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- 2021-06-16 发布
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模拟试题精选精析 专题四
【精选试题】
1. 三个内角 所对的边为 ,已知 且 ,则角 等于( )
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】由正弦定理可得: ,则 ,又 ,所以 ,故选 A。
2.已知倾斜角为 的直线l 过 x 轴上一点 A (非坐标原点O ),直线l 上有一点 0 0cos130 ,sin50P ,且
030APO ,则 等于( )
A.100° B.160° C.100°或 160° D.130°
【答案】C
3. 如图,设 ,A B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧河岸选定一点 C ,测出 AC 的距离为 50 米,
045ACB , 0105CAB ,则 ,A B 两点的距离为( )
A. 50 2 米 B. 50 米 C. 25 米 D. 25 2
2
米
【答案】A
【解析】在△ABC 中,∵∠ACB=45°,∠CAB=105°,∴∠B=30°,由正弦定理可得: AC
sin sin
AB
B ACB
,
*sin 50 2.sin
AC ACBAB B
故答案为:A.
4. 若两个非零向量 满足 ,则向量 与 夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,则 ,得 ,所以 ;
根据条件得到图象,不妨设 , ,则 ,
则 ,故选 D。
5. 若等比数列 na 的前 5 项的乘积为 1, 6 8a ,则数列 na 的公比为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 1
2
【答案】B
6.函数 的零点是 和 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,得 ,即 ,则 ,
所以 ,故选 C。
7.在 ABC 中,内角 CBA ,, 所对应的边分别为 cba ,, ,若 0sin2sin AbBa , cb 3 ,则
a
c ( )
A.1 B.
3
3 C.
2
2 D. 2
【答案】A
【解析】由 0sin2sin AbBa 得 2 sin cos sin 0a B B b A ,由正弦定理得
2sin sin cos sin sin 0A B B B A ,所以 1cos 2B ,由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B 即
2 2 23c a c ac ,
2
2 1 0c c
a a
,解之得 1c
a
,故选 A.
8. 把函数 2 2sin cos6 6y x x
的图像向左平移 ( 0) 个单位就得到了一个奇函数的图
象,则 的最小值是( )
A. 5
12
B.
6
C.
12
D.
3
【答案】C
9.曲线 xy e 在点 2(2 )e, 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A、 29
4 e B、 22e C、 2e D、
2
2
e
【答案】D
【解析】 2 2 2 2 2 2
2' | ( 2) (1,0), (0, )x
xy e y e y e e x y e x e A B e
2
21 12 2
eS e ,故选 D.
10. 设有一个正方形网格(线条宽度忽略不计,部分网格如图),其中每个最小正方形
的边长都等于 .现用目前流通的直径是 的—元硬币投掷到此网格上,则
硬币完全落入网格内(与格线没有公共点)的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】一个小正方形内的完全落入的区域为 ,一个小正方形面积 ,
所以概率为 ,故选 A。
11. 函数 2sin , ,2 2y x x x
的图象大致为( )
A. B. C D.
【答案】D
12.如图,过抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点 F 的直线l 交抛物线于点 ,A B ,
交其准线于点C ,若 2BC BF ,且 3AF ,则此抛物线的方程为( )
A. 2 3
2y x B. 2 3y x C. 2 9
2y x D. 2 9y x
【答案】B
【解析】由题意,过点 ,A B 分别作准线的垂线,垂足为 A B , ,如图所示,根据抛物线定义得 BB BF ,
又 2 2BC BF BB ,则 30BCB ,即 60AFx ,所以直线 AB 的斜率为
tan 3k AFx ,又点 ,02
pF
,所以直线 AB 的方程为 3 2
py x
,联
立直线与抛物线的方程
2 2
{
3 2
y px
py x
,解得 1 2
3 ,2 6
p px x ,结合图形知,点 A
的横坐标为 3
2
p ,又 3AA AF ,则 3 332 2 2
p p p ,所以抛物线的方程
为 2 3y x ,故选 D.
