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  • 2021-06-16 发布

四川省资阳市2021届高三上学期第一次诊断性考试(12月)文科数学试题 Word版含答案

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资阳市高中 2018 级第一次诊断性考试 文科数学 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合    1 3 0M x x x    ,  0,1,2,3,4N  ,则 M N  ( ). A. 1,2,3 B. 0,1,2 C. 0,1,2,3 D. 0,1,2,3,4 2.复数 2 1 i  ( ). A. 1 i  B. 1 i  C.1 i D.1 i 3.sin160 cos10 cos20 sin10      ( ). A. 3 2  B. 1 2  C. 1 2 D. 3 2 4.等差数列 na 中,若 2 6a  , 4 3a  ,则 5a  ( ). A. 3 2 B.3 C. 9 2 D.9 5.已知  1,2A ,  3,4B ,  2,2C  ,  3,5D  ,则向量 AB CD   ( ). A. 4 B. 2 C.4 D.6 6.执行如图所示的程序框图,若输入 6N  ,则输出的 S  ( ). A. 5 6 B. 6 7 C. 7 8 D. 8 9 7.“   3 31 1a b   ”是“ lg lga b ”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知 2log 5a  , 3log 7b  , 0.30.5c  ,则 a ,b , c 的大小关系为( ). A. c b a  B. a b c  C.b c a  D. c a b  9.函数   sinxf x e x 在区间 π,π 的图象大致是( ). A. B. C. D. 10.已知圆O 内切 ABC△ 的三边 AB , BC , AC 分别于 D , E , F ,且 2 3 19 0OD OE OF      , 则角 B  ( ). A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 11.已知函数   sin cosf x a x b x  ,其中 ,a bR ,且 0ab  ,若   π 4f x f      对一切 xR 恒成立, 则( ). A. π π 5 6f f          B.   5π 2f x f x     C. π 4f x    是偶函数 D. π 4f x    是奇函数 12.已知  f x 是定义在 R 上的偶函数,当 0x  时,    f x f x  (其中  f x 为  f x 的导函数),若   22f e ,则   xf x e 的解集为( ). A. 2,2 B. 1 1,2 2     C. 1 ,22     D. 1 ,22      二、填空题: 13. 2 2 1log 12 log 92   ______. 14.设 x , y 满足 1 3 1 0 x x y       ,则 2x y 的最大值为______. 15.等比数列 na 的各项均为正数,且 1 22 73 aa   , 2 4 2 816a a a  ,则 na  ______. 16.已知函数     2 , 1 1 2 , 12 x x f x f x x      ,若关于 x 的方程    1f x a x  有且仅有 4 个不等实数根,则 a 的取值范围是______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题 17.已知函数   π π2sin cos 2 3sin cos4 4f x x x x x            . (1)求  f x 单调递增区间; (2)若 8 52f      ,且 π ,π2      ,求sin 的值. 18.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 2 2nS n n  ;数列 nb 为等比数列,且 2 2b  , 5 16b  . (1)求 na , nb ; (2)求数列 n na b       的前 n 项和 nT . 19.在 ABC 中,内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,且满足 2 cos cos cosb A a C c A  . (1)求角 A 的大小; (2)若 2a  ,求b c 的最大值. 20.已知函数   3 2g x x ax  . (1)若函数  g x 在 1,3 上为单调函数,求 a 的取值范围; (2)已知 1a   , 0x  ,求证:   2 lng x x x . 21.已知函数   2 2 1xf x xe ax ax    . (1)当 2 1 2a e  时,求  f x 在 2x   处的切线方程; (2)当 1 1 0ae     时,讨论  f x 零点的个数. (二)选考题 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 1 cos sin x t y t       (t 为参数).以坐标原点为极点, x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 : 4cosC   . (1)求曲线 2C 的直角坐标方程; (2)若点  1,0A ,且 1C 和 2C 的交点分别为点 M , N ,求 1 1 AM AN  的取值范围. 23.[选修 4-5:不等式选讲] 已知不等式 2 3 3x x    解集为 M . (1)求 M ; (2)若 ,b c M ,证明: 4 4bc c b   . 参考答案 1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.B 12.A 13.2 14.10 15. 1 2 4n 16. 1 1,32 16      17.   πsin 2 3sin 2 cos2 3sin 22f x x x x x        π2sin 2 6x     , 由  π π π2 π 2 2 π2 6 2k x k k      Z , 得  π ππ π3 6k x k k     Z , 则函数单调递增区间为  π ππ , π3 6k k k      Z . (2)由 8 2 5f      得 π 82sin 6 5      ,即 π 4sin 6 5      , 由 π ,π2      , π 2π 7π,6 3 6       , 可得 π 3cos 6 5       , 则 π π π π π πsin sin sin cos cos sin6 6 6 6 6 6                          , 所以 4 3 3 1 4 3 3sin 5 2 5 2 10       . 