高中数学第2章点、直线、平面之间的位置关系2_1_2空间中直线与直线之间的位置关系教材梳理素材新人教A版必修21 5页

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 疱丁巧解牛 知识·巧学 一、空间中直线的位置关系 空间中直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线、异面直线.平行直线与相交直线 都是共面直线，而异面直线是不同在任何一个平面内的直线.要注意异面直线定义中“任 何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面， 使其同时经过 a、b 两条直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，如图 2-1-9 所示，分别在两个平面内的直线可以平行，可以相交，也可以异面. 图 2-1-9 空间两直线的位置关系也可以按有无公共点来分类，两直线如果有且只有一个公共点， 则为相交直线，但应注意如果两直线没有公共点，它包括两直线平行和两直线异面两种情形. 空间两直线的图形表示如图 2-1-10. 图 2-1-10 符号表示为 两直线平行：a∥b； 两直线相交：a∩b=A. 空间两直线的位置关系，可以按公共点的情况来划分，但应注意无公共点时的情况． 二、定理与公理 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示：若 a∥b，b∥c,则 a∥c.举例：如图 2-1-11，空间四边形 ABCD 中，E、F、G、 H 分别是 AB、AD、BC、CD 的中点.由 EF∥BD，GH∥BD 及公理 4，得 EF∥GH. 图 2-1-11 深化升华 公理 4 是本章中非常重要的定理，它是证明线线平行的常用方法，在证明线线垂 直、找两异面直线所成的角等方面经常用到.它与前三个公理构成了立体几何的公理体系， 是研究几何的基础． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 如图 2-1-12，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC 与∠A1B1C1，因为两个角的方向相同，所 以 两 角 相 等 ； 对 于 ∠ABC 与 ∠E1B1C1 ， 因 为 两 个 角 的 方 向 不 同 ， 所 以 互 补 ， 即 ∠ABC+∠E1B1C1=180°. 图 2-1-12 方法点拨 应用此定理时一定要注意定理的条件，特别是注意角的方向问题． 三、异面直线 1.异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是 异面直线. 如图 2-1-13 所示，直线 l 经过平面外一点 A 和平面内一点 B，它与α内不经过 B 点的 直线 a 是异面直线. 图 2-1-13 2.异面直线所成的角：已知两条异面直线 a、b，经过空间任意一点,作直线 a′∥a，b′∥b， 则 a′、b′所成的锐角或直角叫做两条异面直线 a、b 所成的角(或夹角). 方法点拨 作出两异面直线所成角的方法：作异面直线 a、b 的平行线 a′、b′，则 a′、b′ 这两条相交直线所成的角即是两异面直线所成的角.这也体现了将空间问题转化为平面问题 的基本思路.两异面直线所成的角必须是锐角或直角，其范围是 0°＜α≤90°． 异面直线所成角的定义向我们展示了两点，一是过空间任意一点作两条异面直线的平行 线;二是两异面直线所成的角是锐角或直角，而绝不是钝角.如果作平行线后算出的角是钝 角，这时应取其补角作为两异面直线所成的角.如在公理 4 下的图象所示.∠EFH 为异面直线 BD 与 AC 所成的角或其补角.根据等角定理，异面直线所成的角的大小与顶点位置无关，将 角的顶点取在一条直线上，特别地可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面 线段的端点、中点等特殊点，以便于计算. 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线垂直.两条互相垂直的异 面直线 a、b，记作 a⊥b. 问题·探究 问题 1 不相交的两条直线是平行直线，这种说法对吗？ 探究:不正确.由空间两条直线的位置关系可得异面直线与平行直线都不相交.因此，不能简 单地说不相交的两条直线就是平行直线.应该说“在同一平面内，不相交的两直线互相平 行”. 问题 2 如何求异面直线所成的角？ 探究:求异面直线所成的角，方法主要有两种：平移法和向量法.