos θ＝，‎ 所以sin θcos θ＝，代入②得m＝．‎ ‎(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝．‎ ‎(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝．‎ 所以或 又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或θ＝．‎ - 5 -‎