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  • 2021-06-16 发布

高考卷 普通高等学校招生考试湖北理 数学(理工农医类)全解全析

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2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类)全解全析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.如果 2 3 23 n x x      的展开式中含有非零常数项,则正整数 n的最小值为( ) A.3 B.5 C.6 D.10 答案:选B 解析:由展开式通项有  2 1 3 23 r n rr r nT C x x           2 53 2 rr n r n r nC x      由题意得  52 5 0 0,1,2, , 1 2 n r n r r n      ,故当 2r  时,正整数 n的最小值为 5,故选 B 点评:本题主要考察二项式定理的基本知识,以通项公式切入探索,由整数的运算性质易得所求。本题中 “ 非零常数项”为干扰条件。 易错点:将通项公式中 r nC 误记为 1r nC  ,以及忽略 0,1,2, , 1r n  为整数的条件。 2.将 π2cos 3 6 xy       的图象按向量 π 2 4        ,a 平移,则平移后所得图象的解析式为( ) A. π2cos 2 3 4 xy        B. π2cos 2 3 4 xy        C. π2cos 2 3 12 xy        D. π2cos 2 3 12 xy        答案:选A 解析:法一 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点  ' ' ',P x y ,  ,P x y ,则 π 2 4        ,a  ' ' ',P P x x y y     ' ', 2 4 x x y y      ,带入到已知解析式中可得选A 法二 由 π 2 4        ,a 平移的意义可知,先向左平移 4  个单位,再向下平移 2 个单位。 点评:本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识,以平移公式切入,为简单题。 易错点:将向量与对应点的顺序搞反了,或死记硬背以为是先向右平移 4  个单位,再向下平移 2 个单位, 误选C 3.设 P和Q是两个集合,定义集合  |P Q x x P x Q   ,且 ,如果  2| log 1P x x  ,  | 2 1Q x x   , 那么 P Q 等于( ) A B CD A1 B1 C1D1 A. | 0 1x x  B. | 0 1x x ≤ C. |1 2x x ≤ D. | 2 3x x ≤ 答案:选B 解析:先解两个不等式得  0 2P x x   ,  1 3Q x x   。由 P Q 定义,故选B 点评:本题通过考察两类简单不等式的求解,进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用,体现 了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。 易错点:对新定义理解不全,忽略端点值而误选A,以及解  2| log 1P x x  时出错。 4.平面 外有两条直线m和 n,如果m和 n在平面 内的射影分别是m和 n,给出下列四个命题: ①m n m n    ; ②m n m n    ; ③m与 n相交 m与 n相交或重合; ④m与 n平行 m与 n平行或重合. 其中不正确的命题个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:选D 解析:由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法, 可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体: AC BD 但 1 1,AC BD 不垂直,故①错; 1 1A B AB 但在底面上的射影都是 AB 故②错; ,AC BD相交,但 1 ,AC BD异面,故③错; //AB CD但 1 1,A B C D异面, 故④错 点评:本题主要考察空间线面之间位置关系,以及射影的意义理解。关键是要理解同一条直线在不同平面 上的射影不同;线在面内,线面平行,线面相交的不同位置下,射影也不相同。要从不用的方向看 三垂线定理,充分发挥空间想象力。 易错点:空间想象力不够,容易误判③、④正确,而错选B或C 5.