2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识4 37页

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2021-06-16 发布

2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识4

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4.2 　一元二次不等式及其解法 4.3 　一元二次不等式的应用激趣诱思知识点拨某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本 1 万元 / 辆 , 出厂价为 1 . 2 万元 / 辆 , 年销售量为 1 000 辆 . 本年度为适应市场需求 , 计划提高产品档次 , 适当增加投入成本 , 若每辆车投入成本增加的比例为 x (0 0 或 ax 2 +bx+c< 0, 或 ax 2 +bx+c ≥ 0 或 ax 2 +bx+c ≤ 0 ,( 其中 x 为未知数 , a , b , c 均为常数 , 且 a ≠ 0) 的不等式叫做一元二次不等式 . 2 . 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的　　　　　叫作这个一元二次不等式的解集 . 名师点析 1 . 一元二次不等式中的 “ 一元 ” 是指不等式中所要求解的未知数 , 并且这个未知数是唯一的 , 但这并不是说 , 不等式中不能含有其他字母 , 若含有其他字母 , 则把其他字母看成常数 . 2 . 一元二次不等式中的 “ 二次 ” 是指所要求解的未知数的最高次数必须是 2, 且最高次项的系数不为 0 . 集合激趣诱思知识点拨微练习下面哪些不等式是一元二次不等式 : (1) x 2 > 0;(2) -x-x 2 ≤ 5; (3) x 3 + 5 x- 6 > 0; (4)3 x 2 -x+y< 0; (5) ax 2 +bx+c> 0 . 解 : (1) 是 ;(2) 是 ; (3) 不是 , 因为 x 的最高次为 3 次 ; (4) 不是 , 它含有两个未知数 ; (5) 不是 , 因为 a= 0 时 , 不符合一元二次不等式的定义 . 激趣诱思知识点拨二、一元二次不等式的解法一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表 : 激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨名师点析一元二次不等式 ax 2 +bx-c> 0( a> 0) 的求解方法 , 如图 . 激趣诱思知识点拨微技巧解一元二次不等式的口诀 : 先看开口再看根 , 函数图象是根本 ; 横轴上方 y 为正 , 根间根外想谨慎 . 激趣诱思知识点拨微练习 (1 ) 不等式 x 2 - 2 x> 0 的解集为 ( 　　 ) A.{ x|x> 0} B.{ x|x< 2} C.{ x| 0 2} 答案 : D 　解析 : 解方程 x 2 - 2 x= 0, 得两根 x 1 = 0, x 2 = 2, 画出 y=x 2 - 2 x 的图象 . 如图 , 观察图象得原不等式解集为 { x|x< 0 或 x> 2} . 激趣诱思知识点拨　 (2) 求不等式 -x 2 + 2 x- 3 > 0 的解集 . 解 : 不等式可化为 x 2 - 2 x+ 3 < 0 . 因为 Δ=- 8 < 0, 所以方程 x 2 - 2 x+ 3 = 0 无实数根 . 画出二次函数 y=x 2 - 2 x+ 3 的图象 ( 如图 ) . 观察图象得原不等式的解集为 ⌀ . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测一元二次不等式的求解例 1 解下列不等式 : (1)2 x 2 - 3 x- 2 > 0; (2) - 3 x 2 + 6 x- 2 > 0; (3)4 x 2 - 4 x+ 1 ≤ 0; (4) x 2 - 2 x+ 2 > 0 . 分析先求出对应一元二次方程的解 , 再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解 : (1) 因为方程 2 x 2 - 3 x- 2 = 0 的判别式 Δ= 9 + 4 × 2 × 2 = 25 > 0, 所以该方程的解是 x 1 =- , x 2 = 2 . 因为该函数的图象是开口向上的抛物线 , 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (4) 因为 x 2 - 2 x+ 2 = 0 的判别式 Δ= 4 - 4 × 1 × 2 =- 4 < 0, 所以方程 x 2 - 2 x+ 2 = 0 无解 . 又因为函数 y=x 2 - 2 x+ 2 的图象是开口向上的抛物线 , 所以原不等式的解集为 R . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1) 化标准 . 通过对不等式的变形 , 使不等式的右侧为 0, 使二次项系数为正 . (2) 判别式 . 对不等式的左侧进行因式分解 , 若不能分解 , 则计算对应方程的判别式 . (3) 求实根 . 求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根 . (4) 画图像 . 根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图像 . (5) 写解集 . 