高中数学第一章1-1变化率与导数练习新人教B版选修2-2 5页

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.1 变化率与导数练习 新 人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．已知函数 f(x)＝2x2－4 的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx 等 于 ( )． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点 M 按规律 s＝3＋t2 运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ( )． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为 s＝2(1－t2)(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，那么其在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( )． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( )． A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 5．设函数 f(x)可导，则 lim Δx→0 f 1＋Δx －f 1 3Δx 等于( )． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3 f′(1) D．f′(3) 6．已知函数 y＝2＋1 x ，当 x 由 1 变到 2 时，函数的增量Δy＝________. 7．一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 8．某物体作匀速运动，其运动方程是 s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时 刻的瞬时速度的关系是________． 9．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是 a＝5×105 m/s2，子弹 从枪口射出时所用的时间为 t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 10．已知 f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足 f′(x)＋2＝g′(x)的 x 的值． 1．已知函数 f(x)＝2x2－4 的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx 等 于 ( )． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析 Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1 Δx ＝2 1＋Δx 2－2 Δx ＝4＋2Δx. 答案 C 2．如果质点 M 按规律 s＝3＋t2 运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ( )． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 解析 v ＝ 3＋2.12 － 3＋22 0.1 ＝4.1. 答案 B 3．如果某物体的运动方程为 s＝2(1－t2)(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，那么其在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( )． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 解析 物体运动在 1.2 s 末的瞬时速度即为 s 在 1.2 处的导数，利用导数的定义即可求 得． 答案 A 4．已知函数 y＝2＋1 x ，当 x 由 1 变到 2 时，函数的增量Δy＝________. 解析 Δy＝ 2＋1 2 －(2＋1)＝－1 2 . 答案 －1 2 5．已知函数 y＝2 x ，当 x 由 2 变到 1.5 时，函数的增量Δy＝________. 解析 Δy＝f(1.5)－f(2)＝ 2 1.5 －2 2 ＝4 3 －1＝1 3 . 答案 1 3 6．利用导数的定义，求函数 y＝1 x2＋2 在点 x＝1 处的导数． 解 ∵Δy＝ 1 x＋Δx 2＋2 － 1 x2＋2 ＝－2xΔx－Δ x 2 x＋Δx 2·x2 ， ∴Δy Δx ＝ －2x－Δx x＋Δx 2·x2， ∴y′＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 －2x－Δx x＋Δx 2·x2＝－2 x3， ∴y′|x＝1＝－2. 综合提高 限时 25 分钟 7．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为 ( )． A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析 Δy＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B 8．设函数 f(x)可导，则 lim Δx→0 f 1＋Δx －f 1 3Δx 等于 ( )． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3 f′(1) D．f′(3) 解析 根据导数的定义： lim Δx→0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝f′(1)， lim Δx→0 f 1＋Δx －f 1 3Δx ＝1 3 f′(1)． 答案 C 9．一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 解析 v 初＝s′|t＝0＝ lim Δt→0 s 0＋Δt －s 0 Δt ＝ lim Δt→0 (3－Δt)＝3. 答案 3 10．某物体作匀速运动，其运动方程是 s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时 刻的瞬时速度的关系是________． 解析 v0＝ lim Δt→0 Δs Δt ＝ lim Δt→0 s t0＋Δt －s t0 Δt ＝ lim Δt→0 v t0＋Δt －vt0 Δt ＝ lim Δt→0 v·Δt Δt ＝v. 答案 相等 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是 a＝5×105 m/s2，子弹 从枪口射出时所用的时间为 t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 解 运动方程为 s＝1 2 at2. ∵Δs＝1 2 a(t0＋Δt)2－1 2 at2 0 ＝at0Δt＋1 2 a(Δt)2， ∴Δs Δt ＝at0＋1 2 aΔt， ∴ lim Δt→0 Δs Δt ＝at0. 由题意知 a＝5×105，t0＝1.6×10－3， 故 at0＝8×102＝800(m/s)． 即子弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s. 12．(创新拓展)已知 f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足 f′(x)＋2＝g′(x)的 x 的值． 解 由导数的定义知， f′(x)＝lim Δx→0 x＋Δx 2－x2 Δx ＝2x， g′(x)＝lim Δx→0 x＋Δx 3－x3 Δx ＝3x2. ∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2. 即 3x2－2x－2＝0，解得 x＝1－ 7 3 或 x＝1＋ 7 3 .