平移法主要是根据异面直线 夹角的定义，作两条异面直线的平行线，找出角，求角(一般需要解三角形)；向量法主要应 用向量的夹角公式 cos〈a,b〉= |||| ba ba  来求解. 典题·热题 例 1 如图 2-1-14，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AB= 3 ， BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点,求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值. 图 2-1-14 思路解析：本题关键是构造出异面直线 AC 与 PB 所成的角或其补角∠EOA. 解：设 AC∩BD=O，连结 OE，则 OE∥PB， ∴∠EOA 为 AC 与 PB 所成的角或其补角. 在△AOE 中，AO=1，OE= 2 7 2 1 PB ,AE= 2 5 2 1 PD , ∴cos∠EOA= 14 73 12 72 4 5 4 71    , 即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 14 73 . 例 2 空间四边形 ABCD 中，AB=CD，AB 与 CD 成 30°角，E、F 分别为 BC、AD 的中点，求 EF 和 AB 所成的角. 思路解析：根据定义，找到两异面直线所成的角是关键，而解决立体几何问题的基本思想是 将立体问题转化为平面问题，由此可选取 BC 或 AD 的中点. 解：如图 2-1-15,取 BD 的中点 G，连结 EG、FG， 图 2-1-15 ∵E、F 分别为 BC、AD 的中点， ∴EG CD2 1 ，GF AB2 1 . ∴EG 与 GF 所成的角即为 AB 与 CD 所成的角. ∵AB=CD，∴△EFG 为等腰三角形. 又 AB、CD 成 30°角，EG、FG 分别为△BCD、△DAB 的中位线， ∴∠EGF=30°. ∵∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角， ∴EF 与 AB 成 75°角. 方法归纳 要求两异面直线所成的角，需按定义作平行线，先作出(或找到)所成的角，然后 利用三角形的边角关系求解.平移的方式很多，平移后的平行线可以在几何体内，也可以平 移到几何体外. 例 3 如图 2-1-16，在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中，棱长为 a，求两异面直线 B1D1 和 C1A 所成的 角. 图 2-1-15 思路解析：可将 B1D1 平移，使 B1 移到 C1 或 A1；也可将 C1A 平移，使 C1 移到 B1 或 D1，但此时 B1D1 落到正方体外面去了或 C1A 落到正方体外面去了，给解题带来了困难，如果利用正方体 的对称中心，也能求出异面直线所成的角. 解：解法一：取 D1D、B1B 的中点分别为 M、N，连结 MN， 则 B1D1∥MN，且 MN 过正方体的中心 O 点，又点 O∈C1A，连结 AN， 则∠AON 为所求异面直线 B1D1 和 C1A 所成的角或其补角. ∵BB′=a，NB= 2 a ， ∴在 Rt△NBA 中，AN2=AB2+NB2=a2+( 2 a )2= 2 4 5 a . ∵正方体棱长为 a， ∴MN=B1D1= a2 ，AC1= a3 . 又∵O 是正方体对称中心， ∴ON= aMN 2 2 2 1  .而 AO= aAC 2 3 2 1 1  , ∴AO2+ON2=( a2 3 )2+( a2 2 )2= 2 4 5 a =AN2. ∴△AON 是直角三角形. ∠AON=90°，故异面直线 B1D1 和 C1A 所成角是 90°. 解法二：(割补法)在原正方体 A1B1C1D1—ABCD 的旁边，补上一个与原正方体棱长相等的 正方体，如图 2-1-17 所示. 图 2-1-17 取新正方体与 A1D1 在同一直线上的顶点为 E，连结 C1E、AE，由正方体性质,可知 C1E B1D1， ∴∠EC1A 为所求两异面直线 B1D1 和 C1A 所成的角或其补角. ∵正方体棱长为 a，由正方体性质知 C1E= a2 ，C1A= a3 ， 又 EA2=A1A2+A1E2=a2+(2a)2=5a2=C1E2+C1A2，∴△EAC1 是直角三角形，∠EC1A=90°. 方法归纳 割补法在立体几何中有广泛的用途,对于“补”来说,可以全补(如本例),也可以 “局部补形”(如本例只将底面 A1B1C1D1 延伸至 A1B1E,所作平行线为 EC1,构成△EAC1),都可以 达到目的.