已知 p和q是两个不相等的正整数,且 2q≥ ,则 11 1 lim 11 1 p qn n n               → ( ) A.0 B.1 C. p q D. 1 1 p q   答案:选 C 解析:法一 特殊值法,由题意取 1, 2p q  , 则 2 1 11 1 1lim lim lim1 2 1 2 211 1 p qn n n n pn n n q n nn                     → → → ,可见应选 C 法二           2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m m x x x x x                       2 11 1 1 1 1 1m mx x x x x             令 1x n  ,m分别取 p和 q,则原式化为 2 1 2 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 l im lim 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 pp q qn n n n n nn n n n n n                                                                       → → 2 11 1 1lim 1 1, lim 1 1, , lim 1 1, p n n nn n n                             所以原式= 1 1 1 1 1 1 p q          (分子、分母 1 的个数分别为 p个、 q个) 点评:本题考察数列的极限和运算法则,可用特殊值探索结论,即同时考察学生思维的灵活性。当不能直 接运用极限运算法则时,首先化简变形,后用法则即可。本题也体现了等比数列求和公式的逆用。 易错点:取特值时忽略 p和 q是两个不相等...的正整数的条件,误选 B;或不知变形而无法求解,或者认为 是 0 0 型而误选 B,看错项数而错选 D 6.若数列{ }na 满足 2 1 2 n n a p a   ( p为正常数, n N ),则称{ }na 为“等方比数列”. 甲:数列{ }na 是等方比数列;乙:数列{ }na 是等比数列,则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案:选 B 解析:由等比数列的定义数列,若乙:{ }na 是等比数列,公比为 q,即 2 21 1 2 1 n n n n a aq q a a       则甲命题成 立;反之,若甲:数列{ }na 是等方比数列,即 2 21 1 2 1 n n n n a aq q a a        即公比不一定为 q, 则命题乙不成立,故选 B 点评:本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。要是等比数列,则公比应唯一确定。 易错点:本题是易错题。由 2 1 1 2 n n n n a ap p a a      ,得到的是两个等比数列,而命题乙是指一个等比数 列,忽略等比数列的确定性,容易错选 C x y M F1 F2 D L O 7.双曲线 2 2 1 2 2: 1( 0 0)x yC a b a b    , 的左准线为 l,左焦点和右焦点分别为 1F 和 2F ;抛物线 2C 的准 线为 l,焦点为 2 1F C; 与 2C 的一个交点为M ,则 1 2 1 1 2 F F MF MF MF  等于 ( )A. 1 B.1 C. 1 2  D. 1 2 答案:选 A 解析:由题设可知点M 同时满足双曲线和抛物线的定义, 且在双曲线右支上,故 由定义可得 1 2 2 1 2M F M F a M F M D cM F M D a           2 1 2 2 2,ac aMF MF c a c a      故原式 2 2 2 12 2 ac c c a cc a ac a a a c a c a         ,选 A 点评:本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质,几何条件列方程组,消元后化归曲线的基本量的计算, 体现数形结合方法的重要性。 易错点:由于畏惧心理而胡乱选择,不能将几何条件有机联系转化,缺乏消元意识。 8.已知两个等差数列{ }na 和{ }nb 的前 n项和分别为 A n 和 nB , 且 7 45 3 n n A n B n    ,则使得 n n a b 为整数的正整数 n的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:选 D 解析:由等差数列的前 n项和及等差中项,可得             1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 n n n n n n a a n a aa b b b n b b                 2 1 2 1 7 2 1 4 5 1 4 3 8 7 1 9 1 27 2 1 3 2 2 1 1 n n nA n n B n n n n                   n N  , 故 1,2,3,5,11n  时, n n a b 为整数。故选 D 点评:本题主要考察等差数列的性质,等差中项的综合应用,以及部分分式法,数的整除性 是传统问题的进一步深化,对教学研究有很好的启示作用。 易错点:不能将等差数列的项与前 n项和进行合理转化,胡乱选择。 9.