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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习北师大版 含有一个量词的命题的否定 课时作业
1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则( )
A.綈p:∃x0∈A,2x0∈B,且綈p是假命题
B.綈p:∃x0∉A,2x0∈B,且綈p是真命题
C.綈p:∃x0∈A,2x0∉B,且綈p是假命题
D.綈p:∀x∉A,2x∉B,且綈p是真命题
答案 C
解析 原命题的否定:∃x0∈A,2x0∉B.由于原命题是真命题,所以其否定是假命题.
2.命题“零向量与任意向量共线”的否定为________.
答案 有的向量与零向量不共线
解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”,是全称命题,其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.
知识点二 特称命题的否定
3.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A.∀x∈R,|x|>0 B.∃x0∈R,|x0|>0
C.∀x∈R,|x|≤0 D.∃x0∈R,|x0|≤0
答案 C
解析 由“有些”,知原命题为特称命题,故其否定为全称命题,因为命题的否定只否定结论,所以选C.
4.特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________.
答案 所有三角形的三条中线不相等
解析 特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是“所有三角形的三条中线不相等”.
知识点三 求参数的取值范围
5.命题p:∀x∈R,ax2+ax+1≥0,若綈p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4] B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
答案 D
解析 当a=0时,不等式恒成立;当a≠0时,要使不等式恒成立,则有即解得04.
一、选择题
1.命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( )
A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1
B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1
C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1
D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1
答案 A
解析 “∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1”.
2.下列命题的否定是真命题的是( )
A.有理数是实数
B.有些平行四边形是菱形
C.∃x0∈R,2x0+3=0
D.∀x∈R,x2-2x>1
答案 D
解析 根据原命题和它的否定真假相反的法则判断.A、B、C显然正确,而D中不等式解集不是R,故选D.
3.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p:能被2整除的数是偶数;綈p:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:有些矩形是正方形;綈p:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形为正三角形;綈p:所有的三角形不都是正三角形
D.p:∃n∈N,2n≤100;綈p:∀n∈N,2n>100
答案 C
解析 A、B、D正确;C错误,綈p:所有的三角形都不是正三角形.
4.“存在整数m0,n0,使得m=n+2011”的否定是( )
A.任意整数m,n,使得m2=n2+2011
B.存在整数m0,n0,使得m≠n+2011
C.任意整数m,n,使得m2≠n2+2011
D.以上都不对
答案 C
解析 特称命题的否定是全称命题,应含全称量词.
5.已知f(x)=ex+x-1,命题p:∀x∈(0,+∞),f(x)>0,则( )
A.p是真命题,綈p:∃x∈(0,+∞),f(x)<0
B.p是真命题,綈p:∃x∈(0,+∞),f(x)≤0
C.p是假命题,綈p:∃x∈(0,+∞),f(x)<0
D.p是假命题,綈p:∃x∈(0,+∞),f(x)≤0
答案 B
解析 由于函数y=ex和y=x-1在R上均是增函数,则f(x)=ex+x-1在R上是增函数,当x>0时,f(x)>f(0)=0,所以p为真命题,綈p:∃x∈(0,+∞),f(x)≤0,故选B.
二、填空题
6.命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是________.
答案 有些偶函数的图象关于y轴不对称
解析 本题中的命题是全称命题,省略了全称量词,加上全称量词后该命题可以叙述为:所有偶函数的图象关于y轴对称.将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”,结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”,所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”.
7.已知命题p:∃x0∈R,使sinx0=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:
①命题p是真命题;
②命题q是假命题;
③命题(綈p)∧q是真命题;
④命题p∨(綈q)是假命题.
其中正确的是________.
答案 ③④
解析 对于命题p,因为函数y=sinx的值域为[-1,1],所以命题p为假命题;
对于命题q,因为函数y=x2+x+1的图象开口向上,最小值在x=-处取得,且f=>0,所以命题q为真命题.
由命题p为假命题和命题q为真命题可得:命题(綈p)∧q是真命题;命题p∨(綈q)是假命题,故③④正确.
8.已知命题p:对于任意的实数x,存在实数m,使得4x-2x+1+m=0.若命题p是假命题,则实数m的取值范围为________.
答案 (1,+∞)
解析 设t=2x>0,f(t)=-t2+2t,∴f(t)在(0,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,f(1)=-1+2=1,∴对于任意的实数x,有-4x+2x+1≤1.若命题p是真命题时,有m=-4x+2x+1≤1,∴命题p是假命题时,实数m的取值范围为(1,+∞).
三、解答题
9.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:直线l⊥平面α,则对任意直线m⊂α,l⊥m;
(2)q:∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数;
(3)r:存在一个向量a与0不共线;
(4)s:∃α,β∈R,cos(α+β)=cosα+cosβ.
解 (1)綈p:直线l⊥平面α,则存在直线m0⊂α,l与m0不垂直,假命题.
(2)綈q:∃φ0∈R,函数f(x)=sin(2x+φ0)是偶函数,真命题.
(3)綈r:任意一个向量a与0共线,真命题.
(4)綈s:∀α,β∈R,cos(α+β)≠cosα+cosβ,假命题.
10.(1)已知命题“∃x0∈[1,2],x-m≥0”为真命题,求实数m的取值范围;
(2)已知命题“∀x∈[1,2],x2-m≥0”为真命题,求实数m的取值范围.
解 (1)∵“∃x0∈[1,2],x-m≥0”成立,
∴x2-m≥0在x∈[1,2]有解,
又函数y=x2在[1,2]上单调递增,
∴y=x2的最大值为22=4.
∴4-m≥0,即m≤4,
∴实数m的取值范围是(-∞,4].
(2)∵“∀x∈[1,2],x2-m≥0”成立,
∴x2-m≥0在x∈[1,2]恒成立.
又函数y=x2在[1,2]上单调递增,
∴y=x2-m的最小值为1-m.
∴1-m≥0,得m≤1.
∴实数m的取值范围是(-∞,1].
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