点睛:此题主要考查抛物线方程,直线与抛物线位置关系中焦点弦与抛物线交点坐标关系、弦长问题等,
以及直线方程、解方程、数形结合等能力有关方面知识,属于中档题型,也是高频考点.在解决此类问题
过程中,注意结合抛物线定义和焦点弦性质的应用,再配合数形结合法,从而解决问题.
13. 若函数 在 上的图象与直线 恰有两个交点.则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知, 在 存在两个最大值,
则 ,所以 ,故选 A。
点睛:三角函数的图象问题利用图象辅助解题,由题意可知,在
存在两个最大值,则在图象上得到第二个最大值 和第三个最大值
,因为在 恰有两个最大值,则得到 ,解得答
案。
14. 设角 , ,A B C 为锐角 ABC 的三个内角,则点 sin cos ,cos sinP A B A C 在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
15. 已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点,则 PA PB PC 的最小值为
( )
A. 3 B. 6 C. 2 D. 8
3
【答案】B
【解析】如图建立坐标系, 0,2 3 , 2,0 , 2,0A B C ,设 ,P x y ,则
,2 3 , 2 , , 2 ,PA x y PB x y PC x y ,
2 2,2 3 2 , 2 2 2 4 3PA PB PC x y x y x y y
222 3 6 6x y
,最小值为 6 ,故选 B。
点睛:已知图形的向量问题采用坐标法,可以将几何问题转化为计算问题,数形结合的思想应用。坐标
法后得到函数关系,求函数的最小值。向量问题的坐标化,是解决向量问题的常用方法。
16. 如果对于任意实数 ,x x 表示不超过 x 的最大整数,那么“ =x y ”是“ 1x y 成立”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若“ x y ”,设 x a y a x a b y a c , , , 其中 [01b c, ,),
1x y b c x y < 即“ x y ”成立能推出“ 1x y ”成立,反之,例如
1.2 2.1x y , 满足 1x y 但 1 2x y , ,即 1x y 成立,推不出 x y ,故
“ x y ”是“|x-y|<1”成立的充分不必要条件,故选 A
17. 已知 1 2,F F 分别是双曲线的左、右焦点,点 2F 关于渐近线的
对称点 P 恰好落在以 1F 为圆心、 1OF 为半径的圆上,则双曲线
的离心率为( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
【答案】C
点睛:这是圆锥曲线中的常见题型,求离心率的值,求离心率的范围问题;无论是求值或者求范围,都
是找 a,b,c 的方程或不等式;一般的方法有:通过定义列方程,由焦半径的范围列不等式,根据图形特
点找等量关系,例如中位线,等腰三角形,直角三角形的勾股定理的单。
18. 将函数 sin 2 6y x
图象上的点 3 π, (0 )2 4M
向右平移 ( 0)t t 个单位长度得到点
M ,若 M 位于函数 sin2y x 的图象上,则( )
A. π
12
, t 的最小值为 π
12
B. π
12
, t 的最小值为 π
6
C. π
6
, t 的最小值为 π
6
D. π
6
, t 的最小值为 π
12
【答案】A
点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所
以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言.
19. 如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规
则表上数字标签:原点处标 0 点 处标 1,点 处标 2,点 处
标 3,点 处标 4,点 点标 5,点 处标 6,点 处标 7,
以此类推,则标签 的格点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ,选 A.
