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- 2021-06-16 发布
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2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工农医类)全解全析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.如果 2
3
23
n
x
x
的展开式中含有非零常数项,则正整数 n的最小值为( )
A.3 B.5 C.6 D.10
答案:选B
解析:由展开式通项有 2
1 3
23
r
n rr
r nT C x
x
2 53 2 rr n r n r
nC x
由题意得 52 5 0 0,1,2, , 1
2
n r n r r n ,故当 2r 时,正整数 n的最小值为 5,故选
B
点评:本题主要考察二项式定理的基本知识,以通项公式切入探索,由整数的运算性质易得所求。本题中
“ 非零常数项”为干扰条件。
易错点:将通项公式中
r
nC 误记为
1r
nC
,以及忽略 0,1,2, , 1r n 为整数的条件。
2.将
π2cos
3 6
xy
的图象按向量
π 2
4
,a 平移,则平移后所得图象的解析式为( )
A.
π2cos 2
3 4
xy
B.
π2cos 2
3 4
xy
C.
π2cos 2
3 12
xy
D.
π2cos 2
3 12
xy
答案:选A
解析:法一 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点 ' ' ',P x y , ,P x y ,则
π 2
4
,a ' ' ',P P x x y y
' ', 2
4
x x y y
,带入到已知解析式中可得选A
法二 由
π 2
4
,a 平移的意义可知,先向左平移
4
个单位,再向下平移 2 个单位。
点评:本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识,以平移公式切入,为简单题。
易错点:将向量与对应点的顺序搞反了,或死记硬背以为是先向右平移
4
个单位,再向下平移 2 个单位,
误选C
3.设 P和Q是两个集合,定义集合 |P Q x x P x Q ,且 ,如果 2| log 1P x x , | 2 1Q x x ,
那么 P Q 等于( )
A B
CD
A1 B1
C1D1
A. | 0 1x x B. | 0 1x x ≤
C. |1 2x x ≤ D. | 2 3x x ≤
答案:选B
解析:先解两个不等式得 0 2P x x , 1 3Q x x 。由 P Q 定义,故选B
点评:本题通过考察两类简单不等式的求解,进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用,体现
了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。
易错点:对新定义理解不全,忽略端点值而误选A,以及解 2| log 1P x x 时出错。
4.平面 外有两条直线m和 n,如果m和 n在平面 内的射影分别是m和 n,给出下列四个命题:
①m n m n ;
②m n m n ;
③m与 n相交 m与 n相交或重合;
④m与 n平行 m与 n平行或重合.
其中不正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:选D
解析:由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法,
可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体:
AC BD 但 1 1,AC BD 不垂直,故①错; 1 1A B AB 但在底面上的射影都是 AB
故②错; ,AC BD相交,但 1 ,AC BD异面,故③错; //AB CD但 1 1,A B C D异面,
故④错
点评:本题主要考察空间线面之间位置关系,以及射影的意义理解。关键是要理解同一条直线在不同平面
上的射影不同;线在面内,线面平行,线面相交的不同位置下,射影也不相同。要从不用的方向看
三垂线定理,充分发挥空间想象力。
易错点:空间想象力不够,容易误判③、④正确,而错选B或C
5.已知 p和q是两个不相等的正整数,且 2q≥ ,则
11 1
lim
11 1
p
qn
n
n
→
( )
A.0 B.1 C.
p
q
D.
