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- 2021-06-16 发布
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高中数学:求函数值域的十三种方法
一、观察法(☆ )
二、配方法(☆)
三、分离常数法(☆)
四、反函数法(☆)
五、判别式法(☆)
六、换元法(☆☆☆)
七、函数有界性
八、函数单调性法(☆)
九、图像法(数型结合法)(☆)
十、基本不等式法
十一、利用向量不等式
十二、一一映射法
十三、 多种方法综合运用
一、观察法:从自变量 x的范围出发,推出 ( )y f x 的取值范围。
【例 1】求函数 1y x 的值域。
【解析】∵ 0x ,∴ 1 1x , ∴函数 1y x 的值域为[1, ) 。
【例 2】求函数 x
1y
的值域。
【解析】∵ 0x ∴
0
x
1
显然函数的值域是: ),0()0,(
【例 3】已知函数 11 2 xy , 2,1,0,1x ,求函数的值域。
【解析】因为 2,1,0,1x ,而 331 ff , 020 ff , 11 f 所以: 3,0,1y
注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为 Rx ,则函数的值域为 1| yy 。
二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 2( ) ( ) ( )F x af x bf x c 的函数的
值域问题,均可使用配方法。
【例 1】 求函数
2 2 5, [ 1,2]y x x x 的值域。
【解析】将函数配方得: ∵ 由二次函数的性质可知:当 x=1 ∈[-1,2]时, ,当
时, 故函数的值域是:[4,8]
【变式】已知 2 32x x ,求函数 f x x x( ) 2 1的最值。
【解析】由已知 2 32x x ,可得 0 3
2
x ,即函数 f x( )是定义在区间 0 3
2
,
上的二次函数。将二次函数配
方得 f x x( )
1
2
3
4
2
,其对称轴方程 x
1
2
,顶点坐标
1
2
3
4
, ,且图象开口向上。显然其顶点横坐
标不在区间 0 3
2
,
内,如图 2所示。函数 f x( )的最小值为 f ( )0 1 ,最大值为 f 3
2
19
4
。
图 2
【例 2】 若函数 2( ) 2 2, [ , 1]f x x x x t t 当 时的最小值为 ( )g t ,(1)求函数 ( )g t
(2)当 t [-3,-2]时,求 g(t)的最值。(说明:二次函数在闭区间上的值域二点二分法,三点三分法)
【解析】(1)函数 f x x( ) ( ) 1 12
,其对称轴方程为 x 1,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。
图 1
图 2 图 3
①如图 1 所示,若顶点横坐标在区间 t t, 1 左侧时,有 1 t ,此时,当 x t 时,函数取得最小值
f x f t t( ) ( ) ( )min 1 12
。
②如图 2 所示,若顶点横坐标在区间 t t, 1 上时,有 t t 1 1,即 0 1 t 。当 x 1时,函数取得最小
值 f x f( ) ( )min 1 1。
③如图 3所示,若顶点横坐标在区间 t t, 1 右侧时,有 t 1 1,即 t 0。当 x t 1时,函数取得最小值
f x f t t( ) ( )min 1 12
综上讨论,g(t)=
01
10,1
1,1)1(
)(
2
2
min
tt
t
tt
xf
(2)
2
2
1( 0)
( ) 1(0 1)
2 2( 1)
t t
g t t
t t t
( ,0]t 时, 2( ) 1g t t 为减函数
在[ 3, 2] 上, 2( ) 1g t t 也为减函数
min( ) ( 2) 5g t g , max( ) ( 3) 10g t g
【例 3】 已知
2( ) 2 2f x x x ,当 [ 1]( )x t t t R, 时,求 ( )f x 的最大值.
【解析】由已知可求对称轴为 1x .
(1)当 1t 时,
2 2
min max( ) ( ) 2 3 ( ) ( 1) 2f x f t t t f x f t t ,
.
(2)当 1 1t t ≤ ≤ ,即0 1t≤ ≤ 时,.
