- 5.74 MB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
1.2 利用二分法求方程的近似解
1.根据具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.
2.学习利用二分法求方程近似解的过程和方法.
1.二分法的概念
对于图像在区间[a,b]上连续不断且满足 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),每次取区间
的_________,将区间___________,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分
法.
二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步找到零点
附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
【做一做】 已知函数 f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)·f(2)<0,用二分法逐次计算时,
若 x0 是[1,2]的中点,则 f(x0)=________.
2.用二分法求方程的近似解的过程
过程如图所示.
在图中:
“初始区间”是一个两端函数值________号的区间;
“M”的含义是:取新区间,一个端点是原区间的____________,另一端是原区间两端
点中的一个,新区间两端点的函数值反号;
“N”的含义是:方程解满足要求的________.
“P”的含义是:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.
在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分析函数的____和
___________.初始区间可以选得不同,不影响最终计算结果.
函数连续值两端,相乘为负有零点,
区间之内有一数,方程成立很显然.
要求方程近似解,先看零点的区间,
每次区间分为二,分后两端近零点.
答案:1.中点 一分为二
【做一做】 0.625
2.中点 零 反 中点 精度 性质 试验估计
用二分法求方程的近似解需注意什么?
剖析:用二分法求方程的近似解要注意的问题:
(1)要看清题目要求的精度,它决定着二分法步骤的结束.
(2)初始区间的选定一般在两个整数间,不同的初始区间结果是相同的,但二分的次数
却相差较大.
(3)用二分法求出的零点一般是零点的近似值,但并不是所有函数都可以用二分法求零
点,必须满足在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 这样条件的函数才能用二分法求得
零点的近似值.
题型一 函数零点的性质
【例 1】 函数 f(x)=x3-2x2+3x-6 在区间[-2,4]上的零点必定在( ).
A.[-2,1]内 B.[5
2
,4]内 C.[1,7
4
]内 D.[7
4
,5
2
]内
分析:按二分法的顺序是计算 f(1),f(5
2
)等进行,但数据计算较麻烦,[-2,4]内的整
数较多,选易计算的整数求解.
反思:用二分法求函数的近似零点,是取中点求函数值,看符号,确定新区间,再取中
点求函数值等依次进行下去.
有时从计算速度上考虑,首先把整数代入计算会更快一些,如 f(0),f(±1),….
题型二 求方程的近似解
【例 2】 求方程 lgx-2-x+1=0 的近似解(精度为 0.1).
分析:先确定 f(x)=lgx-2-x+1 的零点所在的大致区间,再用二分法求解.
反思:求方程近似解的步骤:(1)构造函数,利用图像或单调性确定方程解所在的大致
区间,通常限制在区间(n,n+1),n∈Z;(2)利用二分法求出满足精度的方程解所在的区间
M;(3)写出方程的近似解.
题型三 用二分法证明方程根的分布
【例 3】 已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明 a>0,
并利用二分法证明方程 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根.
分析:∵f(0)>0,f(1)>0,
∴只需在[0,1]内找到一个点的函数值小于零即可.
反思:根据二分法,若 f
1
2 <0 不成立,可计算 f
1
4 是否为负,若还不成立,再计算
f
3
4 是否为负,总之,在区间[0,1]内找到一个分点,使对应函数值为负即可.
题型四 二分法的实际应用
【例 4】 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故
障.这是一条 10 km 长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段地查找,
困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有 200 多根电线杆呢.想一想,维
修线路的工人师傅怎样工作最合理?
分析:先检查中间一根电线杆,则将故障的范围缩小一半,再用同样方法依次检查下去.
反思:这种检查线路故障的方法,就是二分法的应用.二分法不仅可用于查找线路、水
管、气管故障,还可用于实验设计、资料查询,也是求根的常用方法.
答案:【例 1】 D 解:f(0)=-6<0,f(1)=-4<0,f(2)=0,
故 2 为一零点在(1,3)内,只有 D 选项满足.
【例 2】 解:令 f(x)=lgx-2-x+1,函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
因为函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数(证明略),所以 f(x)至多有一个零点.