1
1
p
q
答案:选 C
解析:法一 特殊值法,由题意取 1, 2p q ,
则
2
1 11 1
1lim lim lim1 2 1 2 211 1
p
qn n n
n pn n
n q
n nn
→ → →
,可见应选 C
法二
2 1 1 1
1 1 1 1
1 1
m
m x
x x x
x
2 11 1 1 1 1 1m mx x x x x
令
1x
n
,m分别取 p和 q,则原式化为
2 1
2 1
1 1 1 11 1 1 1 11 1
l im lim
1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
pp
q qn n
n n n nn
n n n n n
→ →
2 11 1 1lim 1 1, lim 1 1, , lim 1 1,
p
n n nn n n
所以原式=
1 1 1
1 1 1
p
q
(分子、分母 1 的个数分别为 p个、 q个)
点评:本题考察数列的极限和运算法则,可用特殊值探索结论,即同时考察学生思维的灵活性。当不能直
接运用极限运算法则时,首先化简变形,后用法则即可。本题也体现了等比数列求和公式的逆用。
易错点:取特值时忽略 p和 q是两个不相等...的正整数的条件,误选 B;或不知变形而无法求解,或者认为
是
0
0
型而误选 B,看错项数而错选 D
6.若数列{ }na 满足
2
1
2
n
n
a p
a
( p为正常数, n N ),则称{ }na 为“等方比数列”.
甲:数列{ }na 是等方比数列;乙:数列{ }na 是等比数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案:选 B
解析:由等比数列的定义数列,若乙:{ }na 是等比数列,公比为 q,即
2
21 1
2
1
n n
n n
a aq q
a a
则甲命题成
立;反之,若甲:数列{ }na 是等方比数列,即
2
21 1
2
1
n n
n n
a aq q
a a
即公比不一定为 q, 则命题乙不成立,故选 B
点评:本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。要是等比数列,则公比应唯一确定。
易错点:本题是易错题。由
2
1 1
2
n n
n n
a ap p
a a
,得到的是两个等比数列,而命题乙是指一个等比数
列,忽略等比数列的确定性,容易错选 C
x
y
M
F1 F2
D
L
O
7.双曲线
2 2
1 2 2: 1( 0 0)x yC a b
a b
, 的左准线为 l,左焦点和右焦点分别为 1F 和 2F ;抛物线 2C 的准
线为 l,焦点为 2 1F C; 与 2C 的一个交点为M ,则
1 2 1
1 2
F F MF
MF MF
等于 ( )A. 1
B.1 C.
1
2
D.
1
2
答案:选 A
解析:由题设可知点M 同时满足双曲线和抛物线的定义,
且在双曲线右支上,故 由定义可得
1 2
2
1
2M F M F a
M F M D
cM F M D
a
2
1 2
2 2,ac aMF MF
c a c a
故原式
2
2
2 12 2
ac
c c a cc a
ac a a a
c a c a
,选 A
点评:本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质,几何条件列方程组,消元后化归曲线的基本量的计算,
体现数形结合方法的重要性。
易错点:由于畏惧心理而胡乱选择,不能将几何条件有机联系转化,缺乏消元意识。
8.已知两个等差数列{ }na 和{ }nb 的前 n项和分别为 A n 和 nB ,
且
7 45
3
n
n
A n
B n
,则使得 n
n
a
b
为整数的正整数 n的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案:选 D
解析:由等差数列的前 n项和及等差中项,可得
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 1 2 1
2 2
1 1 2 1
2 2
n n
n
n
n n
a a n a aa
b b b n b b
2 1
2 1
7 2 1 4 5 1 4 3 8 7 1 9 1 27
2 1 3 2 2 1 1
n
n
nA n n
B n n n n
n N ,
故 1,2,3,5,11n 时, n
n
a
b
为整数。故选 D
点评:本题主要考察等差数列的性质,等差中项的综合应用,以及部分分式法,数的整除性
是传统问题的进一步深化,对教学研究有很好的启示作用。
易错点:不能将等差数列的项与前 n项和进行合理转化,胡乱选择。
9.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 ( )m n,a = 与向量 (1 1) ,b 的夹角为 ,则
0
, 的概率是( )
A.
5
12
B.
1
2
C.
7
12
D.