根据对称性,若
2
1
2
1
tt
即
10
2
t≤ ≤
时,
2
max( ) ( ) 2 3f x f t t t
.
若 2
1
2
1
tt
即
1 1
2
t ≤
时,
2
max( ) ( 1) 2f x f t t
.
(3)当 1 1t 即 0t 时,
2
max( ) ( ) 2 3f x f t t t
.
综上,
2
1,32
2
1,2
)(
2
2
max
ttt
tt
xf
观察前两题的解法,为什么最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢?这些
问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或
二次函数的顶点取到。第一个例题中,这个二次函数是开口向上的,在闭区间上,它的最小值在区
间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情况讨论;而它的最大值
不可能是二次函数的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,
当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解,不难解释第二个例题为
什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:
当a 0时
))((
2
1
2
)(
))((
2
1
2
)(
)(
2
1
max
如图
如图
,
,
nm
a
bnf
nm
a
bmf
xf
)(
2
)(
)(
2
)
2
(
)(
2
)(
)(
5
4
3
min
如图
如图
如图
,
,
,
m
a
bmf
n
a
bm
a
bf
n
a
bnf
xf
当a 0时
)(
2
)(
)(
2
)
2
(
)(
2
)(
)(
8
7
6
max
如图
如图
如图
,
,
,
m
a
bmf
n
a
bm
a
bf
n
a
bnf
xf f x
f m b
a
m n
f n b
a
m n
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
min
,
,
如图
如图
2
1
2
2
1
2
9
10
【例 4】 (1) 求 2f ( x ) x 2ax 1 在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数 )( axxy 在 ]1,1[x 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ,
当
1a
2
即
1a
2
时, maxf ( x ) f ( 2 ) 4a 5 ;
当
1a
2
即
1a
2
时, maxf ( x ) f ( 1) 2a 2 。 综上所述: max
12a 2,a
2f ( x )
14a 5,a
2
。
(2)函数
4
)
2
(
2
2 aaxy 图象的对称轴方程为
2
ax ,应分 1
2
1
a
, 1
2
a
, 1
2
a
即 22 a , 2a
和 2a 这三种情形讨论,下列三图分别为
(1) 2a ;由图可知 max( ) ( 1)f x f
(2) a 2 2 ;由图可知 max( ) ( )
2
af x f
(3) 2a 时;由图可知 max( ) (1)f x f
2,)1(
22,)
2
(
2,)1(
af
aaf
af
y最大 ;即
2,1
22,
4
2,)1(
2
aa
aa
aa
y最大
【例 5】 已知二次函数
2f ( x ) ax ( 2a 1)x 1 在区间
3 ,2
2
上的最大值为 3,求实数 a的值。
【分析】这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分 a 0 与 a 0 两大类五种情形讨论,过程繁琐不堪。若
注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程
就简明多了。具体解法为:
(1)令
2a 1f ( ) 3
2a
,得
1a
2
此时抛物线开口向下,对称轴方程为 x 2 ,且
32 ,2
2
,故
1
2
不合题意;
(2)令 f ( 2 ) 3 ,得
1a
2
此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故
1a