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 ( )m n,a = 与向量 (1 1) ,b 的夹角为 ,则 0     , 的概率是( ) A. 5 12 B. 1 2 C. 7 12 D. 5 6 答案:选 C 解析:由向量夹角的定义,图形直观可得,当点  ,A m n 位于直线 y x 上及其下方时,满足 0     , , 点  ,A m n 的 总 个 数 为 6 6 个 , 而 位 于 直 线 y x 上 及 其 下 方 的 点  ,A m n 有 1 1 1 1 2 3 4 56 1 21C C C C      个,故所求概率 21 7 36 12   ,选 C 点评:本题综合考察向量夹角,等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法。 易错点:不能数形直观,确定点的位置,或忽略夹角范围中的 2  ,而误选 A 10.已知直线 1x y a b   ( a b, 是非零常数)与圆 2 2 100x y  有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均 为整数,那么这样的直线共有( ) A.60 条 B.66 条 C.72 条 D.78 条 答案:选 A 解析:可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点,而圆 2 2 100x y  上的整数点共有 12 个,分别为      6, 8 , 6, 8 , 8, 6    ,      8, 6 , 10,0 , 0, 10    ,前 8 个点中,过任意一点的圆的切线满足,有 8 条;12 个点中过任意 两点,构成 2 12 66C  条直线,其中有 4 条直线垂直 x轴,有 4 条直线垂直 y轴,还有 6 条过原点(圆 上点的对称性),故满足题设的直线有 52 条。综上可知满足题设的直线共有52 8 60  条,选 A 点评:本题主要考察直线与圆的概念,以及组合的知识,既要数形结合,又要分类考虑,要结合圆上点的 对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题 易错点:不能准确理解题意,甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确,认识不到三类特殊直线不能用截 距式方程表示;对圆上的整数点探索不准确,或分类不明确,都会导致错误,胡乱选择。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.已知函数 2y x a  的反函数是 3y bx  ,则 a  ;b  . 答案: 16, 2 a b  解析:由互反函数点之间的对称关系,取特殊点求解。在 3y bx  上取点  0,3 ,得点  3,0 在 2y x a  上,故得 6a  ;又 2 6y x  上有点  0, 6 ,则点  6,0 在 3y bx  点评:本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用。直接求反函数也可,较为简单。 易错点:运算错误导致填写其他错误答案。 O 0.1 1 y(毫克) t(小时) x y o3 2  3 12.复数 iz a b a b  R, , ,且 0b  ,若 2 4z bz 是实数,则有序实数对 ( )a b, 可以是 .(写 出一个有序实数对即可) 答案:  2,1 或满足 2a b 的任意一对非零实数对 解析:由复数运算法则可知  2 2 2 24 4 2 4z bz a b ab ab b i      ,由题意得    22 4 0 0 , 2 0, 0ab b b a b a b       ,答案众多,如  2, 1  也可。 点评: 本题主要考察复数的基本概念和运算,有一般结论需要写出一个具体结果,属开放性问题。 易错点:复数运算出错导致结果写错,或审题马虎,只写出 2a b ,不合题意要求。 13.设变量 x y, 满足约束条件 3 0 0 2 3 x y x y x      ≥ , ≥ , ≤ ≤ , 则目标函数 2x y 的最小值为 答案: 3 2  解析:由约束条件得如图所示的三角形区域, 令 2 , 2x y z y x z     ,显然当平行直线过点 3 3, 2 2      时, z取得最小值为 3 2  点评:本题主要考察线性规划的基本知识,考察学生的动手能力作图观察能力。 易错点:不能准确画出不等式组的平面区域,把上下位置搞错,以及把直线间的相对位置搞错,找错点的 位置而得到错误结果。 14.某篮运动员在三分线投球的命中率是 1 2 ,他投球 10 次,恰好投进 3 个球的概率 .(用数值作答) 答案: 15 128 解析:由题意知所求概率 3 7 3 10 1 1 15 2 2 128 p C             点评:本题考察 n次独立重复试验中,某事件恰好发生 k次的概率,直接用公式解决。 易错点:把“恰好投进 3 个球”错误理解为某三次投进球,忽略“三次”的任意性。 15 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含 药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比; 药物释放完毕后, y与 t的函数关系式为 1 16 t a y        ( a为常数),如图所示. 