人教版高中数学必修二检测：第一章空间几何体课后提升作业一1-1-1含解析 7页

课后提升作业 一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.下列说法中正确的是 ( ) A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【解析】选 A.棱柱的两底面互相平行，故 A 正确；棱柱的侧面也可能有 平行的面(如正方体)，故 B 错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱， 当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故 C 错；由棱柱的定 义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形， 也可以是其他多边形，故 D 错. 2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点 ( ) A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点 【解析】选 C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点. 3.下列说法错误的是 ( ) A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有 9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 【解析】选 D.三棱柱的侧面是平行四边形，故 D 错误. 4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾 斜后水槽中的水形成的几何体是 ( ).Com] A.棱柱 B.棱台 C.由一个棱柱与一个棱锥构成 D.不能确定 【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右 (或前后)两个侧面为底面的四棱柱. 5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体 后，其中两个完全一样的是 ( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折 起，进行想象后判断. 【解析】选 B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，① ④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是 ( ) 【解析】选 D.A，B，C 中底面多边形的边数与侧面数不相等. 6.若棱台上、下底面的对应边之比为 1∶2，则上、下底面的面积之比是 ( ) A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1 【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们 的面积之比等于对应边长之比的平方，故为 1∶4. 7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底 面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共 有 ( ) A.20 条 B.15 条 C.12 条 D.10 条 【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧 棱的截面为一个平行四边形，共可得 5 个截面，每个平行四边形可得到 五棱柱的两条对角线，故共有 10 条对角线. 8.(2015·广东高考)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值 ( ) A.大于 5 B.等于 5 C.至多等于 4 D.至多等于 3 【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中 n 个不 同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值至多等于 4. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶 点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号) ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有 一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤ 每个面都是直角三角形的四面体. 【解析】如图：①正确，如图四边形 A1D1CB 为矩形；②错误，任意选择 4 个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形 ABCD 为正方形，四边形 A1BCD1 为矩形；③正确，如四面体 A1ABD；④正确， 如四面体 A1C1BD；⑤正确，如四面体 B1ABD；则正确的说法是①③④⑤. 答案：①③④⑤ 10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60cm，则每条侧棱长为________cm. 【解析】因为 n 棱柱有 2n 个顶点，又此棱柱有 10 个顶点，所以它是五 棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为 60cm，可知每条侧棱长为 12cm. 答案：12 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称. (1)由 8 个面围成，其中 2 个面是互相平行且全等的六边形，其他各面 都是平行四边形. (2)由 5 个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有 1 个公共顶点 的三角形. 【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱. (2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥. 12.已知三棱柱 ABC-A′B′C′，底面是边长为 1 的正三角形，侧面为全 等的矩形且高为 8，求一点自 A 点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到 达 A′点的最短路线长. 【解析】将三棱柱侧面沿侧棱 AA′剪开，展成平面图形如图，则 AA″ 即为所求的最短路线. 在 Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8， 所以 AA″= = . 【延伸探究】本题条件不变，求一点自 A 点出发沿着三棱柱的侧面绕行 两周后到达 A′点的最短路线长. 【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿 AA′剪开，然后展开 并拼接成如图所示，则 AA″即为所求的最短路线.在 Rt△AA1A″中， AA1=6，A1A″=8， 所以 AA″= = =10. 【能力挑战题】 如图，在边长为 2a 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，沿 图中虚线将 3 个三角形折起，使点 A，B，C 重合，重合后记为点 P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？ 【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥. (2)这个几何体共有 4 个面，其中△DEF 为等腰三角形，△PEF 为等腰直 角三角形，△DPE 和△DPF 均为直角三角形. (3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2， S△DEF=S 正方形 ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE =(2a)2-a2-a2-a2=a2.