2
符合题意;
(3)若
3f ( ) 3
2
,得
2a
3
此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故
2a
3
符合题意。
综上,
1a
2
或
2a
3
解后反思:若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参数一致,可采用先
斩后奏的方法,利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得,不妨令之为最值,验证参数的
资格,进行取舍,从而避开繁难的分类讨论,使解题过程简洁、明了。
【变式】 已知函数
2( ) 2 1f x ax ax 在区间[ 3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a的值。
【解析】
2( ) ( 1) 1 , [ 3,2]f x a x a x
(1)若 0, ( ) 1,a f x ,不符合题意。
(2)若 0,a 则 max( ) (2) 8 1f x f a
由8 1 4a ,得
3
8
a
(3)若 0a 时,则 max( ) ( 1) 1f x f a
由1 4a ,得 3a
综上知
3
8
a 或 3a
【例 6】 已知函数
2
( )
2
xf x x 在区间[ , ]m n 上的最小值是 3m最大值是 3n,求m, n的值。
【解法 1】讨论对称轴 中 1与 , ,
2
m nm n
的位置关系。
①若 ,则
max
min
( ) ( ) 3
( ) ( ) 3
f x f n n
f x f m m
解得
②若 1
2
m n n
,则
max
min
( ) (1) 3
( ) ( ) 3
f x f n
f x f m m
,无解
③若 1
2
m nm
,则
max
min
( ) (1) 3
( ) ( ) 3
f x f n
f x f n m
,无解
④若 ,则
max
min
( ) ( ) 3
( ) ( ) 3
f x f m n
f x f n m
,无解
综上, 4, 0m n
【解法 2】由
21 1( ) ( 1)
2 2
f x x ,知
1 13 , ,
2 6
n n ,则[ , ] ( ,1]m n ,
又∵在[ , ]m n 上当 x增大时 )(xf 也增大所以
max
min
( ) ( ) 3
( ) ( ) 3
f x f n n
f x f m m
解得 4, 0m n
评注:解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了m, n的取值范围,避开了繁难的分类
讨论,解题过程简洁、明了。
【例 7】 求函数 3 5y x x 的值域.
【解法 1】
22 )4(122)5)(3(253 xxxxxy
显然
]4,2[)4(122 22 xy
故函数的值域是:
]2,2[y
【 解 法 2 】 显 然 3 ≤ x ≤ 5,
2 23 2sin ( [0, ]) 5 2cos
2
x x ,
3 5 2(sin cos ) 2sin( ) [ 2,2]
4
y x x
三、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法(分母少,分子多),通过
该方法可将原函数转化为为 )(xfky ( 为k 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。
【例 1】 求函数
1
2
x
xy 的值域
【解析】利用恒等变形,得到:
1
11
x
y ,容易观察知 x≠-1,y≠1,得函数的值域为 y ∈(-∞,1)∪(1, +
∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
【例 2】 求函数
12
2
xx
xxy 的值域。
【解析】观察分子、分母中均含有 xx 2
项,可利用部分分式法;则有
4
3)
2
1(
11
1
11
1 2
2
2
2
2
xxx
xx
xx
xxy 不妨令: )0)((
)(
1)(,
4
3)
2
1()( 2 xf
xf
xgxxf 从而
,
4
3)(xf 注意:在本题中应排除 0)( xf ,因为 )(xf 作为分母。所以
4
3,0)(xg 故 1,
3
1
y
【变式】求下列函数的值域:
(1) 23
1
x
xy (2)
1
1
2
2
x
xy .
