2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 章末综合提升 16页

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] (教师独具) 空间向量的线性运算和数量积 【例 1】　(1)如图，已知空间四边形 ABCD，E，H 分别是边 AB，AD 的中点， F，G 分别是边 CB，CD 上的点，且CF → ＝2 3CB → ，CG → ＝2 3CD → .求证：四边形 EFGH 是 梯形． (2)已知正四面体 OABC 的棱长为 1，如图．求： ①OA → ·OB → ； ②(OA → ＋OB → )·(CA → ＋CB → )； ③|OA → ＋OB → ＋OC → |. [思路探究]　(1)利用向量共线定理证明． (2)利用数量积的定义及运算法则进行． [解]　(1)证明：∵E，H 分别是边 AB，AD 的中点，∴AE → ＝1 2AB → ，AH → ＝1 2AD → . 则EH → ＝AH → －AE → ＝1 2AD → －1 2AB → ＝1 2(AD → －AB → )＝1 2BD → . ∵FG → ＝CG → －CF → ＝2 3CD → －2 3CB → ＝2 3(CD → －CB → )＝2 3BD → ， ∴EH → ∥FG → 且|EH → |＝3 4|FG → |≠|FG → |. 又 F 不在 EH 上，故四边形 EFGH 是梯形． (2)在正四面体 OABC 中，|OA → |＝|OB → |＝|OC → |＝1. 〈OA → ，OB → 〉＝〈OA → ，OC → 〉＝〈OB → ，OC → 〉＝60°. ①OA → ·OB → ＝|OA → ||OB → |·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝1 2. ②(OA → ＋OB → )·(CA → ＋CB → ) ＝(OA → ＋OB → )·(OA → －OC → ＋OB → －OC → ) ＝(OA → ＋OB → )·(OA → ＋OB → －2OC → ) ＝OA2→ ＋2OA → ·OB → －2OA → ·OC → ＋OB → 2－2O B → ·OC → ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－ 1＋1－1＝1. ③|OA → ＋ OB → ＋ OC → | ＝ (OA → ＋OB → ＋OC → )2＝ 12＋12＋12＋(2 × 1 × 1 × cos 60°) × 3＝ 6. 1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量 作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本 要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式 cos〈a， b〉＝ a·b |a| ·|b| 是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2＝|a|2， a 在 b 上的投影a·b |b| ＝|a|·cos θ 等． [跟进训练] 1.如图，已知 ABCD­A′B′C′D′是平行六面体．设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是 侧面 BCC′B′对角线 BC′上的 3 4 分点，设MN → ＝αAB → ＋βAD → ＋γAA′ → ，则 α＋β＋γ＝ ________. 3 2 　[连接 BD，则 M 为 BD 的中点， MN → ＝MB → ＋BN → ＝1 2DB → ＋3 4BC′ → ＝1 2(DA → ＋AB → )＋ 3 4(BC → ＋CC′ → )＝1 2(－AD → ＋AB → )＋3 4(AD → ＋AA′ → ) ＝1 2AB → ＋1 4AD → ＋3 4AA′ → . ∴α＝1 2 ，β＝1 4 ，γ＝3 4. ∴α＋β＋γ＝3 2.] 空间向量基本定理 【例 2】　(1)已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若 a，b，c 三个向量不能构成空间的一个基底，则实数 λ 的值为(　　) A．0　　　B．35 7 　　　C．9　　　D．65 7 (2)如图，已知空间四边形 OABC，对角线 OB，AC，M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG＝2GN，用基底向量OA → ，OB → ，OC → 表示向量 OG → . (1)D　[∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，a，b，c 三个向量不能构成空间的 一个基底， ∴a 与 b 不平行，且 a，b，c 三个向量共面， ∴存在实数 X，Y，使得 c＝Xa＋Yb， 即Error!解得 λ＝65 7 .] (2)[解]　OG → ＝OM → ＋MG → ＝OM → ＋2 3MN → ＝1 2OA → ＋2 3(ON → －OM → ) ＝1 2OA → ＋2 3[1 2 (OB → ＋OC → )－1 2OA → ] ＝1 2OA → ＋1 3(OB → ＋OC → )－1 3OA → ＝1 6OA → ＋1 3OB → ＋1 3OC → . 基底的判断方法 判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首 先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正 面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组， 若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． [跟进训练] 2.如图，三棱柱 ABC­A1B1C1 中，M，N 分别是 A1B，B1C1 上的点，且 BM＝ 2A1M，C1N＝2B1N.