高中数学人教版选修1-2课时提升作业（七）2-2-2反证法探究导学课型word版含答案 8页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(七) 反 证 法 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1.(2014·山东高考)用反证法证明命题：“已知 a，b 为实数，则方程 x2+ax+b=0 至少有一个 实根”时，要做的假设是( ) A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 【解析】选 A.“方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”的反面是“方程 x2+ax+b=0 没有实根.” 【补偿训练】(2015·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于 60°时，应假设( ) A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 【解析】选 B.三个内角至少有一个不大于 60°，即有一个、两个或三个不大于 60°，其反 设为都大于 60°，故 B 正确. 2.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( ) A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解 【解析】选 D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”. 3.实数 a，b，c 满足 a+2b+c=2，则( ) A.a，b，c 都是正数 B.a，b，c 都大于 1 C.a，b，c 都小于 2 D.a，b，c 中至少有一个不小于 【解析】选 D.假设 a，b，c 均小于 ，则 a+2·b+c< +1+ =2，与已知矛盾，故假设不成立， 所以 a，b，c 中至少有一个不小于 . 4.已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 的位置关系为( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 【解析】选 C.假设 c∥b，而由 c∥a，可得 a∥b，这与 a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不可能是 平行直线. 5.(2015·杭州高二检测)设 a，b，c 大于 0，则 3 个数：a+ ，b+ ，c+ 的值( ) A.都大于 2 B.至少有一个不大于 2 C.都小于 2 D.至少有一个不小于 2 【解题指南】由基本不等式知三个数的和不小于 6，可以判断三个数至少有一个不小于 2， 所以可假设这三个数都小于 2 来推出矛盾. 【解析】选 D.假设 a+ ，b+ ，c+ 都小于 2， 即 a+ <2，b+ <2，c+ <2， 所以 + + <6， 又 a>0，b>0，c>0， 所以 + + = + + ≥2+2+2=6. 这与假设矛盾，所以假设不成立. 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6.(2015 · 西 安 高 二 检 测 ) “ 任 何 三 角 形 的 外 角 都 至 少 有 两 个 钝 角 ” 的 否 定 是 . 【解析】该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一 个三角形，其外角最多有一个钝角”. 答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角” 【延伸探究】命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是 . 【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角. 答案：“三角形中最少有两个内角是直角” 7.(2015·广州高二检测)用反证法证明命题：“已知 a，b∈N+，如果 ab 可被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为 . 【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立 进行推证. 命题“a，b∈N+，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“a， b 都不能被 5 整除”. 答案：a，b 都不能被 5 整除 8.(2015·郑州高二检测)对于定义在实数集 R 上的函数 f(x)，如果存在实数 x0，使 f(x0)=x0， 那么 x0 叫做函数 f(x)的一个好点.已知函数 f(x)=x2+2ax+1 不存在好点，那么 a 的取值范围 是 . 【解析】假设 f(x)=x2+2ax+1 存在好点，亦即方程 f(x)=x 有实数根，所以 x2+(2a-1)x+1=0 有实数根，则Δ=(2a-1)2-4=4a2-4a-3≥0， 解得 a≤- 或 a≥ ，故当 f(x)不存在好点时，a 的取值范围是- 1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零. (2)若 a，b 为不相等的正实数且满足 f(a)=f(b)，求证 a+b< . 【证明】(1)假设 f(m)<0 且 f(n)<0， 即 m3-m2<0，n3-n2<0， 因为 m>0，n>0， 所以 m-1<0，n-1<0， 所以 01 矛盾， 所以假设不成立，即 f(m)，f(n)至少有一个不小于零. (2)由 f(a)=f(b)得 a3-a2=b3-b2， 所以 a3-b3=a2-b2， 所以(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)， 因为 a≠b，所以 a2+ab+b2=a+b， 所以(a+b)2-(a+b)=ab< ， 所以 (a+b)2-(a+b)<0， 所以 a+b< . (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1.(2015·济南高二检测)(1)已知 p3+q3=2，求证 p+q≤2.用反证法证明时，可假设 p+q≥2. (2)已知 a，b∈R，|a|+|b|<1，求证方程 x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法证明 时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( ) A.(1)与(2)的假设都错误 B.(1)与(2)的假设都正确 C.(1)的假设正确；(2)的假设错误 D.(1)的假设错误；(2)的假设正确 【解析】选 D.(1)的假设应为 p+q>2；(2)的假设正确. 2.(2015·衡水高二检测)设 a，b，c 是正数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>0”是 “P，Q，R 同时大于零”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选 C.必要性显然，充分性：若 PQR>0，则 P，Q，R 同时大于零或其中两个为负，不 妨设 P<0，Q<0，R>0，因为 P<0，Q<0，即 a+b0 矛盾，所以 P，Q，R 同时大于零. 【补偿训练】若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【解析】选 B.分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线 AD(点 D 在 BC 上)，则 ∠ADB+∠ADC=π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角.而∠ADC>∠BAD， ∠ADC>∠ABD，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC= 时， 才符合题意. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3.用反证法证明质数有无限多个的过程如下： 假设 .设全体质数为 p1，p2，…，pn，令 p=p1p2…pn+1. 显然，p 不含因数 p1，p2，…，pn.故 p 要么是质数，要么含有 的质因数.这表明， 除质数 p1，p2，…，pn 之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个. 【解析】由反证法的步骤可得.应假设质数只有有限多个，故 p 要么是质数，要么含有除 p1， p2，…，pn 之外的质因数. 答案：质数只有有限多个 除 p1，p2，…，pn 之外 4.(2015·石家庄高二检测)设 a，b 是两个实数，给出下列条件： ①a+b=1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2.其中能推出“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是 (填序号). 【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证. 【解析】若 a= ，b= ，则 a+b=1，但 a<1，b<1，故①不能推出.若 a=b=1，则 a+b=2，故② 不能推出.若 a=-2，b=1，则 a2+b2>2，故④不能推出. 对于③，即 a+b>2，则 a，b 中至少有一个大于 1. 反证法：假设 a≤1 且 b≤1，则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾，因此假设不成立，故 a，b 中至少有 一个大于 1. 答案：③ 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 5.(2015·宜昌高二检测)已知函数 f(x)= ，如果数列{an}满足 a1=4，an+1=f(an)，求证： 当 n≥2 时，恒有 an<3 成立. 【证明】假设 an≥3(n≥2)， 则由已知得 an+1=f(an)= ， 所以当 n≥2 时， = = · ≤ = <1(因为 an-1≥3-1)， 又易证 an>0，所以当 n≥2 时，an+12 时，an