根据图象写出不等式的解集 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练 1 解下列不等式 : (1)4 x 2 - 20 x<- 25; (2)( x- 3)( x- 7) < 0; (3) - 3 x 2 + 5 x- 4 < 0; (4) x (1 -x ) ≥ x (2 x- 3) + 1 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解 : (1) 不等式可化为 4 x 2 - 20 x+ 25 < 0, 由于 Δ= 0, 且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线 , 所以不等式的解集是 ⌀ . (2) 由题意知不等式对应方程的两个根是 3 和 7, 且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线 , 故不等式的解集是 { x| 3 0, 由于判别式 Δ= 25 - 48 =- 23 < 0, 函数 y= 3 x 2 - 5 x+ 4 的图象开口向上 , 所以不等式的解集是 R . (4) 不等式 x (1 -x ) ≥ x (2 x- 3) + 1 可化为 3 x 2 - 4 x+ 1 ≤ 0 . 因为方程探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测已知不等式的解集求参数值例 2 求实数 a , b 的值 , 使得关于 x 的不等式 ax 2 +bx+a 2 - 1 ≤ 0 的解集分别为 : (1)[ - 1,2]; (2)( -∞ , - 1] ∪ [2, +∞ ); (3)[ - 1, +∞ ) . 分析根据解一元二次不等式的方法 , 逆向分析与思考 , 得出不等式对应方程解的情况 , 利用根与系数的关系进行求解 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1 . 一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根 , 要充分利用这个关系解题 . 2 . 不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系 , 对于关于 x 的一元二次不等式 a ( x-x 1 )( x-x 2 ) > 0( x 1 0 时 , 其解集是 { x|xx 2 }, 当 a< 0 时 , 其解集是 { x|x 1 0 的解集 . 解 : ∵ 关于 x 的不等式 x 2 +ax+b< 0 的解集为 (1,2), ∴ 1,2 是关于 x 的方程 x 2 +ax+b= 0 的两根 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测含参数的一元二次不等式的解法例 3 解关于 x 的不等式 ax 2 - ( a+ 1) x+ 1 < 0 . 分析先对二次项的系数进行讨论 , 再按不等式的解法求解 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟解含参数的一元二次不等式 , 与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的 , 但要注意分类讨论思想的运用 . (1) 若二次项系数含有参数 , 需对二次项系数等于 0 与不等于 0 进行讨论 , 对于不等于 0 的情况再按大于 0 或小于 0 进行讨论 . (2) 若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定 , 需对其判别式 Δ 进行讨论 . (3) 若求出的根中含有参数 , 则应对两根的大小关系进行讨论 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练 3 解关于 x 的不等式 x 2 + 3 ax- 4 a 2 < 0( a ∈ R ) . 解 : 由于 x 2 + 3 ax- 4 a 2 < 0 可化为 ( x-a )( x+ 4 a ) < 0, 且方程 ( x-a )( x+ 4 a ) = 0 的两个根分别是 a 和 - 4 a. 当 a=- 4 a , 即 a= 0 时 , 不等式的解集为 ⌀ ; 当 a>- 4 a , 即 a> 0 时 , 解不等式为 - 4 a 0 时 , 不等式的解集为 { x|- 4 a 0) 时 , 将多项式分解成若干个不可约因式的积 , 根据实数运算法则 , 把它等价转化为两个或多个不等式 ( 组 )( 由各因式的符号所有可能的组合决定 ) . 于是原不等式的解集就是各不等式解集的并集 . 但这一方法在因式较多时比较烦琐 . 此时通常采用下面的方法 : (1) 将不等式化为标准形式 : 一端为 0, 另一端为一次因式 ( 因式中 x 的系数为正 ) 或二次不可分解因式的积 . (2) 求出各因式的实数根 , 并在数轴上依次标出 . (3) 自最右端上方起 , 用曲线自右至左依次由各根穿过数轴 , 遇到奇次重根要一次穿过 , 遇到偶次重根要穿而不过 . (4) 记数轴上方为正 , 下方为负 , 根据不等式的符号写出解集 . 这种方法叫穿根法 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测典例 2 解不等式 : x 3 + 2 x 2 -x- 2 > 0 . 解 : 原不等式可化为 ( x+ 1)( x- 1)( x+ 2) > 0 . 将方程 ( x+ 1)( x- 1)( x+ 2) = 0 的各个根 - 2, - 1,1 标在数轴上 , 并用穿根法依次通过每一个根 . 如图 : 所以 , 原不等式的解集为 { x|- 2 1} . 注意 (1) 对于数轴穿根法求解高次不等式 , 分解因式后 x 或 x 2 的系数须为正数 ;(2) 要注意准确考察各根是否在解集内 . 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 1 . 不等式 x 2 - 9 < 0 的解集为 ( 　　 ) A.{ x|x<- 3} B .{ x|x< 3} C.{ x|x<- 3, 或 x> 3} D.{ x|- 3 0 的解集为 R , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.( - 16,0) B.( - 16,0] C.( -∞ ,0) D.( - 8,8) 答案 : D 　解析 : 由 x 2 - 9 < 0, 可得 x 2 < 9, 解得 - 3 0 的解集为 R , ∴ Δ=a 2 - 4 × 4 × 4 < 0, 解得 - 8 - 1 时 , 原不等式的解集为 { x|- 1

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