设AB → ＝a，AC → ＝b，AA1→ ＝c. (1)试用 a，b，c 表示向量MN → ； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA 1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA 1＝1，求 MN 的 长． [解]　(1)MN → ＝MA1→ ＋A1B1→ ＋B1N → ＝1 3BA1→ ＋AB → ＋1 3B1C1→ ＝1 3(c－a)＋a＋1 3(b－a)＝ 1 3a＋1 3b＋1 3c. (2)∵(a＋b＋c) 2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1× 1 2 ＋2×1×1×1 2 ＝5， ∴|a＋b＋c|＝ 5，∴|MN → |＝1 3|a＋b＋c|＝ 5 3 ，即 MN＝ 5 3 . 空间向量的坐标表示 【例 3】　(1)已知 a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是 ________． (2)已知 a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． ①当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数 λ 的值； ②当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数 λ 的值． [思路探究]　(1)利用|a|＝ |a|2构建函数关系，再利用二次函数求最小值； (2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解． (1)3 5 5 　[由已知，得 b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)． ∴|b－a|＝ (1＋t)2＋(2t－1)2＋02 ＝ 5t2－2t＋2＝ 5(t－1 5 )2 ＋9 5. ∴当 t＝1 5 时，|b－a|的最小值为3 5 5 .] (2)[解]　①∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， ∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)． ∵(λa＋b)∥(a－3b)， ∴λ－2 7 ＝5λ＋3 －4 ＝－λ＋5 －16 ， 解得 λ＝－1 3. ②∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即 7(λ－ 2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得 λ＝106 3 . 熟记空间向量的坐标运算公式 设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)向量夹角：cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21 x22＋y22＋z22. (4)向量长度：设 M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)， 则|M1M2→ |＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2. (5)a∥b⇔x1＝λx2 且 y1＝λy2 且 z1＝λz2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算． [跟进训练] 3．已知 O 为坐标原点，OA → ＝(1,2,3)，OB → ＝(2,1,2)，OP → ＝(1,1,2)，点 Q 在直 线 OP 上运动，则当QA → ·QB → 取得最小值时 Q 的坐标为(　　) A．(1 2 ，3 4 ，1 3) B．(1 2 ，2 3 ，3 4) C．(4 3 ，4 3 ，8 3) D．(4 3 ，4 3 ，7 3) C　[设OQ → ＝λOP → ，则QA → ＝OA → －OQ → ＝OA → －λOP → ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB → ＝ OB－OQ → ＝OB → －λOP → ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA → ·QB → ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2 －λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－4 3 )－1 3]. 所以当 λ＝4 3 时，QA → ·QB → 最小，此时OQ → ＝4 3OP → ＝(4 3 ，4 3 ，8 3)，即点 Q 的坐标为 (4 3 ，4 3 ，8 3).] 利用空间向量证明平行、垂直问 题 【例 4】　在四棱锥 P­ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面 ABCD，PA＝ AD＝CD＝2AB＝2，M 为 PC 的中点． (1)求证：BM∥平面 PAD； (2)平面 PAD 内是否存在一点 N，使 MN⊥平面 PBD？若存在，确定 N 的位置； 若不存在，说明理由． [思路探究]　(1)证明向量BM → 垂直于平面 PAD 的一个法向量即可； (2)假设存在点 N，设出其坐标，利用MN → ⊥BD → ，MN → ⊥PB → ，列方程求其坐标即 可． [解]　(1)证明：以 A 为原点，以 AB，AD，AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系如图所示，则 B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)， ∴BM → ＝(0,1,1)， 平面 PAD 的一个法向量为 n＝(1,0,0)， ∴BM → ·n＝0，即BM → ⊥n， 又 BM⊄平面 PAD，∴BM∥平面 PAD. (2)BD → ＝(－1,2,0)，PB → ＝(1,0，－2)， 假设平面 PAD 内存在一点 N，使 MN⊥平面 PBD. 设 N(0，y，z)，则MN → ＝(－1，y－1，z－1)， 从而 MN⊥BD，MN⊥PB， ∴Error!