答案:(1)值域 ),(),( 3
1
3
1 y (2)值域 y ∈[-1,1]
四、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到
原函数的值域。
【例 1】求函数
1 2
1 2
x
xy
的值域。
【解析】由
1 2
1 2
x
xy
解得
12
1
x y
y
, ∵2 0x ,∴
1 0
1
y
y
,
∴ 1 1y ∴函数
1 2
1 2
x
xy
的值域为 ( 1,1)y 。
【例 2】求函数
3 4
5 6
xy
x
值域。
【解析】由原函数式可得: 则其反函数为: ,其定义域为:
故所求函数的值域为:
3 3( , ) ( , )
5 5
【例 3】 求函数
1
1
x
x
e
ey 的值域。
解答:先证明
1
1
x
x
e
ey 有反函数,为此,设 21 xx 且 Rxx 21, ,
0
)1)(1(
2
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
21
xx
xx
x
x
x
x
ee
ee
e
e
e
eyy 。
所以 y 为减函数,存在反函数。可以求得其反函数为: x
xy
1
11 ln 。此函数的定义域为 )1,1(x ,故原函数的
值域为 )1,1(y 。
【例 4】 求函数 ])1,1[,,0,0(
xbaba
bxa
bxay 的值域。
【解法 1】-1≤x≤1 a-b≤a-bx≤a+b
ba
a
bxa
a
ba
a
222
ba
a
bxa
ay
ba
a
212112
,
ba
bay
ba
ba
【解法 2】(反函数法):
)1(
2
yb
a
b
ax ,由-1≤x≤1得: 1
)1(
21
yb
a
b
ax ,
ba
bay
ba
ba
五、判别式法:把函数转化成关于 x的二次方程 ( , ) 0F x y ;通过方程有实数根,判别式 0 ,从
而求得原函数的值域,形如
2
1 1 1
2
2 2 2
a x b x cy
a x b x c
( 1a 、 2a 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求
解。(解析式中含有分式和根式。)
【例 1】求函数
2
2
1
1
x xy
x
的值域。
【解析】原函数化为关于 x 的一元二次方程 ,由于 x取一切实数,故有
(1)当 时, 解得:
(2)当 y=1 时, ,而
故函数的值域为
【例 2】求函数 (2 )y x x x 的值域。
【解析】两边平方整理得: (1)
∵ ∴ 解得:
但此时的函数的定义域由 ,得
由 ,仅保证关于 x 的方程: 在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]
上,即不能确保方程(1)有实根,由 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为
。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
代入方程(1) 解得:
即当 时, 原函数的值域为:
注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔
除。
解法二:
2(2 ) 1 (x 1)y x x x x ,令 ]
2
,
2
[sin1 x
)
4
sin(21cossin1 y
4
3
44
1)
4
sin(
2
2
原函数的值域为:
【例 3】 已知函数
2
2
2( )
1
x ax bf x
x
的值域为[1,3],求 ,a b的值。
【解析】
2
2
2
1
x ax by
x
2 2( 2) 0 4(y 2)(y b) 0y x ax y b a
2 24 4(2 b) y 8b a 0y 。
由于
2
2
2( )
1
x ax bf x
x
的值域为[1,3],故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}
1 2
2
1 2
2 1 3
2
8 23
4
y y b
a
b a by y
【例 4】求函数
22
1
2
xx
xy 的值域。
【解法 1】先将此函数化成隐函数的形式得: 012)12(2 yxyyx ,(1)
这是一个关于 x的一元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式
0)12(4)12( 2 yyy ,解得: 2
1
2
1 y 。
故原函数的值域为: ],[ 2
1
2
1y 。
【解法 2】当 x≠-1 时
1
1)1(
1
22
1
2
x
x
y
xx
x
由于 当 x+1< 0 时, 2
1
1)1(
x
x ,即 )0,[ 2
1y
当 x+1> 0 时, 2
1
1)1(
x
x ,即 ],0( 2
1y
考虑到 x=-1 时 y=0 故原函数的值域为: ],[ 2
1
2
1y
【例 5】已知函数 2 1
mx ny
x
的最大值为 4,最小值为 —1 ,则m = , n =
【解析】 2 1
mx ny
x
2 20 4 y(y n) 0y x mx n y m
2 24 4 y 0y n m ………………○1 。
由于
2
2
2( )
1
x ax bf x
x
的值域为[-1,4],故不等式○1 的解集为{y|-1≤y≤4}
1 2
2
1 2
3
4
34
4
y y n
m
m my y
4m 3n
【例 6】求函数 2
2
2 3
xy
x x
的值域。
【解析】
2 (y 1) 3 2 0y x x y
○1 y=0 得 x=-2,从而 y=0 是值域中的一个点;
○2 20 (y 1) 4 y(3y 2) 0y
216 4 1) 0
48 0y
y y
y R
, 由○1 ○2 得函数的值域为 R.