据图中提供的信息,回答下列问题: (I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t (小时)之间的函数关系式为 ; (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时, 学生方可进教室,那么, 药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室. 答案:(I)     1 10 10 0 0.1 1 0.1 16 t t t y t          (II)0.6 解析:(I)由题意和图示,当0 0.1t  时,可设 y kt ( k为待定系数),由于点  0,1,1 在直线上, 10k  ; 同理,当 0.1t  时,可得 0.11 11 0.1 0 16 10 a a a            (II)由题意可得 10.25 4 y   ,即得 110 4 0 0.1 t t       或 1 101 1 16 4 0.1 t t         10 40 t   或 0.6t  ,由题意至少需要经过0.6 小时后,学生才能回到教室. 点评:本题考察函数、不等式的实际应用,以及识图和理解能力。 易错点:只单纯解不等式,而忽略题意,在(II)中填写了其他错误答案。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推 理和运算能力. 解:(Ⅰ)设 ABC△ 中角 A B C, , 的对边分别为 a b c, , , 则由 1 sin 3 2 bc   ,0 cos 6bc ≤ ≤ ,可得0 cot 1≤ ≤ , π π 4 2       ,∴ . (Ⅱ) 2 π( ) 2sin 3 cos 2 4 f          π1 cos 2 3 cos 2 2            (1 sin 2 ) 3 cos 2    πsin 2 3 cos 2 1 2sin 2 1 3             . π π 4 2       ,∵ , π π 2π2 3 6 3        , , π2 2sin 2 1 3 3       ∴ ≤ ≤ . 即当 5π 12   时, max( ) 3f   ;当 π 4   时, min( ) 2f   . 17.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法,考查运 用概率统计知识解决实际问题的能力. 解:(Ⅰ) 分组 频数 频率  1.30 1.34, 4 0.04  1.34 1.38, 25 0.25  1.381.42, 30 0.30  1.42 1.46, 29 0.29  1.46 1.50, 10 0.10  1.50 1.54, 2 0.02 合计 100 1.00 (Ⅱ)纤度落在  1.381.50, 中的概率约为 0.30 0.29 0.10 0.69   ,纤度小于 1.40 的概率约为 10.04 0.25 0.30 0.44 2     . (Ⅲ)总体数据的期望约为 1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088            . 18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识,考查空间想象能力和推理运算能力以及应 用向量知识解决数学问题的能力. 解法 1:(Ⅰ) AC BC a ∵ , ACB∴△ 是等腰三角形,又D是 AB的中点, 样本数据 频率/组距 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 CD AB∴ ,又VC 底面 ABC. VC AB∴ .于是 AB 平面VCD. 又 AB 平面VAB,∴平面VAB 平面VCD. (Ⅱ) 过点C在平面VCD内作CH VD 于H ,则由(Ⅰ)知CD 平面VAB. 连接 BH ,于是 CBH 就是直线 BC与平面VAB所成的角. 在 CHDRt△ 中, 2 sin 2 CH a  ; 设 CBH   ,在 BHCRt△ 中, sinCH a  , 2 sin sin 2  ∴ . π0 2  ∵ , 0 sin 1 ∴ , 20 sin 2   . 又 π0 2 ≤ ≤ , π0 4  ∴ . 即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为 π0 4       , . 解法 2:(Ⅰ)以CA CB CV, , 所在的直线分别为 x轴、 y轴、 z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 2(0 0 0) ( 0 0) (0 0) 0 0 0 tan 2 2 2 a aC A a B a D V a             ,,, ,,, , ,, ,, , ,, , 于是, 2 tan 2 2 2 a aVD a           ,, , 0 2 2 a aCD        ,, , ( 0)AB a a   , , . 从而 2 21 1( 0) 0 0 0 2 2 2 2 a aAB CD a a a a             , , ,,· · ,即 AB CD . 