即Error! ∴Error!∴N(0，1 2 ，1 2)，∴在平面 PAD 内存在一点 N(0，1 2 ，1 2)，使 MN⊥平 面 PBD. 利用空间向量证明空间中的位置关系 线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直. 线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共 线向量线性表示. 线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. 面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题. 面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题. [跟进训练] 4.如图所示，已知 PA⊥平面 ABCD，ABCD 为矩形，PA＝AD，M，N 分别为 AB，PC 的中点．求证： (1)MN∥平面 PAD； (2)平面 PMC⊥平面 PDC. [证明]　(1)如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 A­xyz.设 PA＝AD＝a，AB＝b. P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)． 因为 M，N 分别为 AB，PC 的中点， 所以 M(b 2 ，0，0)，N(b 2 ，a 2 ，a 2). 所以MN → ＝(0，a 2 ，a 2)，又AP → ＝(0,0，a)， AD → ＝(0，a,0)， 所以MN → ＝1 2AD → ＋1 2AP → . 又因为 MN⊄平面 PAD，所以 MN∥平面 PAD. (2)由(1)可知 P(0,0，a)，C(b，a,0)，M(b 2 ，0，0)，D(0，a,0)． 所以PC → ＝(b，a，－a)，PM → ＝(b 2 ，0，－a)， PD → ＝(0，a，－a)． 设平面 PMC 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)， 则Error!故Error! 所以Error! 令 z1＝b，则 n1＝(2a，－b，b) . 设平面 PDC 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 则Error!故Error! 所以Error! 令 z2＝1，则 n2＝(0,1,1)． 因为 n1·n2＝0－b＋b＝0，所以 n1⊥n2. 所以平面 PMC⊥平面 PDC. 用空间向量求空间角和空间距 离 [探究问题] 1．用法向量求直线与平面所成的角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹 角与线面角有什么关系？ [提示]　不是线面角，而是它的余角(或补角的余角)，即设线面角为 θ，直线 与平面的法向量的夹角为〈a，n〉，则 θ＝ π 2 －〈a，n〉(〈a，n〉为锐角)或 θ＝ 〈a，n〉－π 2(〈a，n〉为钝角)．应注意到线面角为锐角或直角． 2．平面与平面的夹角一定是锐角吗？ [提示]　不一定，可以是锐角，也可以是直角． 【例 5】　长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝6，AA 1＝4，M 是 A1C1 的中点，P 在线段 BC 上，且|CP|＝2，Q 是 DD1 的中点，求： (1)M 到直线 PQ 的距离； (2)M 到平面 AB1P 的距离． [解]　如图，建立空间直角坐标系 B­xyz，则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)， Q(4,6,2)． (1)∵QM → ＝(－2，－3,2)，QP → ＝(－4，－2，－2)， ∴QM → 在 QP → 上 的 射 影 的 模 ＝ |QM → ·QP → | |QP → | ＝ (－2) × (－4)＋(－3) × (－2)＋2 × (－2) (－4)2＋(－2)2＋(－2)2 ＝ 10 24 ＝5 6 6 . 故 M 到 PQ 的距离为 |QM → |2－(5 6 6 )＝ 17－25 6 ＝ 462 6 . (2)设 n＝(x，y，z)是平面 AB1P 的某一法向量，则 n⊥AB1→ ，n⊥AP → ， ∵AB1→ ＝(－4,0,4)，AP → ＝(－4,4,0)，∴Error! 因此可取 n＝(1,1,1)，由于MA → ＝(2，－3，－4)，那么点 M 到平面 AB1P 的距 离为 d＝ |MA → ·n| |n| ＝|2 × 1＋(－3) × 1＋(－4) × 1| 3 ＝5 3 3 ，故 M 到平面 AB1P 的距 离为5 3 3 . 1．本例中，把条件“∠BAD＝120°”改为“∠BAD＝90°，且 PA＝1”，其它 条件不变，求点 A 到平面 PCB 的距离． [解]　如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，P(0,0,1)， C(1,1,0)，B(0,2,0)， ∴AP → ＝(0,0,1)，BP → ＝(0，－2,1)，BC → ＝(1，－1,0)． 设平面 PBC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则Error!即Error!. 令 y＝1，则 x＝1，z＝2. ∴n＝(1,1,2)，∴A 点到平面 PCB 的距离为 d＝ |AP → ·n| |n| ＝ 2 6 ＝ 6 3 . 2．在本例条件中加上“PA＝1”，求直线 PA 与平面 PCB 所成角． [ 解 ] 　 根 据 题 目 所 建 立 的 平 面 直 角 坐 标 系 可 知 A(0,0,0) ， P(0,0,1) ， C ( 3 2 ，1 2 ，0)，B(0,2,0)， ∴AP → ＝(0,0,1)，BC → ＝( 3 2 ，－3 2 ，0) BP → ＝(0，－2,1)， 设平面 PBC 的法向量为 m＝(x，y，z)， ∴Error!令 y＝1，则 m＝( 3，1,2)，设 PA 与平面 PCB 的夹角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，PA → 〉|＝ |m·PA → | |m||PA → | ＝ 2 1 × 2 2 ＝ 2 2 ，∴θ＝45°. 