六、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,
形如 y ax b cx d ( a、b、 c、 d均为常数,且 0a )的函数常用此法求解。
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的
熟悉的基本函数。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。
【例 1】求函数 2 1 2y x x 的值域。
【解析】令 1 2t x ( 0t ),则
21
2
tx
,
∴ 2 21 51 ( )
2 4
y t t t ∵当
1
2
t ,即
3
8
x 时, max
5
4
y ,无最小值。
∴函数 2 1 2y x x 的值域为
5( , ]
4
。
【例 2】求函数 )10x2(1xlog2y 3
5x
的值域。
【解析】令 1xlogy,2y 32
5x
1
则 21 y,y 在[2,10]上都是增函数
所以 21 yyy 在[2,10]上是增函数
当 x=2时, 8
112log2y 3
3
min
当 x=10时, 339log2y 3
5
max
故所求函数的值域为:
33,
8
1
【例 3】求函数 1x1xy 的值域。
【解析】原函数可化为: 1x1x
2y
令 1xy,1xy 21 ,显然 21 y,y 在 ],1[ 上为无上界的增函数
所以 1yy , 2y 在 ],1[ 上也为无上界的增函数
所以当 x=1时, 21 yyy 有最小值 2 ,原函数有最大值
2
2
2
显然 0y ,故原函数的值域为 ]2,0(
【例 4】求函数
2)1x(12xy
的值域。
【解析】因 0)1x(1 2 即 1)1x( 2 故可令 ],0[,cos1x
∴
1cossincos11cosy 2
1)
4
sin(2
∵
4
5
4
0,0
211)
4
sin(20
1)
4
sin(
2
2
故所求函数的值域为 ]21,0[
【例 5】求函数 1x2x
xxy 24
3
的值域。
【解析】原函数可变形为:
2
2
2 x1
x1
x1
x2
2
1y
可令 tgx ,则有
2
2
2
2 cos
x1
x1,2sin
x1
x2
4sin
4
12cos2sin
2
1y
当 82
k
时, 4
1ymax
当 82
k
时, 4
1ymin
而此时 tan 有意义。
故所求函数的值域为
4
1,
4
1
【例 6】求函数 )1x)(cos1x(siny ,
2
,
12
x
的值域。
【解析】 )1x)(cos1x(siny
1xcosxsinxcosxsin
令 txcosxsin ,则
)1t(
2
1xcosxsin 2
22 )1t(
2
11t)1t(
2
1y
由 )4/xsin(2xcosxsint 且
2
,
12
x
可得:
2t
2
2
∴当 2t 时,
2
2
3ymax
,当 2
2t
时, 2
2
4
3y
故所求函数的值域为
2
2
3,
2
2
4
3
。
【例 7】 求函数
2x54xy 的值域。
【解析】由 0x5 2 ,可得 5|x|
故可令 ],0[,cos5x
4)
4
sin(10sin54cos5y
∵ 0 4
5
44
当 4/ 时, 104ymax
当 时, 54ymin
故所求函数的值域为: ]104,54[
【例 8】求函数 21)45)(125( 22 xxxxy 的值域。
【解析】令
4
9
2
545
2
2
xxxt ,则
4
9
t 。
54218218 22 ttttty ,
当
4
9
t 时,
16
1854
4
9 2
min
y ,值域为
16
18| yy
【例 9】求函数 xxy 12 的值域。
【解析】令 xt 1 ,则
21 tx , 0t , 2121 22 ttty
当 0t 时, 10201 2
max t
所以值域为 ]1,( 。
【例 10】.求函数 2310 2 xxxy 的值域。
【解析】由 2310 2 xxxy = 252 xx ,
令 cos25 x ,
因为 1cos10cos22052 22 x , ],0[ ,
则 252 x = sin2 ,
于是: 5
4
sin25cos2sin2
y , ]
4
5,
4
[
4
,
1
4
sin
2
2
,所以: 725 y 。
七、函数有界性法:直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客
为主来确定函数的值域。
【例 1】 求函数