同理 2 22 1 1( 0) tan 0 0 2 2 2 2 2 a aAB VD a a a a a                 , , ,,· · , 即 AB VD .又CD VD D , AB ∴ 平面VCD. 又 AB 平面VAB.∴平面VAB 平面VCD. (Ⅱ)设直线 BC与平面VAB所成的角为 ,平面VAB的一个法向量为 ( )x y z , ,n , 则由 0 0AB VD    ,n n· · . 得 0 2 tan 0 2 2 2 ax ay a ax y az          , . A D BC H V A D B C V x y z 可取 (11 2 cot ) ,,n ,又 (0 0)BC a   , , , 于是 2 2sin sin 22 2cot BC a BC a         n n · · · , π0 2  ∵ , 0 sin 1 ∴ , 20 sin 2   . 又 π0 2 ≤ ≤ , π0 4  ∴ . 即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为 π0 4       , . 解法 3:(Ⅰ)以点D为原点,以DC DB, 所在的直线分别为 x轴、 y轴,建立如图所示的空间直角坐 标系,则 2 2 2(0 0 0) 0 0 0 0 0 0 2 2 2 D A a B a C a                         ,,, , , , , , , ,, , 2 20 tan 2 2 V a a         ,, ,于 是 2 20 tan 2 2 DV a a           ,, , 2 0 0 2 DC a          ,, , (0 2 0)AB a  , , . 从而 (0 2 0)AB DC a   , ,· 2 0 0 0 2 a         ,,· ,即 AB DC . 同理 2 2(0 2 0) 0 tan 0 2 2 AB DV a a a             , , ,,· ,即 AB DV . 又DC DV D , AB ∴ 平面VCD. 又 AB 平面VAB, ∴平面VAB 平面VCD. (Ⅱ)设直线 BC与平面VAB所成的角为 ,平面VAB的一个法向量为 ( )x y z , ,n , 则由 0 0AB DV    ,· ·n n ,得 2 0 2 2 tan 0 2 2 ay ax az          , . 可取 (tan 0 1) ,,n ,又 2 2 0 2 2 BC a a           , , , 于是 2 tan 22sin sin 21 tan aBC aBC          n n · ·· , A D B C V x y π0 2  ∵ , 0 sin 1 ∴ , 20 sin 2   . 又 π0 2 ≤ ≤ , π0 4  ∴ , 即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为 π0 4       , . 解法 4:以CA CB CV, , 所在直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 (0 0 0) ( 0 0) (0 0) 0 2 2 a aC A a B a D       ,,, ,,, , ,, ,, . 设 (0 0 )( 0)V t t ,, . (Ⅰ) (0 0 ) 0 ( 0) 2 2 a aCV t CD AB a a           ,, , ,, , , , , ( 0) (0 0 ) 0 0 0 0AB CV a a t        , , ,,· · , 即 AB CV . 2 2 ( 0) 0 0 0 2 2 2 2 a a a aAB CD a a              , , ,,· · , 即 AB CD . 又CV CD C , AB ∴ 平面VCD. 又 AB 平面VAB, ∴平面VAB 平面VCD. (Ⅱ)设直线 BC与平面VAB所成的角为 , 设 ( )x y z , ,n 是平面VAB的一个非零法向量, 则 ( ) ( 0) 0 ( ) ( 0 ) 0 AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz                 , , , , , , , ,, , n n · · · · 取 z a ,得 x y t  . 可取 ( )t t a ,,n ,又 (0 0)CB a  , , , 于是 2 2 2 2 2 1sin 2 2 taCB t CB a t t a t a a t                · · · n n , (0 )t ,∵ ∞ , sin 关于 t递增. A D B C V x y z 10 sin 2  ∴ , π0 4       ,∴ . 即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为 π0 4       , . 19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算 的能力和解决问题的能力. 