又因为 f(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933 032 992<0,
所以方程在[0.1,1]内有唯一一个实数解.
使用二分法求解,如下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值
第 1 次 0.1 -0.933 032 992 1 0.5
第 2 次 0.1 -0.933 032 992 0.55 0.057 342 561
第 3 次 0.325 -0.286 415 025 0.55 0.057 342 561
第 4 次 0.437 5 -0.097 435 016 0.55 0.057 342 561
第 5 次 0.493 75 -0.016 669 624 0.55 0.057 342 561
由于区间[0.493 75,0.55]的区间长度为 0.056 25,它小于 0.1,因此,我们可以选取
这一区间内的任意一个数作为方程 lg x-2-x+1=0 的近似解.例如,选取 0.5 作为方程 lg
x-2-x+1=0 的一个近似解.
【例 3】 解:∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0,
即 3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,
∴-b-2c>0,则-b-c>c,即 a>c.
∵f(0)>0,∴c>0,则 a>0.
在[0,1]内选取二等分点1
2
,
则 f
1
2 =3
4
a+b+c=3
4
a+(-a)=-1
4
a<0.
∵f(0)>0,f(1)>0,
∴f(x)在区间[0,1
2
]和[1
2
,1]内分别存在一个零点.又二次方程 f(x)=0 最多有两个实
根,
∴方程 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根.
【例 4】 解:如图,他首先从中点 C 查.用随身带的话机向两端测试时,发现 AC 段正
常,断定故障在 BC 段,再到 BC 段中点 D,这次发现 BD 段正常,可见故障在 CD 段,再到 CD
段中点去查.
每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,要把故障可能发生的范围缩小到 50 m 至
100 m,即一两根电线杆附近,只要检查 7 次就够了.
1 下列图像与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( ).
2 下列函数中,必须用二分法求其零点的是( ).
A.y=x+7 B.y=5x-1
C.y=log3x D.y= 1
2
x
x
3 用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的零点,验证 f(2)·f(4)<0.给定精度ε=
0.01,取区间(2,4)的中点 x1 = 2 4 32
,计算得 f(2)·f(x1)<0,则此时零点 x0 ∈
__________.(填区间)
4 用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,
可得其中一个零点 x0∈__________,第二次应计算__________,这时可判断 x0∈__________.
5 求方程 ln x+x-3=0 在(2,3)内的近似解.(精确到 0.1)
答案:1.A
2.D D 选项中无法解方程 1 02
x
x
,则必须用二分法求零点.
3.(2,3) ∵f(2)·f(3)<0,∴x0∈(2,3).
4.(0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5) 由二分法知 x0∈(0,0.5),取 x1=0.25,这时 f(0.25)
=0.253+3×0.25-1<0,
故 x0∈(0.25,0.5).
5.分析:借助于计算器,利用二分法求解.
解:令 f(x)=lnx+x-3,即求函数 f(x)在(2,3)内的零点.
因为 f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,即(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值
第 1 次 2 -0.306 85 3 1.098 61
第 2 次 2 -0.306 85 2.5 0.416 29
第 3 次 2 -0.306 85 2.25 0.060 93
第 4 次 2.125 -0.121 23 2.25 0.060 93
第 5 次 2.187 5 -0.029 74 2.25 0.060 93
第 6 次 2.187 5 -0.029 74 2.218 75 0.015 69
由于区间(2.187 5,2.218 75)内所有值精确到 0.1,都是 2.2,所以方程的近似解是 2.2.
相关文档
- 高中数学(人教版a版必修一)配套课时2021-06-169页
- 高中数学第一章1-1变化率与导数练2021-06-165页
- 高中数学必修4平面向量知识点总结(2021-06-168页
- 2020-2021学年高中数学新教材人教B2021-06-169页
- 2020秋新教材高中数学第五章三角函2021-06-1622页
- 高中数学人教a版必修4课时达标检测2021-06-163页
- 高中数学人教a版必修四课时训练:2-42021-06-164页
- 2020_2021学年新教材高中数学第十2021-06-1640页
- 2020_2021学年高中数学第一章解三2021-06-1650页
- 2020_2021学年新教材高中数学第六2021-06-1625页