5
6
答案:选 C
解析:由向量夹角的定义,图形直观可得,当点 ,A m n 位于直线 y x 上及其下方时,满足 0
, ,
点 ,A m n 的 总 个 数 为 6 6 个 , 而 位 于 直 线 y x 上 及 其 下 方 的 点 ,A m n 有
1 1 1 1
2 3 4 56 1 21C C C C 个,故所求概率
21 7
36 12
,选 C
点评:本题综合考察向量夹角,等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法。
易错点:不能数形直观,确定点的位置,或忽略夹角范围中的
2
,而误选 A
10.已知直线 1x y
a b
( a b, 是非零常数)与圆
2 2 100x y 有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均
为整数,那么这样的直线共有( )
A.60 条 B.66 条 C.72 条 D.78 条
答案:选 A
解析:可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点,而圆
2 2 100x y 上的整数点共有 12 个,分别为 6, 8 , 6, 8 , 8, 6 ,
8, 6 , 10,0 , 0, 10 ,前 8 个点中,过任意一点的圆的切线满足,有 8 条;12 个点中过任意
两点,构成
2
12 66C 条直线,其中有 4 条直线垂直 x轴,有 4 条直线垂直 y轴,还有 6 条过原点(圆
上点的对称性),故满足题设的直线有 52 条。综上可知满足题设的直线共有52 8 60 条,选 A
点评:本题主要考察直线与圆的概念,以及组合的知识,既要数形结合,又要分类考虑,要结合圆上点的
对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题
易错点:不能准确理解题意,甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确,认识不到三类特殊直线不能用截
距式方程表示;对圆上的整数点探索不准确,或分类不明确,都会导致错误,胡乱选择。
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.
11.已知函数 2y x a 的反函数是 3y bx ,则 a ;b .
答案:
16,
2
a b
解析:由互反函数点之间的对称关系,取特殊点求解。在 3y bx 上取点 0,3 ,得点 3,0 在 2y x a
上,故得 6a ;又 2 6y x 上有点 0, 6 ,则点 6,0 在 3y bx
点评:本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用。直接求反函数也可,较为简单。
易错点:运算错误导致填写其他错误答案。
O 0.1
1
y(毫克)
t(小时)
x
y
o3
2
3
12.复数 iz a b a b R, , ,且 0b ,若
2 4z bz 是实数,则有序实数对 ( )a b, 可以是 .(写
出一个有序实数对即可)
答案: 2,1 或满足 2a b 的任意一对非零实数对
解析:由复数运算法则可知 2 2 2 24 4 2 4z bz a b ab ab b i ,由题意得
22 4 0 0 , 2 0, 0ab b b a b a b ,答案众多,如 2, 1 也可。
点评: 本题主要考察复数的基本概念和运算,有一般结论需要写出一个具体结果,属开放性问题。
易错点:复数运算出错导致结果写错,或审题马虎,只写出 2a b ,不合题意要求。
13.设变量 x y, 满足约束条件
3 0
0
2 3
x y
x y
x
≥ ,
≥ ,
≤ ≤ ,
则目标函数 2x y 的最小值为
答案:
3
2
解析:由约束条件得如图所示的三角形区域,
令 2 , 2x y z y x z ,显然当平行直线过点
3 3,
2 2
时, z取得最小值为
3
2
点评:本题主要考察线性规划的基本知识,考察学生的动手能力作图观察能力。
易错点:不能准确画出不等式组的平面区域,把上下位置搞错,以及把直线间的相对位置搞错,找错点的
位置而得到错误结果。
14.某篮运动员在三分线投球的命中率是
1
2
,他投球 10 次,恰好投进 3 个球的概率 .(用数值作答)
答案:
15
128
解析:由题意知所求概率
3 7
3
10
1 1 15
2 2 128
p C
点评:本题考察 n次独立重复试验中,某事件恰好发生 k次的概率,直接用公式解决。
易错点:把“恰好投进 3 个球”错误理解为某三次投进球,忽略“三次”的任意性。
15 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含
药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;
药物释放完毕后,
y与 t的函数关系式为
1
16
t a
y
( a为常数),如图所示.
据图中提供的信息,回答下列问题:
(I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t
(小时)之间的函数关系式为 ;
(II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,
学生方可进教室,那么, 药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.
