人教版高中数学选修4-4练习：第一讲三简单曲线的极坐标方程word版含解析 6页

第一讲 坐标系 三、简单曲线的极坐标方程 A 级 基础巩固 一、选择题 1．极坐标方程ρcos θ＝－6 表示( ) A．过点(6，π)垂直于极轴的直线 B．过点(6，0)垂直于极轴 的直线 C．圆心为(3，π)，半径为 3 的圆 D．圆心为(3，0)，半径为 3 的圆 解析：将ρcos θ＝－6 化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过 点(6，π)垂直于极轴的直线． 答案：A 2．圆ρ＝ 2(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是( ) A. 1，π 4 B. 1 2 ，π 4 C. 2，π 4 D. 2，π 4 解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是 x2＋y2－ 2x－ 2y ＝0，圆心的直角坐标是 2 2 ， 2 2 ，化为极坐标是 1，π 4 . 答案：A 3．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A．ρcos θ＝2 B．ρsin θ＝2 C．ρ＝4sin θ＋π 3 D．ρ＝4sin θ－π 3 解析：将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为 x2＋y2＝4y，即 x2＋(y －2)2＝4，它与直线 x－2＝0 相切，将 x－2＝0 化为极坐标方程为ρcos θ＝2. 答案：A 4．已知点 P 的极坐标是(1，π)，则过点 P 且垂直于极轴的直线 的方程是( ) A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ C．ρ＝－ 1 cos θ D．ρ＝ 1 cos θ 解析：设 M 为所求直线上任意一点(除 P 外)，其极坐标为(ρ，θ)， 在直角三角形 OPM 中(O 为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－ 1 cos θ.经 检验，(1，π)也适合上述方程． 答案：C 5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分 别为( )[来源:学&科&网] A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝π 2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝π 2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 解析：由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为 x2＋y2 －2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为 x＝0 和 x＝2，相应的极坐标方程为θ＝π 2(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 答案：B 二、填空题 6．直线 3 3 x－y＝0 的极坐标方程为__________________． 解析：直线方程 3 3 x－y＝0 变为极坐标方程为 3 3 ρcos θ－ρsin θ ＝0，即 3 3 cos θ－sin θ＝0，故 tan θ＝ 3 3 ， 故θ＝π 6 或θ＝7 6π， 所以直线 3 3 x－y＝0 的极坐标方程为θ＝π 6 或θ＝7π 6 . 答案：θ＝π 6 或7π 6 [来源:Zxxk.Com] 7．圆心为 C 3，π 6 ，半径为 3 的圆的极坐标方程为___________． 解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为 3 3 2 ，3 2 .因为圆的半径为 3，故圆的直角坐标方程为 x－3 3 2 2＋ y－3 2 2＝9，化为极坐标方程 为ρ＝6cos θ－π 6 . 答案：ρ＝6cos θ－π 6 [来源:学#科#网] 8．已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin θ－π 4 ＝ 2，点 A 的极坐标 为 A 2 2，7π 4 ，则点 A 到直线 l 的距离为________． 解析：将直线 l 的极坐标方程 2ρsin θ－π 4 ＝ 2化为直角坐标方 程为 x－y＋1＝0. 由 A 2 2，7π 4 得 A 点的直角坐标为(2，－2)， 从而点 A 到直线 l 的距离 d＝ |2＋2＋1| 12＋（－1）2 ＝5 2 2 . 答案：5 2 2 三、解答题 9．在极 坐标系中，已知点 P 为圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0 上任意一 点．求点 P 到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0 的距离的最小值与最大值． 解：圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0 的直角坐标方程为 x2＋y2＋2y－7＝0，即 x2＋(y＋1)2＝8，[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0 的直角坐标方程为 x＋y－7＝0. 根据题意可设点 P(2 2cos α，2 2sin α－1)， 则点 P 到直线 x＋y－7＝0 的距离 d＝|2 2cos α＋2 2sin α－8| 2 ＝|4sin α＋π 4 －8| 2 ， 当 sin α＋π 4 ＝1 时，dmin＝ 4 2 ＝2 2； 当 sin α＋π 4 ＝－1 时，dmax＝12 2 ＝6 2. 10．已知两个圆的极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ. (1)求两个圆的圆心距； (2)求经过两圆的交点的直线的极坐标方程． 解：两个圆的直角坐标方程分别是 x2＋y2－x＝0，x2＋y2－y＝0.[来 源:学科网 ZXXK] (1)两个圆的圆心坐标分别是 1 2 ，0 ，0，1 2 ，所以两圆的圆心距是 2 2 . (2)易得经过两圆的交点的直线的直角坐标方程是 x－y＝0，故它 的极坐标方程是θ＝π 4(ρ∈R)． B 级 能力提升 1．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系，则线段 y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) A．ρ＝ 1 cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 2 B．ρ＝ 1 cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 4 C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 2 D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 4 解析：因为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， 所以 y＝1－x 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝ 1 cos θ＋sin θ. 因为 0≤x≤1，0≤y≤1， 所以线段在第一象限内(含端点)，所以 0≤θ≤π 2. 答案：A 2．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系．若曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线 C 的直角坐标方程为______________． 解析：因为 ρ＝2sin θ，所以 ρ2＝2ρsin θ， 所以 x2＋y2＝2y， 即 x2＋y2－2y＝0. 答案：x2＋y2－2y＝0 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标． 解：曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1 化为直角坐标方程为 x＋y＝1， 曲线ρ(sin θ－cos θ)＝1 化为直角坐标方程为 y－x＝1， 联立方程组 x＋y＝1， y－x＝1 得 x＝0， y＝1. 则交点为(0，1)，对应的极坐标为 1，π 2 .