2
2
1
1
xy
x
的值域。
【解析】由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R,对函数进行变形可得
2( 1) ( 1)y x y , ∵ 1y ,∴ 2 1
1
yx
y
( x R , 1y ),
∴
1 0
1
y
y
,∴ 1 1y , ∴函数
2
2
1
1
xy
x
的值域为{ | 1 1}y y
【例 2】求函数 1e
1ey x
x
的值域。
【解析】由原函数式可得:
1y
1yex
∵ 0e x ∴
0
1y
1y
解得: 1y1 故所求函数的值域为 )1,1(
【例 3】求函数 3xsin
xcosy
的值域。
【解析】由原函数式可得: y3xcosxsiny ,可化为:
y3)x(xsin1y 2
即
1y
y3)x(xsin
2
∵ Rx ∴ ]1,1[)x(xsin 即
1
1y
y31
2
解得: 4
2y
4
2
故函数的值域为
4
2,
4
2
【例 4】
x
xy
cos24
sin3
【解法 1】
241
43)sin(
y
yx
, 1
41
43)sin(
2
y
yx ,
解得
3
31
3
31 y 即函数值域为: ]
3
31,
3
31[ y
【解法 2】y 看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率.即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线,其斜率取值
范围就是 x
xy
cos24
sin3
聚会取值范围.设 y=k(x-4)+3 代入椭圆方程
1
4
2
2
yx
得 0)82416(4)43(8)14( 222 kkkxkxk ,由Δ=0得答案.
【例 5】 已知 a>0,x1,x2是方程 ax2+bx-a2=0 的二个实根,并且|x1|+|x2|=2,求 a 的取值范围以及 b 的最大值 。
【解析】由韦达定理知:x1x2=-a<0,故两根必一正一负,
|x1|+|x2|=2
从而|x1-x2|=2
由韦达定理知:4=|x1-x2|2=(b2+4a3)/a2
从而 4a2-4a3=b2≥0
即 4a2(1-a) ≥ 0
即 a≤1,注意到 a>0,从而 a的取值范围是 0< a≤1
从而
27
16)
3
22(2)22(2)1(4 322
aaaaaaaab
即 b的最大值为
9
34
,当且仅当 a=2/3 时“=”成立。
八、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。
【例 1】求函数 1 2y x x 的值域。
【解析】∵当 x增大时,1 2x 随 x的增大而减少, 1 2x 随 x的增大而增大,
∴函数 1 2y x x 在定义域
1( , ]
2
上是增函数。
∴
1 1 11 2
2 2 2
y ,∴函数 1 2y x x 的值域为
1( , ]
2
。
【例 2】求函数
x
xy 1
在区间 ,0x 上的值域。
【解析】任取 ,0, 21 xx ,且 21 xx ,则
21
2121
21
1
xx
xxxx
xfxf
,因为 210 xx ,所以: 0,0 2121 xxxx ,
当 211 xx 时, 0121 xx ,则 21 xfxf ;
当 10 21 xx 时, 0121 xx ,则 21 xfxf ;而当 1x 时, 2min y
于是:函数
x
xy 1
在区间 ,0x 上的值域为 ),2[ 。
构造相关函数,利用函数的单调性求值域。
【例 4】求函数 xxxf 11 的值域。
【解析】因为 11
01
01
x
x
x
,而 x1 与 x1 在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数
xxxg 11 , 易 知 )(xg 在 定 义 域 内 单 调 增 。 21max gg , 21min gg ,
2 xg , 20 2 xg ,
又 422 xgxf ,所以: 42 2 xf , 22 xf 。
【例 5】求函数 3 6 8y x x 的值域。
【解析】此题可以看作 vuy 和 63 xu , xv 8 的复合函数,显然函数 63 xu 为单调递增
函数,易验证 xv 8 亦是单调递增函数,故函数 xxy 863 也是单调递增函数。而此函数的定
义域为 ]8,2[ 。
当 2x 时, y 取得最小值 10 。当 8x 时, y取得最大值 30。
故而原函数的值域为 ]30,10[ 。