解法 1:(Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 (0 )N p, ,可设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y, , , , 直线 AB的方程为 y kx p  ,与 2 2x py 联立得 2 2x py y kx p      , . 消去 y得 2 22 2 0x pkx p   . 由韦达定理得 1 2 2x x pk  , 2 1 2 2x x p  . 于是 1 2 1 2 2ABN BCN ACNS S S p x x   △ △ △ · . 2 1 2 1 2 1 2( ) 4p x x p x x x x     2 2 2 2 24 8 2 2p p k p p k    , ∴当 0k  时, 2 min( ) 2 2ABNS p△ . (Ⅱ)假设满足条件的直线 l存在,其方程为 y a , AC的中点为O, l与 AC为直径的圆相交于点 P,Q PQ, 的中点为H , 则OH PQ  ,Q点的坐标为 1 1 2 2 x y p      , . 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( ) 2 2 2 O P AC x y p y p      ∵ , 1 1 1 2 2 2 y pO H a a y p      , 2 2 2PH O P O H  ∴ 2 2 2 1 1 1 1( ) (2 ) 4 4 y p a y p     1 ( ) 2 pa y a p a        , 2 2(2 )PQ PH∴ 14 ( ) 2 pa y a p a          . N O A C B y x N O A C B y x O l 令 0 2 pa   ,得 2 pa  ,此时 PQ p 为定值,故满足条件的直线 l存在,其方程为 2 py  , 即抛物线的通径所在的直线. 解法 2:(Ⅰ)前同解法 1,再由弦长公式得 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4 1 4 8AB k x x k x x x x k p k p         · · 2 22 1 2p k k  · , 又由点到直线的距离公式得 2 2 1 pd k   . 从而 2 2 2 2 2 1 1 22 1 2 2 2 2 2 1 ABN pS d AB p k k p k k        △ ·· · · · , ∴当 0k  时, 2 min( ) 2 2ABNS p△ . ( Ⅱ ) 假 设 满 足 条 件 的 直 线 l 存 在 , 其 方 程 为 y a , 则 以 AC 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 1 1( 0)( ) ( )( ) 0x x x y p y y      , 将直线方程 y a 代入得 2 1 1( )( ) 0x x x a p a y     , 则 2 1 1 14( )( ) 4 ( ) 2 px a p a y a y a p a              △ . 设直线 l与以 AC为直径的圆的交点为 3 3 4 4( ) ( )P x y Q x y, , , , 则有 3 4 1 14 ( ) 2 ( ) 2 2 p pPQ x x a y a p a a y a p a                      . 令 0 2 pa   ,得 2 pa  ,此时 PQ p 为定值,故满足条件的直线 l存在,其方程为 2 py  , 即抛物线的通径所在的直线. 20.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解:(Ⅰ)设 ( )y f x 与 ( )( 0)y g x x  在公共点 0 0( )x y, 处的切线相同. ( ) 2f x x a  ∵ , 23( ) ag x x   ,由题意 0 0( ) ( )f x g x , 0 0( ) ( )f x g x  . 即 2 2 0 0 0 2 0 0 1 2 3 ln 2 32 x ax a x b ax a x          , , 由 2 0 0 32 ax a x   得: 0x a ,或 0 3x a  (舍去). 即有 2 2 2 2 21 52 3 ln 3 ln 2 2 b a a a a a a a     . 令 2 25( ) 3 ln ( 0) 2 h t t t t t   ,则 ( ) 2 (1 3ln )h t t t   .于是 当 (1 3ln ) 0t t  ,即 1 30 t e  时, ( ) 0h t  ; 当 (1 3ln ) 0t t  ,即 1 3t e 时, ( ) 0h t  . 故 ( )h t 在 1 30 e       , 为增函数,在 1 3e       ,∞ 为减函数, 于是 ( )h t 在 (0 ),∞ 的最大值为 1 2 3 33 2 h e e       . (Ⅱ)设 2 21( ) ( ) ( ) 2 3 ln ( 0) 2 F x f x g x x ax a x b x       , 则 ( )F x 23 ( )( 3 )2 ( 0)a x a x ax a x x x        . 