答案:(I)
1
10
10 0 0.1
1 0.1
16
t
t t
y
t
(II)0.6
解析:(I)由题意和图示,当0 0.1t 时,可设 y kt ( k为待定系数),由于点 0,1,1 在直线上, 10k ;
同理,当 0.1t 时,可得
0.11 11 0.1 0
16 10
a
a a
(II)由题意可得
10.25
4
y ,即得
110
4
0 0.1
t
t
或
1
101 1
16 4
0.1
t
t
10
40
t 或
0.6t ,由题意至少需要经过0.6 小时后,学生才能回到教室.
点评:本题考察函数、不等式的实际应用,以及识图和理解能力。
易错点:只单纯解不等式,而忽略题意,在(II)中填写了其他错误答案。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
16.本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推
理和运算能力.
解:(Ⅰ)设 ABC△ 中角 A B C, , 的对边分别为 a b c, , ,
则由
1 sin 3
2
bc ,0 cos 6bc ≤ ≤ ,可得0 cot 1≤ ≤ ,
π π
4 2
,∴ .
(Ⅱ)
2 π( ) 2sin 3 cos 2
4
f
π1 cos 2 3 cos 2
2
(1 sin 2 ) 3 cos 2
πsin 2 3 cos 2 1 2sin 2 1
3
.
π π
4 2
,∵ ,
π π 2π2
3 6 3
, ,
π2 2sin 2 1 3
3
∴ ≤ ≤ .
即当
5π
12
时, max( ) 3f ;当
π
4
时, min( ) 2f .
17.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法,考查运
用概率统计知识解决实际问题的能力.
解:(Ⅰ)
分组 频数 频率
1.30 1.34, 4 0.04
1.34 1.38, 25 0.25
1.381.42, 30 0.30
1.42 1.46, 29 0.29
1.46 1.50, 10 0.10
1.50 1.54, 2 0.02
合计 100 1.00
(Ⅱ)纤度落在 1.381.50, 中的概率约为 0.30 0.29 0.10 0.69 ,纤度小于 1.40 的概率约为
10.04 0.25 0.30 0.44
2
.
(Ⅲ)总体数据的期望约为
1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088 .
18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识,考查空间想象能力和推理运算能力以及应
用向量知识解决数学问题的能力.
解法 1:(Ⅰ) AC BC a ∵ , ACB∴△ 是等腰三角形,又D是 AB的中点,
样本数据
频率/组距
1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54
CD AB∴ ,又VC 底面 ABC. VC AB∴ .于是 AB 平面VCD.
又 AB 平面VAB,∴平面VAB 平面VCD.
(Ⅱ) 过点C在平面VCD内作CH VD 于H ,则由(Ⅰ)知CD 平面VAB.
连接 BH ,于是 CBH 就是直线 BC与平面VAB所成的角.
在 CHDRt△ 中,
2 sin
2
CH a ;
设 CBH ,在 BHCRt△ 中, sinCH a ,
2 sin sin
2
∴ .
π0
2
∵ ,
0 sin 1 ∴ ,
20 sin
2
.
又
π0
2
≤ ≤ ,
π0
4
∴ .
即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为
π0
4
, .
解法 2:(Ⅰ)以CA CB CV, , 所在的直线分别为 x轴、 y轴、 z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则
2(0 0 0) ( 0 0) (0 0) 0 0 0 tan
2 2 2
a aC A a B a D V a
,,, ,,, , ,, ,, , ,, ,
于是,
2 tan
2 2 2
a aVD a
,, , 0
2 2
a aCD
,, , ( 0)AB a a
, , .
从而
2 21 1( 0) 0 0 0
2 2 2 2
a aAB CD a a a a
, , ,,· · ,即 AB CD .
同理
2 22 1 1( 0) tan 0 0
2 2 2 2 2
a aAB VD a a a a a
, , ,,· · ,
即 AB VD .又CD VD D , AB ∴ 平面VCD.
又 AB 平面VAB.∴平面VAB 平面VCD.