九. 图像法(数型结合法):函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图
像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直
线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。
【例 1】求函数 | 3 | | 5 |y x x 的值域。
【解析】∵
2 2
| 3 | | 5 | 8
2 2
x
y x x
x
( 3)
( 3 5)
( 5)
x
x
x
,
∴ | 3 | | 5 |y x x 的图像如图所示,
由图像知:函数 | 3 | | 5 |y x x 的值域为[8, )
【例 2】求函数
22 )8x()2x(y
的值域。
【解析】原函数可化简得: |8x||2x|y
上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2), )8(B 间的距离之和。
由上图可知,当点 P在线段 AB上时, 10|AB||8x||2x|y
当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时, 10|AB||8x||2x|y
故所求函数的值域为: ],10[
【例 3】求函数 5x4x13x6xy 22 的值域。
【解析】原函数可变形为:
8
5-3 o
y
x
2222 )10()2x()20()3x(y
上式可看成 x轴上的点 )0,x(P 到两定点 )1,2(B),2,3(A 的距离之和,
由图可知当点 P为线段与 x轴的交点时,
43)12()23(|AB|y 22
min
,
故所求函数的值域为 ],43[
十、 基本不等式法:利用基本不等式 ,求函数的最值,其题型特征
解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
【例 1】求下列函数的值域:(1) 3ky x
x
(k>0);(2)
2
2
2
1
xy
x
。
【解析】(1)若 x>0时,则 3
x
kxy k
x
kx 2332 ,等号仅当 x=k/x,即 kx 时成立;
若 x<0时,则 3
x
kxy k
x
kx 233)(2 ,等号仅当-x=-k/x,即 kx 时成立;
故, ),23[]23,( kky
(2) 解法一:
1
2
2
2
x
xy = 2
1
11
2
2
x
x ,故 ),2[ y
解法二:令 12 xt ,则 )1(1
t
t
ty .即方程 01)( 2 tyttf 在[1,+∞)上有解.
所以 121 tt .从而 f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根,另一根在(0,1)内,从而 f(1)≤0,即 y≥2.
【例 2】若 14 x ,求
22
222
x
xx
的最小值
【解析】 ]
)1(
1)1([
2
1]
1
1)1[(
2
1
1
1)1(
2
1
22
22 22
x
x
x
x
x
x
x
xx
∵ 14 x ∴ 3)1(0 x
3
1
)1(
1
x
从而 2]
)1(
1)1([
x
x 1]
)1(
1)1([
2
1
x
x ,
当且仅当
)1(
1)1(
x
x ,即 x=-2时”=”成立
即 1)
22
22( min
2
x
xx
【例 3】求函数 )0(,32 2 x
x
xy 的最小值
【解析】 333 222 36
2
3
2
93
2
3
2
323
2
3
2
3232
xx
x
xx
x
x
xy
当且仅当
x
x
2
32 2 即
2
63
x 时 3
min 36
2
3
y
【例 4】求 y=
xx sin
4
cos
1
(x )
2
,0( )的最小值。
【解析】y>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x
=(tan2x+1)+16(cot2x+1)+8
xx
xx
sincos
sincos 22
=17+(tan2x+4cot x+4cot x)+ (16cot2 x+ 4tan x+4tan x)
3 23 233 tan4tan4cot163cot4cot4tan3)16(1 xxxxxx
= 33 161
当且仅当
xxx
xxx
tan4tan4cot16
cot4cot4tan
2
2
即
1cot4
4tan
3
3
x
x
(这是两个相同的方程),
即当 x=arctan 3 4 )
2
