人教版高中数学选修4-4练习：第二讲四渐开线与摆线word版含解析 6页

第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线 A 级 基础巩固 一、选择题 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所 以才能得到不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画 出的渐开线形状就不同 解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如 椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处， 但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于 同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小 和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不 同． 答案：C 2. r＝5（φ－sin φ）， y＝5（1－cos φ） (φ为参数)表示的是( ) A．半径为 5 的圆的渐开线的参数方程 B．半径为 5 的圆的摆线的参数方程 C．直径为 5 的圆的渐开线的参数方程 D．直径为 5 的圆的摆线的参数方程 解析：对照渐开线和摆线参数可知选 B. 答案：B[来源:学科网] 3．下列各点中，在圆的摆线 x＝φ－sin φ， y＝1－cos φ (φ为参数)上的是 ( ) A．(π，0) B．(π，1) C．(2π，2) D．(2π，0) 解析：当φ＝π时，x＝π－sin π＝π，y＝1－cos π＝1＋1＝2，当φ ＝2π时，x＝2π－sin 2π＝2π，y＝1－cos 2π＝1－1＝0，故选 D.[来源:学§科§网] 答案：D 4．圆 x＝3cos θ， y＝3sin θ (θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为 0，那么 其横坐标可能是( ) A．π B．3π C．6π D．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 x＝3φ－3sin φ， y＝3－3cos φ (φ为参数)，把 y＝0 代入，得 cos φ＝1，所以φ ＝2kπ(k∈Z)，故 x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)． 答案：C 5．已知一个圆的参数方程为 x＝3cos φ， y＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的 摆线方程中与参数φ＝π 2 对应的 点 A 与点 B 3π 2 ，2 之间的距离为 ( )[来源:学科网] A.π 2 －1 B. 2 C. 10 D. 3π 2 －1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的 参数方程为 x＝3（φ－sin φ）， y＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π 2 代入参数方程中可 得 x＝3 π 2 －1 ， y＝3， 即 A 3 π 2 －1 ，3 ， 所以|AB|＝ 3 π 2 －1 －3π 2 2 ＋（3－2）2＝ 10. 答案：C 二、填空题 6．已知一个圆的摆线的参数方程是 x＝3φ－3sin φ， y＝3－3cos φ (φ为参数)， 则该摆线一个拱的高度是________． 解析：由圆的摆线的参数方程 x＝3（φ－sin φ）， y＝3（1－cos φ） (φ为参数)知圆 的半径 r＝3，所以摆线一个拱的高度是 3×2＝6. 答案：6 7．渐开线 x＝6（cos φ＋φsin φ）， y＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原 点，把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍得到的曲线的两个焦点间的距 离为________． 解析：根据渐开线方程知基圆的半径为 6，则基圆的方程为 x2 ＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的 2 倍得到的椭圆方程x2 4 ＋y2＝36， 即 x2 144 ＋y2 36 ＝1，对应的焦点坐标为(6 3，0)和(－6 3，0)，它们之间 的距离为 12 3. 答案：12 3 8．我们知道关于直线 y＝x 对称的两个函数互为反函数，则摆线 x＝r（θ－sin θ）， y＝r（1－cos θ） (θ为参数)关于直线 y＝x 对称的曲线的参数方程 为________________． 解析：关于直线 y＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过 程主要体现了 x 与 y 的互换，所以要写出摆线方程关于直线 y＝x 的 对称曲线的参数方程，只需把其中的 x 与 y 互换． 答案： x＝r（1－cos θ）， y＝r（θ－sin θ） (θ为参数) 三、解答题[来源:学§科§网] 9．已知一个圆的摆线方程是 x＝4φ－4sin φ， y＝4－4cos φ (φ为参数)，求该 圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[来源:Zxxk.Com] 解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4，所以面积是 16π，该圆对应的渐开线参数方程是 x＝4cos θ＋4θsin θ， y＝4sin θ－4θcos θ (θ为参数)． 10．已知圆的渐开线的参数方程为 x＝2cos φ＋2φsin φ， y＝2sin φ－2φcos φ (φ是参 数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程． 解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为 2.所以该圆的面 积为 4π，对应圆的摆线方程为 x＝2φ－2sin φ， y＝2－2cos φ (φ是参数)． B 级 能力提升 1.如图，ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH…叫作“正 方形的渐开线”，其中 AE、EF、FG、GH…的圆心依次按 B、C、 D、A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 长是( ) A．3π B．4π C．5π D．6π 解析：根据渐开线的定义可知，AE ︵ 是半径为 1 的1 4 圆周长，长度 为π 2 ，继续旋转可得EF ︵ 是半径为 2 的1 4 圆周长，长度为π；FG ︵ 是半径 为 3 的1 4 圆周长，长度为3π 2 ；GH ︵ 是半径为4 的1 4 圆周长，长度为 2π. 所以曲线 AEFGH 的长是 5π. 答案：C 2．摆线 x＝4（t－sin t）， y＝4（1－cos t） (t 为参数，0≤t<2π)与直线 y＝4 的交 点的直角坐标为________________． 解析：由题设得 4＝4(1－cos t)得 cos t＝0. 因为 t∈[0，2π)，所以 t1＝π 2 ，t2＝3π 2 ，代入参数方程得到对应的 交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)． 答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4) 3．已知圆 C的参数方程 x＝1＋6cos α， y＝－2＋6sin α (α为参数)和直线 l 的普 通方程 x－y－6 2＝0. (1)如果把圆心平移到原点 O，那么平移后圆和直线满足什么关 系？ (2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程． 解：(1)圆 C 平移后圆心为 O(0，0)，它到直线 x－y－6 2＝0 的 距离 d＝6 2 2 ＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是 6，所以可得摆线的方程是 x＝6（φ－sin φ）， y＝6（1－cos φ） (φ为参数)．