(Ⅱ)设直线 BC与平面VAB所成的角为 ,平面VAB的一个法向量为 ( )x y z , ,n ,
则由 0 0AB VD
,n n· · .
得
0
2 tan 0
2 2 2
ax ay
a ax y az
,
.
A
D
BC
H
V
A
D
B
C
V
x
y
z
可取 (11 2 cot ) ,,n ,又 (0 0)BC a
, , ,
于是
2
2sin sin
22 2cot
BC a
BC a
n
n
·
· ·
,
π0
2
∵ , 0 sin 1 ∴ ,
20 sin
2
.
又
π0
2
≤ ≤ ,
π0
4
∴ .
即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为
π0
4
, .
解法 3:(Ⅰ)以点D为原点,以DC DB, 所在的直线分别为 x轴、 y轴,建立如图所示的空间直角坐
标系,则
2 2 2(0 0 0) 0 0 0 0 0 0
2 2 2
D A a B a C a
,,, , , , , , , ,, ,
2 20 tan
2 2
V a a
,, ,于
是
2 20 tan
2 2
DV a a
,, ,
2 0 0
2
DC a
,, , (0 2 0)AB a
, , .
从而 (0 2 0)AB DC a
, ,·
2 0 0 0
2
a
,,· ,即 AB DC .
同理
2 2(0 2 0) 0 tan 0
2 2
AB DV a a a
, , ,,· ,即 AB DV .
又DC DV D , AB ∴ 平面VCD.
又 AB 平面VAB,
∴平面VAB 平面VCD.
(Ⅱ)设直线 BC与平面VAB所成的角为 ,平面VAB的一个法向量为 ( )x y z , ,n ,
则由 0 0AB DV
,· ·n n ,得
2 0
2 2 tan 0
2 2
ay
ax az
,
.
可取 (tan 0 1) ,,n ,又
2 2 0
2 2
BC a a
, , ,
于是
2 tan 22sin sin
21 tan
aBC
aBC
n
n
·
··
,
A
D
B
C
V
x
y
π0
2
∵ , 0 sin 1 ∴ ,
20 sin
2
.
又
π0
2
≤ ≤ ,
π0
4
∴ ,
即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为
π0
4
, .
解法 4:以CA CB CV, , 所在直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
(0 0 0) ( 0 0) (0 0) 0
2 2
a aC A a B a D
,,, ,,, , ,, ,, .
设 (0 0 )( 0)V t t ,, .
(Ⅰ) (0 0 ) 0 ( 0)
2 2
a aCV t CD AB a a
,, , ,, , , , ,
( 0) (0 0 ) 0 0 0 0AB CV a a t
, , ,,· · ,
即 AB CV .
2 2
( 0) 0 0 0
2 2 2 2
a a a aAB CD a a
, , ,,· · ,
即 AB CD .
又CV CD C , AB ∴ 平面VCD.
又 AB 平面VAB,
∴平面VAB 平面VCD.
(Ⅱ)设直线 BC与平面VAB所成的角为 ,
设 ( )x y z , ,n 是平面VAB的一个非零法向量,
则
( ) ( 0) 0
( ) ( 0 ) 0
AB x y z a a ax ay
AV x y z a t ax tz
, , , , ,
, , ,, ,
n
n
· ·
· ·
取 z a ,得 x y t .
可取 ( )t t a ,,n ,又 (0 0)CB a
, , ,
于是
2 2 2 2 2
1sin
2
2
taCB t
CB a t t a t a a
t
·
· ·
n
n
,
(0 )t ,∵ ∞ , sin 关于 t递增.
A
D
B
C
V
x
y
z
10 sin
2
∴ ,
π0
4
,∴ .
即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为
π0
4
, .
19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算
的能力和解决问题的能力.
解法 1:(Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 (0 )N p, ,可设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y, , , ,
直线 AB的方程为 y kx p ,与
2 2x py 联立得
2 2x py
y kx p
,
.
消去 y得 2 22 2 0x pkx p .
由韦达定理得 1 2 2x x pk ,
2
1 2 2x x p .
