【数学】2020届一轮复习北师大版数系的扩充与复数的引入课时作业 6页

‎2020届一轮复习北师大版 数系的扩充与复数的引入 课时作业 一、选择题 ‎1．(2018·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．‎ ‎2．(2018·湖南文，1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎[答案]　D ‎[解析]　由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z的代数式；由题＝1＋i，∴z＝＝＝＝－1－i，故选D．‎ ‎3．(2018·河北衡水中学二调)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于(　　) ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案]　B ‎[解析]　＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．‎ ‎4．(2018·开滦三中期中)若复数是纯虚数，则实数a的值为(　　)‎ A．2 B．－ C． D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵＝ ‎＝是纯虚数，∴a＝2．‎ ‎5．设z1＝，z2＝(1＋i)(1－i)，z＝z1＋z2，则＝(　　)‎ A．3－i B．＋i C．－i D．＋i ‎[答案]　D ‎[解析]　z1＝＝＝－i，‎ z2＝(1＋i)(1－i)＝2，‎ z＝z1＋z2＝－i，‎ ‎∴z＝＋i．‎ ‎6．(2018·唐山市一模)设(2＋i)＝3＋4i，则z＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i ‎[答案]　D ‎[解析]　解法1：＝＝2＋i，∴z＝2－i，故选D．‎ 解法2：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ‎(2＋i)(a－bi)＝3＋4i，‎ ‎∴∴ ‎∴z＝2－i．‎ 二、填空题 ‎7．已知a、b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝__________ ________．‎ ‎[答案]　1＋2i ‎[解析]　由(a＋i)(1＋i)＝bi得，a＋(1＋a)i－1＝bi，‎ ‎∴，∴b＝2，a＝1，∴a＋bi＝1＋2i．‎ ‎8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝__________ ________．‎ ‎[答案]　2＋i ‎[解析]　(1＋2i)·＝4＋3i，‎ ＝＝＝2－i，∴z＝2＋i．‎ ‎9．如果复数z＝(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝__________ ______‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　z＝＝ ‎＝，‎ ‎∴2－2b＝b＋4，∴b＝－．‎ 三、解答题 ‎10．计算：‎ ‎(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；‎ ‎(2)．‎ ‎[答案]　(1)＋i　(2)－2－2i ‎[解析]　(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)‎ ‎＝(－＋i)(7－i)＝＋i．‎ ‎(2)＝ ‎＝＝ ‎＝＝－2－2i．‎ 一、选择题 ‎11．(2018·鱼台一中高二期中)已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎[答案]　A ‎[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)‎ i＋2＝2(a＋bi)，‎ ‎∴2＋(a2＋b2)i＝‎2a＋2bi，‎ 由复数相等的条件得，‎ ∴∴z＝1＋i，故选A．‎ ‎12．(2018·石家庄质检)设z＝1＋i(i上虚数单位)，则＋z2等于(　　)‎ A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i ‎[答案]　C ‎[解析]　＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i．‎ ‎13．(2018·长安一中质检)设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝(　　)‎ A．6z B．6z2‎ C．6 D．－6z ‎[答案]　C ‎[解析]　z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6．‎ ‎14．(2018·郑州市质检)若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为(　　)‎ A． B．i C．1 D．i ‎[答案]　A ‎[解析]　解法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(2－i)(a＋bi)＝，‎ ‎∴(‎2a＋b)＋(2b－a)i＝．‎ 由复数相等的条件知 ‎∴∴z的虚部为．‎ 解法2：将两边同乘以2＋i得，5z＝(2＋i)，‎ ‎∴z＝＋i，∴z的虚部为．‎ 解法3：z＝＝＝＋i，∴z的虚部为．‎ 二、填空题 ‎15．(2012·湖北文，12)若＝a＋bi(a、b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝__________ ________．‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　＝＝＋i＝a＋bi，即，解得a＝0，b＝3．∴a＋b＝3．‎ 另解：3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝(a＋b)＋(b－ai)，‎ ‎∴解得，∴a＋b＝3．‎ ‎16．若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，对应点在直线y＝x上，则z＝__________ ________．‎ ‎[答案]　－3＋4i ‎[分析]　利用对应点在直线y＝x上可设出z或，再利用|z|＝5可列方程求解，最后由z的对应点在第二象限决定取舍．‎ ‎[解析]　设＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti，‎ ‎∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，‎ ‎∵z的对应点在第二象限，∴t<0，‎ ‎∴t＝－1，∴z＝－3＋4i．‎ 三、解答题 ‎17．(2013·重庆南开中学高二期中)已知＝1－ni，(m、n∈R，i是虚数单位)，求m、n的值．‎ ‎[答案]　m＝1　n＝2‎ ‎[解析]　∵＝1－ni，∴＝1－ni，‎ ‎∴m－mi＝2－2ni，∴，∴．‎ ‎18．已知z是虚数，且z＋是实数，求证：是纯虚数．‎ ‎[分析]　将z＝x＋yi(x、y∈R且y≠0)代入z＋，分别化为代数形式．‎ ‎[证明]　设z＝x＋yi，x、y∈R，且y≠0．‎ 由已知得z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝(x＋)＋(y－)i．‎ ‎∵z＋是实数，∴y－＝0，即x2＋y2＝1，且x≠±1，‎ ‎∴＝ ‎＝＝ ‎＝－i．‎ ‎∵y≠0，x≠－1，∴是纯虚数．‎