- 835.00 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
(
一
)
必备知识
·
自主学习
1.
函数的周期性
(1)
周期函数:一般地,设函数
f(x)
的定义域为
D
,如果存在一个非零常数
T
,
使得对每一个
x∈D
都有
x+T∈D
,且
f(x+T)=f(x)
,那么函数
f(x)
就叫做周期函
数,非零常数
T
叫做这个函数的周期
.
(2)
最小正周期:如果在周期函数
f(x)
的所有周期中存在一个最小的
_____
,
那么这个最小
_____
就叫做
f(x)
的最小正周期
.
(3)
本质:随着自变量的取值周期性出现相同的函数值
.
(4)
应用:函数的周期性是函数重要性质,是高考的常见考查知识点,在生
活中也有很多的应用
.
正数
正数
【
思考
】
周期函数都有最小正周期吗?
提示:
周期函数不一定存在最小正周期
.
例如,对于常数函数
f(x)=c(c
为常数,
x∈R)
,所有非零实数
T
都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期
.
2.
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y=sin x
y=cos x
周期
2kπ(k∈Z
且
k≠0)
2kπ(k∈Z
且
k≠0)
最小正周期
____
____
奇偶性
___
函数
___
函数
2π
2π
奇
偶
【
思考
】
正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性?
提示:
正弦曲线关于原点对称,余弦曲线关于
y
轴对称
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)
若 ,则 是函数
y=sin x
的一个周期
. (
)
(2)
若存在正数
T
,使
f(x+T)=-f(x)
,则函数
f(x)
的周期为
2T. (
)
(3)
函数
y=
是奇函数
. (
)
提示:
(1)×.
因为对任意
x
,
sin
与
sin x
并不一定相等
.
(2)√.f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x)
,所以
f(x)
的周期为
2T.
(3)×.
函数
y=
的定义域为
{x|2kπ≤x≤2kπ+π
,
k∈Z}
,不关于原点
对称,故非奇非偶
.
2.
函数
f(x)= sin 2x
为
(
)
A.
奇函数
B.
偶函数
C.
既奇又偶函数
D.
非奇非偶函数
【
解析
】
选
A.f(x)= sin 2x
的定义域为
R
,
f(-x)= sin 2(-x)=
- sin 2x=-f(x)
,所以
f(x)
是奇函数
.
3.(
教材二次开发:例题改编
)
函数
f(x)=cos
的最小正周期是
_____.
【
解析
】
令
u=
,则
cos =cos u
是周期函数,且最小正周期为
2π.
所以
cos(u+2π)=cos u
,
所以
f(x)=
的最小正周期为
4π.
答案:
4π
关键能力
·
合作学习
类型一 求函数的周期
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.
已知定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(x+2)f(x)=-1
,则
f(x)
的周期为
(
)
A.2 B.4 C.6 D.1
2.
函数
f(x)=sin
的周期为
(
)
A. B. C.π D.2π
3.
函数
f(x)=|cos x|
的周期为
_______.
【
解析
】
1.
选
B.
因为
f(x+2)f(x)=-1
,
所以函数
f(x)
是周期函数,
4
是一个周期
.
2.
选
C.
因为
所以周期为
π.
3.y=|cos x|
的图象如图
(
实线部分
)
所示,
由图象可知,
y=|cos x|
的周期为
π.
答案:
π
【
解题策略
】
求三角函数周期方法
(1)
定义法:找一个非零常数
T
,使得定义域内的每一个
x
,都有
f(x+T)=
f(x)
,那么这个函数的周期为
T.
(2)
公式法:将函数化为
y=Asin(ωx+
φ
)+B
或
y=Acos(ωx+
φ
)+B
的形式,再利
用
T=
求得;
(3)
图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期
.
【
补偿训练
】
下列是定义在
R
上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是
(
)
【
解析
】
选
D.
对于
D
,
x∈(-1
,
1)
时的图象与其他区间图象不同,不是周期函
数
.
类型二 三角函数奇偶性的判断
(
逻辑推理
)
【
典例
】
1.
函数
y=sin
的图象
(
)
A.
关于
x
轴对称
B.
关于
y
轴对称
C.
关于原点对称
D.
关于直线 对称
2.
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x)
;
(2)f(x)=
【
思路导引
】
1.
依据
f(-x)=f(x)
或
f(-x)=-f(x)
推导函数的奇偶性,再根据奇偶函数的性质判断即可
.
2.
先求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,函数为非奇非偶函数,若定义域关于原点对称,则用定义判断函数的奇偶性
.
【
解析
】
1.
选
B.
因为
y=sin =cos x
,
又因为
cos(-x)=cos x
,为偶函数,
所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于
y
轴对称
.
2.(1)
由 得
-10
,所以
f(-x)=sin(-x)=-sin x
,
又
f(-x)=f(x)
,所以
f(x)=-sin x
,
即
f(x)=
答案:
f(x)=
相关文档
- 【数学】2018届一轮复习人教A版全2021-06-164页
- 【数学】2020届一轮复习人教版(理)第2021-06-1613页
- 高考数学一轮复习核心素养测评十七2021-06-168页
- 【数学】2020届一轮复习北师大版 2021-06-168页
- 2020-2021学年高三上学期月考数学2021-06-1612页
- 高考数学一轮复习专题9_8直线与圆2021-06-1616页
- 【数学】2018届一轮复习人教A版第82021-06-1615页
- 【数学】2020届一轮复习(文理合用)第2021-06-167页
- 2020_2021学年新教材高中数学第一2021-06-1637页
- 河南省全国百强校“领军考试”20202021-06-1610页