故 ( )F x 在 (0 )a, 为减函数,在 ( )a ,∞ 为增函数, 于是函数 ( )F x 在 (0 ),∞ 上的最小值是 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0F a F x f x g x    . 故当 0x  时,有 ( ) ( ) 0f x g x ≥ ,即当 0x  时, ( ) ( )f x g x≥ . 21.本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题能力和 推理能力. 解法 1:(Ⅰ)证:用数学归纳法证明: (ⅰ)当 1m  时,原不等式成立;当 2m  时,左边 21 2x x   ,右边 1 2x  , 因为 2 0x ≥ ,所以左边≥右边,原不等式成立; (ⅱ)假设当m k 时,不等式成立,即 (1 ) 1kx kx ≥ ,则当 1m k  时, 1x  ∵ , 1 0x ∴ ,于是在不等式 (1 ) 1kx kx ≥ 两边同乘以1 x 得 2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x k x kx k x         · ≥ ≥ , 所以 1(1 ) 1 ( 1)kx k x  ≥ .即当 1m k  时,不等式也成立. 综合(ⅰ)(ⅱ)知,对一切正整数m,不等式都成立. (Ⅱ)证:当 6n m n,≥ ≤ 时,由(Ⅰ)得 11 1 0 3 3 m m n n        ≥ , 于是 11 1 3 3 n nmm n n              ≤ 1 11 3 2 mn m n                , 1 2m n ,, , . (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,当 6n≥ 时, 2 1 2 1 1 1 11 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 n n n n n n n n n                                             , 2 1 3 1 3 3 3 n n nn n n n n                       ∴ . 即3 4 ( 2) ( 3)n n n nn n      .即当 6n≥ 时,不存在满足该等式的正整数 n. 故只需要讨论 1 2 3 4 5n  ,,,,的情形: 当 1n  时,3 4 ,等式不成立; 当 2n  时, 2 2 23 4 5  ,等式成立; 当 3n  时, 3 3 3 33 4 5 6   ,等式成立; 当 4n  时, 4 4 4 43 4 5 6   为偶数,而 47 为奇数,故 4 4 4 4 43 4 5 6 7    ,等式不成立; 当 5n  时,同 4n  的情形可分析出,等式不成立. 综上,所求的 n只有 2 3n  ,. 解法 2:(Ⅰ)证:当 0x  或 1m  时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明: 当 1x   ,且 0x  时, 2m≥ , (1 ) 1mx mx   . ① (ⅰ)当 2m  时,左边 21 2x x   ,右边 1 2x  ,因为 0x  ,所以 2 0x  ,即左边右边,不等式 ①成立; (ⅱ)假设当 ( 2)m k k ≥ 时,不等式①成立,即 (1 ) 1kx kx   ,则当 1m k  时, 因为 1x   ,所以1 0x  .又因为 0 2x k , ≥ ,所以 2 0kx  . 于是在不等式 (1 ) 1kx kx   两边同乘以1 x 得 2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x k x kx k x           · , 所以 1(1 ) 1 ( 1)kx k x    .即当 1m k  时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立. (Ⅱ)证:当 6n≥ ,m n≤ 时, 1 11 3 2 n n      ∵ , 1 11 3 2 nm m n                ∴ , 而由(Ⅰ), 11 1 0 3 3 m m n n        ≥ , 1 11 1 3 3 2 nn m mm n n                        ∴ ≤ . (Ⅲ)解:假设存在正整数 0 6n ≥ 使等式 0 0 0 0 0 03 4 ( 2) ( 3)n n n nn n      成立, 即有 0 0 0 0 0 0 0 23 4 1 3 3 3 n n n n n n n                        . ② 又由(Ⅱ)可得 0 0 0 0 0 0 0 23 4 3 3 3 n n n n n n n                       0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 1 3 3 3 n n n n n n n n                           0 0 0 11 1 1 11 1 2 2 2 2 n n n                    ,与②式矛盾. 故当 6n≥ 时,不存在满足该等式的正整数 n. 下同解法 1.