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- 2021-06-16 发布
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资阳市高中 2018 级第一次诊断性考试
文科数学
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 1 3 0M x x x , 0,1,2,3,4N ,则 M N ( ).
A. 1,2,3 B. 0,1,2 C. 0,1,2,3 D. 0,1,2,3,4
2.复数 2
1 i
( ).
A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
3.sin160 cos10 cos20 sin10 ( ).
A. 3
2
B. 1
2
C. 1
2
D. 3
2
4.等差数列 na 中,若 2 6a , 4 3a ,则 5a ( ).
A. 3
2 B.3 C. 9
2 D.9
5.已知 1,2A , 3,4B , 2,2C , 3,5D ,则向量 AB CD ( ).
A. 4 B. 2 C.4 D.6
6.执行如图所示的程序框图,若输入 6N ,则输出的 S ( ).
A. 5
6 B. 6
7 C. 7
8 D. 8
9
7.“ 3 31 1a b ”是“ lg lga b ”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8.已知 2log 5a , 3log 7b , 0.30.5c ,则 a ,b , c 的大小关系为( ).
A. c b a B. a b c C.b c a D. c a b
9.函数 sinxf x e x 在区间 π,π 的图象大致是( ).
A. B. C. D.
10.已知圆O 内切 ABC△ 的三边 AB , BC , AC 分别于 D , E , F ,且 2 3 19 0OD OE OF ,
则角 B ( ).
A. π
6 B. π
3 C. 2π
3 D. 5π
6
11.已知函数 sin cosf x a x b x ,其中 ,a bR ,且 0ab ,若 π
4f x f
对一切 xR 恒成立,
则( ).
A. π π
5 6f f
B. 5π
2f x f x
C. π
4f x
是偶函数 D. π
4f x
是奇函数
12.已知 f x 是定义在 R 上的偶函数,当 0x 时, f x f x (其中 f x 为 f x 的导函数),若
22f e ,则 xf x e 的解集为( ).
A. 2,2 B. 1 1,2 2
C. 1 ,22
D. 1 ,22
二、填空题:
13. 2 2
1log 12 log 92
______.
14.设 x , y 满足 1 3
1 0
x
x y
,则 2x y 的最大值为______.
15.等比数列 na 的各项均为正数,且 1 22 73 aa , 2
4 2 816a a a ,则 na ______.
16.已知函数
2 , 1
1 2 , 12
x x
f x
f x x
,若关于 x 的方程 1f x a x 有且仅有 4 个不等实数根,则
a 的取值范围是______.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(一)必考题
17.已知函数 π π2sin cos 2 3sin cos4 4f x x x x x
.
(1)求 f x 单调递增区间;
(2)若 8
52f
,且 π ,π2
,求sin 的值.
18.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 2 2nS n n ;数列 nb 为等比数列,且 2 2b , 5 16b .
(1)求 na , nb ;
(2)求数列
n
na
b
的前 n 项和 nT .
19.在 ABC 中,内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,且满足 2 cos cos cosb A a C c A .
(1)求角 A 的大小;
(2)若 2a ,求b c 的最大值.
20.已知函数 3 2g x x ax .
(1)若函数 g x 在 1,3 上为单调函数,求 a 的取值范围;
(2)已知 1a , 0x ,求证: 2 lng x x x .
21.已知函数 2 2 1xf x xe ax ax .
(1)当 2
1
2a e
时,求 f x 在 2x 处的切线方程;
(2)当 1 1 0ae
时,讨论 f x 零点的个数.
(二)选考题
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 1 cos
sin
x t
y t
(t 为参数).以坐标原点为极点, x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 : 4cosC .
(1)求曲线 2C 的直角坐标方程;
(2)若点 1,0A ,且 1C 和 2C 的交点分别为点 M , N ,求 1 1
AM AN
的取值范围.
23.[选修 4-5:不等式选讲]
已知不等式 2 3 3x x 解集为 M .
(1)求 M ;
(2)若 ,b c M ,证明: 4 4bc c b .
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C
11.B 12.A
13.2 14.10 15. 1
2
4n 16. 1 1,32 16
17. πsin 2 3sin 2 cos2 3sin 22f x x x x x
π2sin 2 6x
,
由 π π π2 π 2 2 π2 6 2k x k k Z ,
得 π ππ π3 6k x k k Z ,
则函数单调递增区间为 π ππ , π3 6k k k Z .
(2)由 8
2 5f
得 π 82sin 6 5
,即 π 4sin 6 5
,
由 π ,π2
, π 2π 7π,6 3 6
,
可得 π 3cos 6 5
,
则 π π π π π πsin sin sin cos cos sin6 6 6 6 6 6
,
所以 4 3 3 1 4 3 3sin 5 2 5 2 10
.
18.(1) 2n 时, 22
1 2 1 2 1 2 1n n na S S n n n n n ,
由 2 2nS n n 可得 1 1 3a S ,可知 1 3a 满足上式,
于是 2 1na n .