故直线 PA 与平面 PBC 所成的角为 45°. 用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为 0°<θ≤90°，需找到两异面直 线的方向向量，借助方向向量所成角求解． (2)直线与平面所成的角：要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ，先求这个平面 α 的法向量 n 与直线 a 的方向向量 a 夹角的余弦 cos〈n，a〉，易知 θ＝〈n，a〉－π 2 或者π 2 －〈n，a〉． (3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面 α 与 β，分别作这两个平面的法向 量 n1 与 n2，则平面 α 与 β 所成的角跟法向量 n1 与 n2 所成的角相等或互补． [培优层·素养升华] 【例】　如图，在三棱锥 P­ABC 中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4， O 为 AC 的中点． (1)证明：PO⊥平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M—PA—C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成 角的正弦值． [思路探究]　(1)首先利用等腰三角形的性质可得 PO⊥AC，利用勾股定理可证 得 PO⊥OB，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果；(2)根据(1)中的垂直关 系建立空间直角坐标系，设出点 M(含有参数)的坐标，根据已知条件求得此参数， 然后求解即可． [解]　(1)证明：因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP ＝2 3. 如图，连接 OB.因为 AB＝BC＝ 2 2 AC，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且 OB⊥AC，OB＝1 2AC＝2. 由 OP2＋OB2＝PB2 知 PO⊥OB. 由 OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知 PO⊥平面 ABC. (2)如图以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系 O­xyz. 由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2 3)，AP → ＝(0,2,2 3)．取平面 PAC 的一个法向量OB → ＝(2,0,0)． 设 M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则AM → ＝(a,4－a,0)． 设平面 PAM 的法向量为 n＝(x，y，z)． 由AP → ·n＝0，AM → ·n＝0 得 Error!取 y＝ 3a，则 z＝－a，x＝ 3(a－4)，可得 n＝( 3(a－4)， 3a，－ a)为平面 PAM 的一个法向量， 所以 cos〈OB → ，n〉＝ 2 3(a－4) 2 3(a－4)2＋3a2＋a2 . 由已知可得|cos〈OB → ，n〉|＝ 3 2 ， 所以 2 3|a－4| 2 3(a－4)2＋3a2＋a2 ＝ 3 2 ， 解得 a＝4 3 ，所以 n＝(－8 3 3 ，4 3 3 ，－4 3). 又PC → ＝(0,2，－2 3)， 所以 cos〈PC → ，n〉＝ 3 4 . 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 4 . 利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题，无论是二面角、直线与 平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹角公式 (即cos θ＝ a·b |a||b|)来求解．不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向 量；求直线与平面所成的角时，所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量； 求异面直线所成的角时，则只需取两条直线的方向向量即可． [跟进训练] 如图，长方体 ABCD­A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， BE⊥EC1. (1)证明：BE⊥平面 EB1C1； (2)若 AE＝A1E，求二面角 B­EC­C1 的正弦值． [解]　(1)证明：由已知得，B 1C1⊥平面 ABB 1A1 ，BE⊂平面 ABB 1A1 ，故 B1C1⊥BE. 又 BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1， 所以 BE⊥平面 EB1C1. (2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°， 故 AE＝AB，AA1＝2AB. 以 D 为坐标原点，DA → 的方向为 x 轴正方向，|DA → |为单位长，建立如图所示的 空间直角坐标系 D­xyz，则 C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)， E(1,0,1)，CB → ＝(1,0,0)，CE → ＝(1，－1,1)，CC1→ ＝(0,0,2)． 设平面 EBC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则Error!即Error! 所以可取 n＝(0，－1，－1)． 设平面 ECC1 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)，则 Error!即Error! 所以可取 m＝(1,1,0)． 于是 cos〈n，m〉＝ n·m |n||m| ＝－1 2. 所以，二面角 B­EC­C1 的正弦值为 3 2 .