18.(1) 2n  时,    22 1 2 1 2 1 2 1n n na S S n n n n n          , 由 2 2nS n n  可得 1 1 3a S  ,可知 1 3a  满足上式, 于是 2 1na n  . 设等比数列 nb 公比为 q ,则 1 2b q  , 4 1 16b q  ,解得 1 1b  , 2q  , 所以 12n nb  . (2)由(1)知 1 2 1 2n n n na b    , 则 0 2 1 3 5 7 2 1 2 2 2 2n n nT      L ① 于是 1 2 3 1 3 5 7 2 1 2 2 2 2 2n n nT     L ② ①-② 1 2 1 1 112 21 1 1 1 2 1 2 13 2 3 2 12 2 2 2 2 21 2 n n n n n n nT                           L 1 1 1 1 2 1 2 56 4 1 102 2 2 n n n n n nT                   . 19.(1)由正弦定理得 2sin cos sin cos sin cosB A A C C A  , 则  2sin cos sin sinB A A C B   ,于是 1cos 2A  , 又 0 πA  ,故 π 3A  . (2)根据余弦定理 2 2 2 2 22 cos 2a b c bc A b c bc      , 则     2 2 24 3 3 2 b cb c bc b c           , 即 2 16b c  ,当且仅当b c 时等号成立, 所以b c 的最大值为 4. 20.(1)由题   23 2g x x ax   , 若  g x 为单调递增,则   23 2 0g x x ax    在 1,3 上恒成立,则 3 2a   ; 若  g x 为单调递减,则   23 2 0g x x ax    在 1,3 上恒成立,则 9 2a   . 所以, a 的取值范围是 9 3, ,2 2              . (2)由题即证: lnx a ax  , 【法 1】令   lnu x x a x   ,   11 a xu x x x     , 当 0 1x  ,   0u x  ,函数  h x 单调递减, 当 1x  ,   0u x  ,函数  h x 单调递增. 所以    1 1u x u a   , 因为 1a   ,所以   0u x  , 故当 1a   时,对于任意 0x  ,   lng x x . 【法 2】令   lnu x x a x   , 由 1a   ,则   ln 1 lnu x x a x x x      , 令   1 lnh x x x   ,则   1 11 xh x x x     , 当 0 1x  ,   0h x  ,函数  h x 单调递减, 当 1x  ,   0h x  ,函数  h x 单调递增. 所以    1 0h x h  ,即   0u x  , 故当 1a   时,对于任意 0x  ,   lng x x . 21.由   2 2 1xf x xe ax ax    , 得       1 2 2 1 2x xf x x e ax a x e a        . (1) 2 1 2a e  时,可得   2 22f e     ,   2 22 1f e     , 则切线方程为  2 2 2 22 1y xe e      ,即 2 2 2 6 1y xe e     . (2)(ⅰ)当 0a  时,   1xf x xe  , 可知 0x  ,   0f x  , 又   1xf x xe  为 0, 的增函数,且  1 1 0f e   , 所以  f x 仅有一个零点. (ⅱ)当 0a  时,由   0f x  得 1x   或  ln 2x a  , ①若  ln 2 1a   ,即 1 02 ae    ,则 当  ln 2x a  时,   0f x  ,  f x 单调递增;  ln 2 1a x    时,   0f x  ,  f x 单调递减; 1x   时,   0f x  ,  f x 单调递增. 而      2 ln 2 ln 2 1 0f a a a     ,   33 1 1 021f e a e e        , 此时,  f x 仅有一个零点. ②若  ln 2 1a   ,即 1 2a e   ,则   0f x  ,  f x 为 R 上的增函数, 因为   00 1f    ,   31 1 0e af     , 此时  f x 仅有一个零点. ③若  ln 2 1a   ,即 1 2a e   ,则 当 1x   时,   0f x  ,  f x 单调递增;  1 ln 2x a    时,   0f x  ,  f x 单调递减;  ln 2x a  时,   0f x  ,  f x 单调递增. 因 1 11 2ae e      ,则   11 1 0aef       ,   22 8 1 02 ef a    , 结合   00 1f    知  f x 仅有 1 个零点. 综上,当 1 1 0ae     时,  f x 有 1 个零点; 22.(1)由 4cos  可得 2 4 cos   ,可得 2 2 4 0x y   . (2)将 1 cos sin x t y t       带入 2C 的直角坐标方程, 得     2 21 cos sin 4 1 cos 0t t t       , 即有 2 2 cos 3 0t t    , 所以 1 2 2cost t   , 1 2 3t t   . 则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 AM AN t t t t t t AM AN AM AN t t          2 2 1 2 1 24 4cos 12 3 3 t t t t      22 cos 3 2 3 4,3 3 3         . 23.(1)当 2x  时, 2 5 3x   ,得1 2x  ; 当 2 3x  时,1 3 成立,得 2 3x  ; 当 3x  时, 2 5 3x   ,得3 4x  , 所以原不等式的解集为  1,4x ,即  1,4M  . (2)要证明 4 4bc c b   , 即证明   2 24 4bc c b   ,即 2 2 2 216 16 0b c b c    , 即证明  2 216 1 0b c   , 由于 ,b c M ,所以 2 16 0b   , 2 1 0c   ,则有  2 216 1 0b c   , 所以 4 4bc c b   .