设等比数列 nb 公比为 q ,则 1 2b q , 4
1 16b q ,解得 1 1b , 2q ,
所以 12n
nb .
(2)由(1)知 1
2 1
2n n n
na b
,
则 0 2 1
3 5 7 2 1
2 2 2 2n n
nT
L ①
于是 1 2 3
1 3 5 7 2 1
2 2 2 2 2n n
nT L ②
①-②
1
2 1
1 112 21 1 1 1 2 1 2 13 2 3 2 12 2 2 2 2 21 2
n
n n n n
n nT
L
1
1 1
1 2 1 2 56 4 1 102 2 2
n
n n n
n nT
.
19.(1)由正弦定理得 2sin cos sin cos sin cosB A A C C A ,
则 2sin cos sin sinB A A C B ,于是 1cos 2A ,
又 0 πA ,故 π
3A .
(2)根据余弦定理 2 2 2 2 22 cos 2a b c bc A b c bc ,
则
2
2 24 3 3 2
b cb c bc b c
,
即 2 16b c ,当且仅当b c 时等号成立,
所以b c 的最大值为 4.
20.(1)由题 23 2g x x ax ,
若 g x 为单调递增,则 23 2 0g x x ax 在 1,3 上恒成立,则 3
2a ;
若 g x 为单调递减,则 23 2 0g x x ax 在 1,3 上恒成立,则 9
2a .
所以, a 的取值范围是 9 3, ,2 2
.
(2)由题即证: lnx a ax ,
【法 1】令 lnu x x a x , 11 a xu x x x
,
当 0 1x , 0u x ,函数 h x 单调递减,
当 1x , 0u x ,函数 h x 单调递增.
所以 1 1u x u a ,
因为 1a ,所以 0u x ,
故当 1a 时,对于任意 0x , lng x x .
【法 2】令 lnu x x a x ,
由 1a ,则 ln 1 lnu x x a x x x ,
令 1 lnh x x x ,则 1 11 xh x x x
,
当 0 1x , 0h x ,函数 h x 单调递减,
当 1x , 0h x ,函数 h x 单调递增.
所以 1 0h x h ,即 0u x ,
故当 1a 时,对于任意 0x , lng x x .
21.由 2 2 1xf x xe ax ax ,
得 1 2 2 1 2x xf x x e ax a x e a .
(1) 2
1
2a e
时,可得 2
22f e
, 2
22 1f e
,
则切线方程为 2 2
2 22 1y xe e
,即 2 2
2 6 1y xe e
.
(2)(ⅰ)当 0a 时, 1xf x xe ,
可知 0x , 0f x ,
又 1xf x xe 为 0, 的增函数,且 1 1 0f e ,
所以 f x 仅有一个零点.
(ⅱ)当 0a 时,由 0f x 得 1x 或 ln 2x a ,
①若 ln 2 1a ,即 1 02 ae
,则
当 ln 2x a 时, 0f x , f x 单调递增;
ln 2 1a x 时, 0f x , f x 单调递减;
1x 时, 0f x , f x 单调递增.
而 2
ln 2 ln 2 1 0f a a a , 33 1 1 021f e a e e
,
此时, f x 仅有一个零点.
②若 ln 2 1a ,即 1
2a e
,则 0f x , f x 为 R 上的增函数,
因为 00 1f , 31 1 0e af ,
此时 f x 仅有一个零点.
③若 ln 2 1a ,即 1
2a e
,则
当 1x 时, 0f x , f x 单调递增;
1 ln 2x a 时, 0f x , f x 单调递减;
ln 2x a 时, 0f x , f x 单调递增.
因 1 11 2ae e
,则 11 1 0aef , 22 8 1 02 ef a ,
结合 00 1f 知 f x 仅有 1 个零点.
综上,当 1 1 0ae
时, f x 有 1 个零点;
22.(1)由 4cos 可得 2 4 cos ,可得 2 2 4 0x y .
(2)将 1 cos
sin
x t
y t
带入 2C 的直角坐标方程,
得 2 21 cos sin 4 1 cos 0t t t ,
即有 2 2 cos 3 0t t ,
所以 1 2 2cost t , 1 2 3t t .
则 1 2 1 2 1 2
1 2
1 1
3 3
AM AN t t t t t t
AM AN AM AN t t
2 2
1 2 1 24 4cos 12
3 3
t t t t
22 cos 3 2 3 4,3 3 3
.
23.(1)当 2x 时, 2 5 3x ,得1 2x ;
当 2 3x 时,1 3 成立,得 2 3x ;
当 3x 时, 2 5 3x ,得3 4x ,
所以原不等式的解集为 1,4x ,即 1,4M .
(2)要证明 4 4bc c b ,
即证明 2 24 4bc c b ,即 2 2 2 216 16 0b c b c ,
即证明 2 216 1 0b c ,
由于 ,b c M ,所以 2 16 0b , 2 1 0c ,则有 2 216 1 0b c ,
所以 4 4bc c b .
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