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- 2021-06-16 发布
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4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌
握对数函数的图象和性质的简单应用．
知识点 对数函数的图象和性质
对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且 a≠1)
底数 a>1 00且 a≠1)的图象过定点________．
答案 (－1,3)
解析 令 x＋2＝1，所以 x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．
(3)已知 f(x)＝loga|x|满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象．
解 因为 f(－5)＝1，所以 loga5＝1，即 a＝5，
故 f(x)＝log5|x|＝
log5x，x>0，
log5－x，x<0.
所以函数 y＝log5|x|的图象如图所示．
延伸探究
在本例中，若条件不变，试画出函数 g(x)＝loga|x－1|的图象．
解 因为 f(x)＝log5|x|，
所以 g(x)＝log5|x－1|，
如图，g(x)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1个单位长度得到．
反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要
掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练 1 (1)如图，若 C1，C2分别为函数 y＝logax和 y＝logbx的图象，则( )
A．0b>1
D．b>a>1
答案 B
解析 作直线 y＝1，则直线与 C1，C2的交点的横坐标分别为 a，b，易知 00，
所以 log5
3
4
log2
1
3
>log2
1
5
，所以
1
log21
3
<
1
log21
5
，
所以
3
1
5
1 logl .og 2 2
(3)取中间值 1，因为 log23>log22＝1＝log55>log54，所以 log23>log54.
反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
跟踪训练 2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a1.4，
所以 log1.51.6>log1.51.4.
③因为 0>log70.6>log70.5，所以
1
log70.6
< 1
log70.5
，
即 log0.67log31＝0，
log20.8log20.8.
1．当 a>1时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x与 y＝logax的图象为( )
答案 C
解析 y＝a－x＝
1
a x，∵a>1，∴0<1
a
<1，
则 y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；
对数函数 y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选 C.
2．函数 y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 C
解析 当 x≥1时，log2x≥0，
所以 y＝2＋log2x≥2.
3．已知 a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
答案 B
解析 a＝log23.6>1,1>c＝log43.6>b＝log43.2，故选 B.
4．已知函数 y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点 P，则点 P的坐标是________．
答案 (4，－1)
解析 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象恒过点(1,0)，
令 x－3＝1，得 x＝4，此时 y＝－1.
5．已知 f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若 f(a)1与 0n>1，故选 D.
3．设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
答案 D
解析 a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，
在同一坐标系内分别画出 y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，
当 x＝2时，由图易知 log32>log52>log72，
∴a>b>c.
4.如图，曲线是对数函数 y＝logax的图象，已知 a的取值有
4
3
，3，3
5
，
1
10
，则相应 C1，C2，C3，
C4的 a的值依次是( )
A. 3，4
3
，
1
10
，
3
5
B. 3，4
3
，
3
5
，
1
10
C.4
3
，3，3
5
，
1
10
D.4
3
，3，1
10
，
3
5
答案 B
5．已知实数 a＝log45，b＝
1
2 0，c＝log30.4，则 a，b，c的大小关系为( )
A．b1，b＝
1
2 0＝1，
c＝log30.4<0，故 c (2)> (3)< (4)>
7．函数 y＝loga(x－4)＋2(a>0且 a≠1)恒过定点________．
答案 (5,2)
解析 令 x－4＝1得 x＝5，
此时 y＝loga1＋2＝2，
所以函数 y＝loga(x－4)＋2恒过定点(5,2)．
8．如果函数 f(x)＝(3－a)x与 g(x)＝logax的增减性相同，则实数 a的取值范围是________．
答案 11，
a>1，
即 10，得 x>2，
所以函数 y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是 R.
(2)因为对任意实数 x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数 y＝log4(x2＋8)的定义域是 R.
又因为 x2＋8≥8，
所以 log4(x2＋8)≥log48＝3
2
，
即函数 y＝log4(x2＋8)的值域是
3
2
，＋∞
.
11．函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 ∵3x>0，∴3x＋1>1.
∴log2(3x＋1)>0.
∴函数 f(x)的值域为(0，＋∞)．
12．若 0logy3，log4x
1
4 y，故选 C.
13．若 f(x)是对数函数且 f(9)＝2，当 x∈[1,3]时，f(x)的值域是________．
答案 [0,1]
解析 设 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，
因为 loga9＝2，所以 a＝3，即 f(x)＝log3x.
又因为 x∈[1,3]，所以 0≤f(x)≤1.
14．已知 f(x)＝
1－2ax＋5a，x<1，
log7x，x≥1
的值域为 R，那么实数 a的取值范围是________．
答案
－
1
3
，
1
2
解析 要使函数 f(x)的值域为 R，则必须满足
1－2a>0，
log71≤1－2a＋5a，
即
a<1
2
，
a≥－
1
3
，
所以－
1
3
≤a<1
2
.
15．若函数 f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中 a，b为常数，则函数 g(x)＝ax＋b的图象
大致是( )
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象
答案 D
解析 由 f(x)的图象可知 0
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