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  • 2021-06-16 发布

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

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5.4.2  正弦函数、余弦函数的性质 ( 一 ) 必备知识 · 自主学习 1. 函数的周期性 (1) 周期函数:一般地,设函数 f(x) 的定义域为 D ,如果存在一个非零常数 T , 使得对每一个 x∈D 都有 x+T∈D ,且 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x) 就叫做周期函 数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 . (2) 最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的 _____ , 那么这个最小 _____ 就叫做 f(x) 的最小正周期 . (3) 本质:随着自变量的取值周期性出现相同的函数值 . (4) 应用:函数的周期性是函数重要性质,是高考的常见考查知识点,在生 活中也有很多的应用 . 正数 正数 【 思考 】 周期函数都有最小正周期吗? 提示: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如,对于常数函数 f(x)=c(c 为常数, x∈R) ,所有非零实数 T 都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期 . 2. 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y=sin x y=cos x 周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 最小正周期 ____ ____ 奇偶性 ___ 函数 ___ 函数 2π 2π 奇 偶 【 思考 】 正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性? 提示: 正弦曲线关于原点对称,余弦曲线关于 y 轴对称 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1) 若 ,则 是函数 y=sin x 的一个周期 . (    ) (2) 若存在正数 T ,使 f(x+T)=-f(x) ,则函数 f(x) 的周期为 2T. (    ) (3) 函数 y= 是奇函数 . (    ) 提示: (1)×. 因为对任意 x , sin 与 sin x 并不一定相等 . (2)√.f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x) ,所以 f(x) 的周期为 2T. (3)×. 函数 y= 的定义域为 {x|2kπ≤x≤2kπ+π , k∈Z} ,不关于原点 对称,故非奇非偶 . 2. 函数 f(x)= sin 2x 为 (    )                   A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 【 解析 】 选 A.f(x)= sin 2x 的定义域为 R , f(-x)= sin 2(-x)= - sin 2x=-f(x) ,所以 f(x) 是奇函数 . 3.( 教材二次开发:例题改编 ) 函数 f(x)=cos 的最小正周期是 _____.  【 解析 】 令 u= ,则 cos =cos u 是周期函数,且最小正周期为 2π. 所以 cos(u+2π)=cos u , 所以 f(x)= 的最小正周期为 4π. 答案: 4π 关键能力 · 合作学习 类型一 求函数的周期 ( 数学运算 )   【 题组训练 】                   1. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+2)f(x)=-1 ,则 f(x) 的周期为 (    ) A.2 B.4 C.6 D.1 2. 函数 f(x)=sin 的周期为 (    ) A. B. C.π D.2π 3. 函数 f(x)=|cos x| 的周期为 _______.  【 解析 】 1. 选 B. 因为 f(x+2)f(x)=-1 , 所以函数 f(x) 是周期函数, 4 是一个周期 . 2. 选 C. 因为 所以周期为 π. 3.y=|cos x| 的图象如图 ( 实线部分 ) 所示, 由图象可知, y=|cos x| 的周期为 π. 答案: π 【 解题策略 】 求三角函数周期方法 (1) 定义法:找一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x ,都有 f(x+T)= f(x) ,那么这个函数的周期为 T. (2) 公式法:将函数化为 y=Asin(ωx+ φ )+B 或 y=Acos(ωx+ φ )+B 的形式,再利 用 T= 求得; (3) 图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期 . 【 补偿训练 】 下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 (    ) 【 解析 】 选 D. 对于 D , x∈(-1 , 1) 时的图象与其他区间图象不同,不是周期函 数 . 类型二 三角函数奇偶性的判断 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 函数 y=sin 的图象 (    )   A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 对称 2. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x) ; (2)f(x)= 【 思路导引 】 1. 依据 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x) 推导函数的奇偶性,再根据奇偶函数的性质判断即可 . 2. 先求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,函数为非奇非偶函数,若定义域关于原点对称,则用定义判断函数的奇偶性 . 【 解析 】 1. 选 B. 因为 y=sin =cos x , 又因为 cos(-x)=cos x ,为偶函数, 所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于 y 轴对称 . 2.(1) 由 得 -10 ,所以 f(-x)=sin(-x)=-sin x , 又 f(-x)=f(x) ,所以 f(x)=-sin x , 即 f(x)= 答案: f(x)=