于是 1 2
1 2
2ABN BCN ACNS S S p x x △ △ △ · .
2
1 2 1 2 1 2( ) 4p x x p x x x x
2 2 2 2 24 8 2 2p p k p p k ,
∴当 0k 时,
2
min( ) 2 2ABNS p△ .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l存在,其方程为 y a ,
AC的中点为O, l与 AC为直径的圆相交于点 P,Q PQ, 的中点为H ,
则OH PQ ,Q点的坐标为 1 1
2 2
x y p
, .
2 2 2 2
1 1 1
1 1 1( )
2 2 2
O P AC x y p y p ∵ ,
1
1
1 2
2 2
y pO H a a y p ,
2 2 2PH O P O H ∴ 2 2 2
1 1
1 1( ) (2 )
4 4
y p a y p
1 ( )
2
pa y a p a
,
2 2(2 )PQ PH∴ 14 ( )
2
pa y a p a
.
N
O
A
C
B
y
x
N
O
A
C
B
y
x
O
l
令 0
2
pa ,得
2
pa ,此时 PQ p 为定值,故满足条件的直线 l存在,其方程为
2
py ,
即抛物线的通径所在的直线.
解法 2:(Ⅰ)前同解法 1,再由弦长公式得
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4 1 4 8AB k x x k x x x x k p k p · ·
2 22 1 2p k k · ,
又由点到直线的距离公式得
2
2
1
pd
k
.
从而
2 2 2 2
2
1 1 22 1 2 2 2
2 2 1
ABN
pS d AB p k k p k
k
△ ·· · · · ,
∴当 0k 时,
2
min( ) 2 2ABNS p△ .
( Ⅱ ) 假 设 满 足 条 件 的 直 线 l 存 在 , 其 方 程 为 y a , 则 以 AC 为 直 径 的 圆 的 方 程 为
1 1( 0)( ) ( )( ) 0x x x y p y y ,
将直线方程 y a 代入得
2
1 1( )( ) 0x x x a p a y ,
则
2
1 1 14( )( ) 4 ( )
2
px a p a y a y a p a
△ .
设直线 l与以 AC为直径的圆的交点为 3 3 4 4( ) ( )P x y Q x y, , , ,
则有 3 4 1 14 ( ) 2 ( )
2 2
p pPQ x x a y a p a a y a p a
.
令 0
2
pa ,得
2
pa ,此时 PQ p 为定值,故满足条件的直线 l存在,其方程为
2
py ,
即抛物线的通径所在的直线.
20.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
解:(Ⅰ)设 ( )y f x 与 ( )( 0)y g x x 在公共点 0 0( )x y, 处的切线相同.
( ) 2f x x a ∵ ,
23( ) ag x
x
,由题意 0 0( ) ( )f x g x , 0 0( ) ( )f x g x .
即
2 2
0 0 0
2
0
0
1 2 3 ln
2
32
x ax a x b
ax a
x
,
,
由
2
0
0
32 ax a
x
得: 0x a ,或 0 3x a (舍去).
即有
2 2 2 2 21 52 3 ln 3 ln
2 2
b a a a a a a a .
令
2 25( ) 3 ln ( 0)
2
h t t t t t ,则 ( ) 2 (1 3ln )h t t t .于是
当 (1 3ln ) 0t t ,即
1
30 t e 时, ( ) 0h t ;
当 (1 3ln ) 0t t ,即
1
3t e 时, ( ) 0h t .
故 ( )h t 在
1
30 e
, 为增函数,在
1
3e
,∞ 为减函数,
于是 ( )h t 在 (0 ),∞ 的最大值为
1 2
3 33
2
h e e
.
(Ⅱ)设
2 21( ) ( ) ( ) 2 3 ln ( 0)
2
F x f x g x x ax a x b x ,
则 ( )F x
23 ( )( 3 )2 ( 0)a x a x ax a x
x x
.
故 ( )F x 在 (0 )a, 为减函数,在 ( )a ,∞ 为增函数,
于是函数 ( )F x 在 (0 ),∞ 上的最小值是 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0F a F x f x g x .
