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- 2021-06-16 发布
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常熟市 2021 届高三上学期阶段性抽测二
数学
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分每小题给出的四个选项中,只有
一项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设集合 2 5 6 0 ,A x x x ∣ 函数 ln(4 )y x 的定义域为 B, 则 ( )A B
A .[2,4) B [ 1,4) C. [-1,4] D. [-6,4)
2. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与直线 : 3 0m x y 垂直,则直线 l 的倾斜角为 ( )
A.
3
B.
6
C. 2
3
5 D. 6
3. 魏晋时期,我国古代教学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:
"割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无
所失矣" .割圆术可以视为将一个圆内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角
形(如图所示),当 n 变得很大时,等腰三角形的面积之和近似等于圆的
面积,运用割圆术的思想,可得到sin3 的近似值为 ( )
A.
30
B.
60
C.
90
4.已知直线 : 2 1 0l ax y a 与圆 2 2: 25C x y 交于 A,B 两点, 则|AB|的最小值为( )
A. 4 5 В. 4 6 C. 2 5 2 21D
5. 已知数列 ,n na b 均为等差数列,其前 n 项和分别为 , ,n nS T 且 12 2 ,3
n
u
S n
T n
若
n
n
a
b
对任意的 *n N 恒成立,则实数 的最大值为 ( )
A. 5
2 B 0 C. -2 D.2.
6 . 已知函数
ln , 0
( ) ,
, 0x
x x x
f x x xe
则函数 ( 1 )y f x 的部分图象大致为 ( )
7 . 已知两曲线 ( ) 2sin , ( ) cos , 0, 2f x x g x a x x
相交于点 P, 若两曲线在点 P 处
的切线互相垂直,则实数 a 的值为 ( )
.2A B. 2 3
3 C. 2 2 3. 3D
8 . 已知桶圆
2 2
: 19 5
x yE 的左、右焦点分别为 1 2, ,F F P 为糊圆上一个动点, Q 为圆
2 2 10 8 40 0M x y x y : 上一个动点,则|PF1|+|PQ|的最大值为( )
A . 12 B. 65 1 C. 11 D. 18
二、多项选择题 : 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.每小题给出的四个选项中,
都有多个选项是正确的,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得
0 分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9 . 在平面内,已知线段 AB 的长度为 4, 则满足下列条件的点 P 的轨迹为圆的是 ( )
A. 90APB 2 2B 10 C 6PA PB PA PB
D. 3PA PB
10.对于函数 π( ) sin( )3f x x (其中>0),下列结论正确的是( )
A.若 π( ) | ( ) |12f x f 恒成立,则的最小值为 2
B. 当 2 时 , ( )f x 在区间 0, 2
上是单调函数
C. 当 2 时, ( )f x 的图象可由 ( ) cos 2 6g x x
的图象向右移
3
个单位长度得到
D. 当 1
2
时 , ( )f x 的图象关于点 ,03
中心对称
11 . 已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点为 F, 一条渐近线过点 (2 3, 6),
则下列结论正确的是 ( )
A. 双曲线 C 的离心率为 3
B 双曲线 C 与双曲线
2 2
12 4
y x 有相同的渐近线
C. 若 F 到渐近线的距离为 2, 则双曲线 C 的方程为
2 2
18 4
x y
D 若直线
2
: al x c
与渐近线围成的三角形面积为 4 2, 则焦距为 6 2
I2. 在平面直角坐标系 xOy 中,如图放置的边长为 2 的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动(无滑动
滚动 ), 点 D 恰好经过坐标原点,设顶点 ( , )B x y 的轨迹方程是 ( ),y f x 则对于函数
( )y f x 的判断正确的是 ( )
A . 对任意的 ,xR 都有 ( 4) ( 4)f x f x
B 函数 ( )y f x 是非奇非偶函数
C. 函数 ( )y f x 的值域为 [0,2 2]
D. 函数 ( )y f x 在区间 [8,12] 上是减函数
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.请把笞案填写在答题卡相应的位置
上.
13 已知抛物线 y=ax2(a>0)的焦点为 F(0,2 ) ,过 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,则|AB|的最
小值为 .
14. 数列的发展,折射出许多有价值的数学思想,对时代的进步起了重要的作用比如意大利
数学家 Leonardo Fibonacci 以兔子繁殖为例,引入"免子数列" :即
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, 即 1 2 1,a a 当 3n 时, 1 2 ,n n na a a
此数列在现代物理及化学领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被 4 整除后
的余数构成一个新的数列 ,nb 记数列 nb 的前 n 项和为 ,nS 则 2020S 的值为 .
15 . 在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 : 2 0l x y 上第三象限内的点, ( 5,0),B 以线
段 AB 为直径的圆 (C C 为圆心)与直线 l 相交于另一点 D, 若 ,AB CD 则圆C 的标准
方程为 .
16. 设函数 ( )f x 在定义域 (0, ) 上是单调函数,对 (0, ), ( ) e e,xx f f x x
若不等式 ( ) 1f x ax 对 (0, )x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .
四、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分请在答题卡上指定区域内作答,解答时应写出必
要的文字说明、 证明过程或演算步骤
17.( 本小题满分 10 分) 已知 3( ) 2sin sin 6 2f x x x
.
(1 ) 求函数 ( )f x 的最小正周期及单调递减区间
(2) 将函数 ( )f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的 1 ,2
纵坐标伸长为原来的 2 倍,
得到函数 ( )g x 的图象,求函数 ( )g x 在区间 0, 4
上的值域.
18.( 本小题满分 12 分 ) 已知各项均不相等的等差数列 na 的前 5 项和为 30, 且
1 2 4, ,a a a 是等比数列 nb 的前 3 项.
(1) 求 ,n na b
(2) 设数列 nb 的前 n 项和为 1
, ,1 1
n
u n
n n
bS c S S
求数列 nc 的前 6 项
和 6T .
19.( 本小题满分12分)在①2a+c=2bcosC,② 2 2 24 3( )S b a c ,③sin cos 02
A C B 三个
条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并作出解答.
在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 , , ,a b c ABC 的面积为 S,且 .
(1)求角 B
(2)若 c=3, ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 ,D BCD 的面积为 75 3 ,32
求 a 的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
20.(本小题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点在 x 轴上和抛物线 E 过
点 A(4,2).
(1)求抛物线 E 的标准方程 ;
( 2 ) 过点 A 作圆 2 2: ( 2) 1M x y 的两条切线 A B,
A C ,分别交抛物线 E 于 B, C 两点, 求证 : 直线 B C 与圆
M 相切.
21 .(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ) 2sin cos , ( )f x x x x x f x 为 ( )f x 的导函数.
(1) 证明 : ( )f x 在区间 (0, ) 内存在唯一零点 i
(2) 若 [0, ]x 时 , ( )f x ax 恒成立,求实数 a 的取值范围.
22.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 2 ,2
且过焦点
垂直于 x 轴的弦长为 2 2 .
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2) 过点 ( 2,0)M 的直线 l 与糊圆C 交于 A,B 两点,点 P 为直线 4 2x 上(不在 x 轴
上)的一动点.
①|A B|=4 10
3 ,求直线 AB 的斜率;
②设直线 PA, PB, PM 的斜率分别为 1 2 3, , ,k k k 试探究 : 是否存在常数 , R 使得
1 2 3k k k 恒成立?若存在,求出 的值 ;若不存在 ,请说明理由.
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