20. 已知 x
xf x x Re
,若关于 x 的方程 2 1 0f x mf x m 恰好有 4 个不相等的实数解,
则实数 m 的取值范围为( )
A. 1 ,2 2,ee
B. 1 ,1e
C. 11, 1e
D. 1 ,ee
【答案】C
【解析】化简可得 f(x)= x
x
e
=
, 0
{ ,
, 0
x
x
x xe
x xe
当 x≥0 时,f′(x)= 1
x
x
e
,
当 0≤x<1 时,f′(x)>0,当 x≥1 时,f′(x)≤0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)
单调递减;当 x<0 时,f′(x)= 1
x
x
e
<0,f(x)为减函数,∴函数 f(x)= x
x
e
在(0,+∞)上有一
个最大值为 f(1)= 1
e
,
1
e
且 0<m2< 1
e
,设 g(m)=m2﹣tm+t﹣1,则
2
0 1 0 1
1 1 1{ 1 0 {
0
02
g t t
t eg t te e e e
tt
,解得 1<t<
1+ 1
e
,
故答案选:C。
点睛:本题考查了根的存在性及根的个数的判断,考查了利用函数的导函数分析函数的单调性,考查了
学生分析问题和解决问题的能力,一般对于这种复合函数题目,利用换元法转化为一元二次方程,是解
决本题的关键,这样内层是分式型的函数,外层是二次型的,对应内外层函数找对应的根的个数即可。
21. 函数 与 的图象关于直线 对称, 分别是函数 图象上
的动点,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得当 P 点处切线平行直线 ,Q 为 P 关于直线 对称点时, 取
最小值. , 的最小值为 ,
选 D.
点睛:(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图
象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.
22. 刘徽(约公元 225 年—295 年)是魏晋时期伟大的数学家,中国古典数学理论的
奠基人之一,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产. 《九
章算术·商功》中有这样一段话:“斜解立方,得两壍堵. 斜解壍堵,其一为阳马,一
为鳖臑.” 刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云.” 其
实这里所谓的“鳖臑(biē nào)”,就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为
直角三角形的三棱锥. 如图,在三棱锥 A BCD 中, AB 垂直于平面 BCD, AC 垂直于CD ,且
1AB BC CD ,则三棱锥 A BCD 的外接球的球面面积为__________.
【答案】 3
23.已知双曲线 的渐近线过圆 的圆心,则 __________.
【答案】4
【解析】由题可知, ,圆心为 ,所以双曲线的一条渐近线方程 ,得 ,
所以 。
24.设正实数 x , y 满足 4x y xy ,则 x y 的最小值是 .
【答案】9
【解析】 4 14 1x y xy y x
,所以 4 1 4 4( )( ) 5 5 2 9x y x yx y x y y x y x y x
,当且
仅当 4x y
y x
时,取最小值 9.
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中
“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的
条件才能应用,否则会出现错误.
25. 对于任意两集合 ,定义 且 ,
记 ,则 __________.
【答案】
【解析】 , ,所以
26. 已知 ,则 __________.
【答案】
27. 已知 是正数,且函数 sin 3cosf x x x 在区间 ,4 2
上无极值,则 的取值范围是
_____.
【答案】 5 10 110, ,3 3 3
【解析】函数 sin 3cosf x x x 2sin 3wx
,在区间 ,4 2
上无极值,即函数在区间
上无零点。假设在区间上有零点, ,3 4 3 2 3wx w w
,则应满足:
4 w
,
,2 4 3 2 3k w w
4
{ 5 102 4 ,3 3
w
k w k k Z
结合两个式子,及对 k 赋值,得到
5 10 11, ,43 3 3k
,因为是假设的反面,故应该取补集,得到: 的取值范围是 5 10 110, ,3 3 3
。
故结果为: 5 10 110, ,3 3 3
。
点睛:这个题考查了三角函数的化一公式,两角和差公式,三角函数的最值极值,是一道比较好的题目。
值得一提的是,解题的思想:正难,则反的思想。对于三角函数的最值和零点问题,多数是应用图像的
整体思想,来解决,将相位看作一个整体,放到 sinx 中,相当于 x 的位置去考虑。
28. 若 表示不超过 的最大整数(如: 等等),
则 __________.
【答案】
【解析】
所以 ,因此
2017
29. 方程 的实数解的个数为__________.
【答案】
30.在△ ABC 中,点 D 在直线 AB 上,CD BC , 5 3AC , 5CD , 2BD AD ,则 AD 的长
为 .
【答案】5 或 35
【解析】如图所示:
延长 BC ,过 A 做 AE BC ,垂足为 E,∵ / / 5 2CD BC CD AE CD BD AD , , , ,∴ 2 3
CD
AE
,
解得 15
2AE ,在
2
2 2 15 525 3 4 2
3Rt ACE CE AC AE , ,由 2BC
CE
得
2 5 3BC CE ,在 Rt BCD 中, 2 2 25 3 25 10BD BC CD ,则 5AD .