故当 0x 时,有 ( ) ( ) 0f x g x ≥ ,即当 0x 时, ( ) ( )f x g x≥ .
21.本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题能力和
推理能力.
解法 1:(Ⅰ)证:用数学归纳法证明:
(ⅰ)当 1m 时,原不等式成立;当 2m 时,左边
21 2x x ,右边 1 2x ,
因为
2 0x ≥ ,所以左边≥右边,原不等式成立;
(ⅱ)假设当m k 时,不等式成立,即 (1 ) 1kx kx ≥ ,则当 1m k 时,
1x ∵ , 1 0x ∴ ,于是在不等式 (1 ) 1kx kx ≥ 两边同乘以1 x 得
2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x k x kx k x · ≥ ≥ ,
所以
1(1 ) 1 ( 1)kx k x ≥ .即当 1m k 时,不等式也成立.
综合(ⅰ)(ⅱ)知,对一切正整数m,不等式都成立.
(Ⅱ)证:当 6n m n,≥ ≤ 时,由(Ⅰ)得
11 1 0
3 3
m m
n n
≥ ,
于是
11 1
3 3
n nmm
n n
≤
1 11
3 2
mn m
n
, 1 2m n ,, , .
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,当 6n≥ 时,
2
1 2 1 1 1 11 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2 2
n n n n
n
n
n n n
,
2 1 3 1
3 3 3
n n nn n
n n n
∴ .
即3 4 ( 2) ( 3)n n n nn n .即当 6n≥ 时,不存在满足该等式的正整数 n.
故只需要讨论 1 2 3 4 5n ,,,,的情形:
当 1n 时,3 4 ,等式不成立;
当 2n 时,
2 2 23 4 5 ,等式成立;
当 3n 时,
3 3 3 33 4 5 6 ,等式成立;
当 4n 时,
4 4 4 43 4 5 6 为偶数,而
47 为奇数,故
4 4 4 4 43 4 5 6 7 ,等式不成立;
当 5n 时,同 4n 的情形可分析出,等式不成立.
综上,所求的 n只有 2 3n ,.
解法 2:(Ⅰ)证:当 0x 或 1m 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:
当 1x ,且 0x 时, 2m≥ , (1 ) 1mx mx . ①
(ⅰ)当 2m 时,左边
21 2x x ,右边 1 2x ,因为 0x ,所以
2 0x ,即左边右边,不等式
①成立;
(ⅱ)假设当 ( 2)m k k ≥ 时,不等式①成立,即 (1 ) 1kx kx ,则当 1m k 时,
因为 1x ,所以1 0x .又因为 0 2x k , ≥ ,所以
2 0kx .
于是在不等式 (1 ) 1kx kx 两边同乘以1 x 得
2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x k x kx k x · ,
所以
1(1 ) 1 ( 1)kx k x .即当 1m k 时,不等式①也成立.
综上所述,所证不等式成立.
(Ⅱ)证:当 6n≥ ,m n≤ 时,
1 11
3 2
n
n
∵ ,
1 11
3 2
nm m
n
∴ ,
而由(Ⅰ),
11 1 0
3 3
m m
n n
≥ ,
1 11 1
3 3 2
nn m mm
n n
∴ ≤ .
(Ⅲ)解:假设存在正整数 0 6n ≥ 使等式 0 0 0 0
0 03 4 ( 2) ( 3)n n n nn n 成立,
即有
0 0 0
0
0 0 0
23 4 1
3 3 3
n n n
n
n n n
. ②
又由(Ⅱ)可得
0 0 0
0
0 0 0
23 4
3 3 3
n n n
n
n n n
0 0 0
0 0
0 0 0
1 11 1 1
3 3 3
n n n
n n
n n n
0 0
0
11 1 1 11 1
2 2 2 2
n n
n
,与②式矛盾.
故当 6n≥ 时,不存在满足该等式的正整数 n.
下同解法 1.
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