,0(
时,“=”成立(达到最小值)。
【例 5】若函数 y=f(X)的值域为 ]3,
2
1[ ,则函数
)(
1)()(
xf
xfxF 的值域是 ]
3
10,2[ 。
解析:f(x)>0, 2
)(
1)()(
xf
xfxF ,并且当 f(x)=1时等号成立。而
t
ttg 1)( 在 t ]1,
2
1[ 时单调递减,
t
ttg 1)( 在
t[1,3]时单调递增。从而
t
ttg 1)( 在区间 ]1,
2
1[ 上的值域为 ]
2
5,2[)]
2
1(),1([ gg ;
t
ttg 1)( 在区间[1,3]上的值域为
[g(1),g(3)]=[2,10/3].综合知 F(x)的值域为 ]
3
10,2[
【例 6】求函数
2
3
xy
x
的值域。
【解析】令 ,则
(1)当 时, ,当且仅当 t=1,即 时取等号,所以
(2)当 t=0 时,y=0。
综上所述,函数的值域为: 注:先换元,后用不等式法
十一、利用向量不等式
性质 1 若 ,则
当且仅当 时等式成立
性质 2 ,当且仅当 a, 同向平行时右边等式成立,a, 反向平行时左边等式成立。
性质 3 ,当且仅当 方向相同且两两平行时等式成立。
类型(1) 型( 同号)
【例 1】 求函数 5 1 10y x x 的最大值。
【解析】构造向量
由性质 1,得
当且仅当 ,即 时,
解 2:显然 1≤x≤10, 2 21 9sin 3sin ( [0, ]) 10 9(1 sin ) 3cos
4
x x
15sin 3cos 3 26 sin( )y (其中
1arctan
5
)
min
1 5 1(sin( )) min{sin ,sin( )} { , }
2 2 26 26 26
max(sin( )) sin 1
2
所以 3≤ 15sin 3cos 3 26 sin( ) 3 26y 即
类型(2) 型
【例 2】 求函数
23 10 9y x x 的最大值。
【解析】原函数可变为
取 且
构造向量
由性质 1,得
从而
当且仅当 ,即 时,
类型(3) 型( )
【例 3】求函数
2 24 (3 x) 9y x 的最小值。
【解析】构造向量
由性质 2,得
当且仅当 a与 b同向平行时等式成立
所以 (此时 )
类型(4)其它类型
【例 4】 设 x1(i=1,2,……,2003)为正实数,且 1 1 2015 2015x x x ,试求
1 2 2 3 2014 2015 2015 1y x x x x x x x x 的最小值。
【解析】构造向量
由性质 3,得
即
【例 5】 已知 ,求 的最小值。
【解析】构造向量
从而
由性质 3,得
当且仅当 a=b=c=1/2时“=”成立。
所以
十二、一一映射法
原理:因为
)0c(
dcx
baxy
在定义域上 x与 y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可
以求另一个变量范围。
【例 1】求函数 1x2
x31y
的值域。
【解析】∵定义域为
2
1x
2
1x|x 或
由 1x2
x31y
得
3y2
y1x
故
2
1
3y2
y1x
或
2
1
3y2
y1x
解得 2
3y
2
3y 或
故函数的值域为
,
2
3
2
3,
十三、多种方法综合运用
【例 1】求函数 3x
2xy
的值域。
【解析】令 )0t(2xt ,则 1t3x 2
(1)当 0t 时,
2
1
t
1t
1
1t
ty 2
,当且仅当 t=1,即 1x 时取等号,所以 2
1y0
(2)当 t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:
2
1,0
注:先换元,后用不等式法
【例 2】 求函数
42
432
xx21
xxx2x1y
的值域。
【解析】
42
3
42
42
xx21
xx
xx21
xx21y
2
2
2
2
x1
x
x1
x1
令 2
tanx
,则
2
2
2
2
cos
x1
x1
sin
2
1
x1
x
2
1sin
2
1sinsin
2
1cosy 22 16
17
4
1sin
2
∴当 4
1sin
时, 16
17ymax
当 1sin 时, 2ymin
此时 2
tan
都存在,故函数的值域为
16
17,2
注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 sin 的有界性。
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