【思路点睛】本题考查平行线的性质,以及勾股定理,做出辅助线是解题的关键,根据题意画出图象,
延长 BC 、过 A 做 AE BC 、垂足为 E ,根据平行线的性质和勾股定理依次求出 AE CE BC BD、 、 、 ,
由条件求出 AD 的长.
31. 设 ABC 三个内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , ABC 的面积 S 满足 2 2 24 3S a b c .
(1)求角 C 的值;
(2)求sin cosB A 的取值范围.
(1)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 cos 1cos , 2 cos sin2 24 3 4 3
a b c a b c ab CC a b c ab C S ab Cab
,
3tan 3C ,
6C .
(2)sin cos cos 3B A A
或者 sin 6A
, sin 3B
, cos 6 B
,因为 50, 6A
,
所以 7,3 3 6A
, 1cos ,13 2A
,所以 1sin cos ,12B A
.
32. 2016 年 6 月 22 日,“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息
化大会”,某机构随机抽取了年龄在 15-75 岁之间的 100 人进行调查,经统计“青少年”与“中老年”
的人数之比为 9: 11.
(1)根据已知条件完成下面的 2 2 列联表,并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加
关注“国际教育信息化大会”;
(2)现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取 9 人进行问卷调查.在这 9 人中再选取 3人进行面对面
询问,记选取的 3 人中关注“国际教育信息化大会”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.
附:参考公式
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d .
临界值表:
试题解析:(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有 9100 4520
人,“中老年”共有100 45 55 人
.
完成的 2 2 列联表如下:
则
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
2100 30 35 20 15 9.09155 50 55 45
,
因为 2 6.635 0.01,9.091 6.635P K ,所以有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注
“国际教育信息化大会”.
(2)根据题意知选出关注的人数为 3,不关注的人数为 6,在这 9 人中再选取 3 人进行面对面询问, X
的取值可以为 0,1,2,3,则
3
6
3
9
20 50 84 21
CP X C
,
1 2
3 6
3
9
45 151 84 28
C CP X C
,
2 1
3 6
3
9
18 32 84 14
C CP X C
,
3
3
3
9
13 84
CP X C
.所以 X 的分布列为
数学期望 20 45 18 1 45 36 30 1 2 3 184 84 84 84 84E X .
点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有
可能取值,以及取每个值所表示的意义;第二步是:“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式,
求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列
的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确;
第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
33. 已知数列 满足 ,其中 为 的前 项和 .
(1)求 及数列 的通项公式;
(2)若数列 满足 ,且 的前 项和为 ,求 的最大值和最小值.
试题解析:(1)数列 满足 ,则 ,
即数列 为以 1 为首项,以 为公比的等比数列,所以 ,所以 .
(2)在数列 中, , 为 的前 项和,则
,
显然 时 , 时 .
点睛:给出 与 的递推关系求 ,常用思路是:一是利用 转化为 的递推关系,再
求其通项公式;二是转化为 的递推关系,先求出 与 之间的关系,再求 . 应用关系式
时,一定要注意分 两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合
在一起.
34. 如图,五面体 中, 平面 为直角梯形,
.
(1)若 为 的中点,求证: 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值.
试题解析:(1)证明:取 的中点 ,连接 ,因为 分别是 的中点,所以 且 ,
因为 ,所以 且 ,所以 ,又 平面 平面 ,所以
平面 .
(2)以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴和 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设 ,
则 , ,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,令 ,得 ,
同理可求平面 的一个法向量为 ,平面 和平面
为同一个平面,所以二面角 的余弦值为 .
点睛:利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐
标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;
第四,破“应用公式关”.
35. 如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的焦距为 2,且过点 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)若点 分别是椭圆 的左右顶点,直线 经过点 且垂直与轴,
点 是椭圆上异于 的任意一点,直线 交 于点 .
