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- 2021-06-16 发布
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1
鹤岗一中 2020-2021 学年高三第三次模拟考试
数学（文科）
满分：150 分 时间：120 分钟
一．选择题（本题共有 12 小题，每小题 5 分, 共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的） 1 A= 3 B= 2 4 , A B= x x x x ，设集合 ， 则 （ ）
A. {x|1≤x<4} B. {x|2≤x≤3} C. {x|2n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 x 轴上
②. 若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 n
③ 若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 my xn
④.若 m=0，n>0，则 C 是两条直线
16 -2,2 -2,0已知偶函数y=f(x)定义在 上，且在 上单调递减，若不等式
(1 2 ) (3 1)f a f a 成立。则a的范围是 。
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
17.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲.
已知函数 3 1f x x a x a R .
（1）当 1a 时，求不等式 1f x ≤ 的解集；
（2）设关于 x 的不等式 3 1f x x 的解集为 M ，且 M
1,2
1 求 a 的取值范围.
18．（本题满分 10 分）
已知正项等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2 2S a 是 12a 和 4a 的等差中项， 1 2a .
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）令 2log nn nb a a ，求数列{ }nb 的前n 项和 nT .
19（本题满分 12 分）
在 中，内角 、 、 的对边长分别为 ，且5 cos 5 3a C b c ．
（1）求 ，
（2） 若 ， 10b ABCABC S求 的面积 ．
20.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 M ABCD 中， //AB CD ， 90ADC BM C ，
M B MC ， 1 2
2
AD DC AB ，平面 BCM 平面 ABCD.
4
（1）求证： AC 平面 BCM ；
（2）三棱锥 B MCD 的体积
21.（本题满分 12 分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 1F , 2F ,离心
率为 1
2
，右焦点到右顶点的距离为 1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过 2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 A , B ,则 1F AB 的面积是否存在最大值？若存在，
求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
( ) ln 2 1 (1)) 2 1bf x a x x f y xx
22题（本题满分12分）
函数 在点（， 处切线是
（1）求 a,b 的值
m mx
（2），若关于x的不等式f(x) 2x+ 恒成立，求实数 的范围
5
鹤岗一中 2021-2021 高三学年第三次模拟考试试卷答案
一选择题答案
CBBC C DCBAA BD
二，填空题答案 13 .y=3x 14 5 15.③④ 16 1 2- 0 13 5a a 或
17．（本题满分 10 分）
（1）当 1a 时， 1 3 1f x x x ， 1 1 3 1 1f x x x ，
即
1
3
1 1 3 1
x
x x
或
1 13
1 3 1 1
x
x x
或 1
1 3 1 1
x
x x
.
解得
1
3
1
4
x
x
或
1 13
1
2
x
x
或
1
3
4
x
x
，所以 1 1
4 3x 或 1 1
3 2x 或.
∴原不等式的解集 1 1
4 2x x . ……6 分
（2）∵ M
1,2
1 ，∴当 时
1,2
1x ，不等式 3 1f x x 恒成立，
即 3 1 3 1x a x x 在 M
1,2
1 上恒成立，
当 时
1,2
1x ， 3 1 3 1x a x x ，即 2x a ，即 2 2x a .
∴ 2 2x a x 在 1 ,13
上恒成立，∴ min min2 2x a x ，即 15
2 a ；18（本
题满分 12 分）
（1）正项等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2 2S a 是 12a 和 4a 的等差中项，
设公比为 q，则 2 2 1 42( ) 2S a a a ，整理得： 1 2 1 42( 2 ) 2a a a a ，
由于 1 2a ，即 32(2 4 ) 4 2q q ，即 3 4q q ，因为 0q ，所以解得 2q = ，
所以 2n
na .
6
（2）由于 2log 2n
nnb a a n ，所以 1( 1) 2 22
n
n
n nT .
19.（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由正弦定理得
CBCA sin3sin5cossin5 ,又 CBA )sin(sin CAB
CCACACA sin3sincos5cossin5cossin5 ,
C0 0sin C 5
3cos A 5
4sin0 AA
（2）由余弦定理得
bc
acbA 25
3cos
222 028122 cc
2c 或 14c （舍） 8sin2
1 AbcS ABC
20（本小题满分 12 分.）（1）取 AB 的中点 N，连接 CN .
在直角梯形 ABCD 中，易知 2AN BN CD ，且
CN AB .
在 Rt CNB△ 中，由勾股定理得 2BC .
在 ACB△ 中，由勾股定理逆定理可知 AC BC .
又因为平面 BCM 平面 ABCD ，且平面 BCM 平面 ABCD BC ，
所以 AC 平面 BCM .
（2）取 BC 的中点 O，连接 OM ， ON .
所以ON AC∥ ，因为 AC 平面 BCM ，所以 ON 平面 BCM .
因为 BM MC ，所以OM BC . OM M所以 的长就是 点到底面的距离。
BCD B M-BCD BCD
1 1 1OM=1 S = 2 2=1 V V S OM=2 3 3MCD 所以 ， ，
21.（本题 12 分）（1）设椭圆 C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
因为 1
2
ce a
， 1a c 所以 2, 1a c 即椭圆C ：
2 2
14 3
x y .
（2）设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，不妨设 1 20, 0y y
7
由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为 1x my ，
由 2 2
1
14 3
x my
x y
得 2
23 4 6 9 0m y my ，
则 1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
my y y ym m
，∴ 1
2
1 2 1 2 2
1 12 1
2 3 4F AB
mS F F y y m
，
令 2 1m t ，可知 1t 则 2 2 1m t ，∴ 1 2
12 12
13 1 3
F AB
tS t t t
令 13f t t t
，则 2
13 tf t ＇ ，
当 1t 时， >0f t＇ ，即 f t 在区间 1, 上单调递增，
∴ 1 4f t f ，∴ 1
3F ABS ，
即当 1, 0t m 时， 1F AB 的面积取得最大值 3，
此时直线 的方程为 1x ．
22（本题满分 12）
（1）答案 a=b=1
（2） 1ln 1,x x m 即 令h(x)=xlnx,h (x)=lnx+1
1
1 1 1( 0. . .
1 1( ) 0 0 . 0.
h x x xe e
h x xe e
令 ） 得
得
1 1 1 1( ) = ( ) . 1. 1h x h m me e e e
的最小值 即
（注意，每道大题有其它方法作对也可以，答案有问题更改）
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