①设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,求证: 为定值;
②设过点 垂直于 的直线为 ,求证:直线 过定点,并求出定点的坐标.
试题解析:(1)由题意椭圆 的焦距为 2,且过点 ,所以 ,
解得 ,所以椭圆 的标准方程为 .
(2)①设 ,则直线 的方程为 ,令 得 ,因为 ,
因为 ,所以 ,因为 在椭圆上,所以 ,所以 为
定值,
②直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则直线 的方程为
,所以直线 过定点 .
点睛:1.求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 ,然后利用条件建立 等量关系进行消元,借助于
直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
36.己知函数 1ln axxxf 。
(1)试探究函数 xf 的单调性;
(2)若 xf 的图象与 x 轴交于 ))(0,(),0,( 2121 xxxBxA 两点,AB 中点为 )0,( 0xC ,设函数 xf 的导函
数为 )(xf , 求证: 0)( 0 xf .
究 2 1 ln1
th t tt
的性质,从而证明 0'( )f x 的正负.
试题解析:定义域为 ,0 ,
x
axaxxf 11)(
(1)当 时0a , 0)( xf 恒成立。 )(xf 在 ,0 单调递增; 当 时0a )(xf 在
a
1,0 递增,在
,1
a
递减。
(2)由 1 1 1
2 2 2
( ) 0 ln 1 0,
( ) 0 ln 1 0,
f x x ax
f x x ax
得 1 2
1 2
ln lnx xa x x
1 2(0 )x x
' 1 2
0
0 1 2 1 2 1 2
ln ln1 2 2( ) x xf x a ax x x x x x x
1 2 1
1 2 1 2 2
2( )1 [ ln ]x x x
x x x x x
=
1
2 1
11 2 2
2
2( 1)1 [ ln ]
1
x
x x
xx x x
x
,令 1
2
(0,1)x tx
,设 2( 1)( ) ln1
th t tt
, (0,1)t 则
2
'
2 2
4 1 ( 1)( ) ( 1) ( 1)
th t t t t t
,又 (0,1)t , ' ( ) 0h t , ( ) (1) 0h t h ,即
1
2 1
1 2
2
2( 1)
ln 0
1
x
x x
x x
x
,又
1 2
1 0x x
, 0( ) 0f x 。
【思路点睛】本题在导数的综合应用中属于难题,题目中的两个小问都有需要注意之处,如(1)中,在
对 0 1a 进行研究时,一定要注意到 f x 的取值范围,才能确定零点的个数,否则不能确定.(2)
中,代数运算比较复杂,特别是计算过程中,令 1
2
( )01x tx
, 的化简和换元,使得原本比较复杂的式子
变得简单化而可解,这对学生的综合能力有比较高的要求.
37. 在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 上两点
,M N 的极坐标分别为 2 32,0 , ,3 2
.圆 C 的参数方程为
2 2
{
3 2
x cos
y sin
( 为参数).
(1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程;
(2)判断直线l 与圆C 的位置关系.
(1) ,M N 的平面直角坐标为 2 32,0 , 0, 3
,于是 P 的坐标为 31, 3
所以 OP 的平面直角坐标方程为: 3 3 03y x x y
(2)直线l 的方程为: 3 2 0x y ,圆C 的方程为: 222 3 4x y ,
C 到l 的距离 3 22d ,所以l 与C 相交.
38. 已知函数 .
(1)求不等式 的解集;
(2)若关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
(1)当 时,不等式 化为 ,解得 ,当 时,不等式 化为
,无解,当 时,不等式 化为 ,解得 ,综上,不等式的解集为
或
(2)由上述可知 的最小值为 9,因为不等式 恒成立,所以 ,所以 ,
故实数 的取值范围为
点睛:绝对值问题最常用的方法就是去绝对值得到分段函数,本题中得到分段函数后,再分段解不等式,
注意观察各自分段的范围即可;函数不等式恒成立问题,只需 即可,本题中通过前面的
讨论得到 ,解绝对值不等式即可。
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