河北省保定市 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 理 14页

河北省保定市 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 理 考试时间 120 分钟、分值 150 分 一、选择题（共 22 小题，每题 4 分，共 88 分） 1．在平行六面体 ABCD A B C D    中，若 2 3AC xAB yBC zCC       ，则 x y z  等于（ ） A. 2 3 B. 5 6 C. 7 6 D.11 6 2．已知向量 (1,1,0)a  ， ( 1,0,2)b   ，且 ka b  与 2a b  互相垂直，则 k 的值是（ ） A. 1 B. 1 5 C. 3 5 D. 7 5 3．函数   2sinf x x 的导数是（ ） A. 2sin x B. 22sin x C. 2cos x D.sin 2x 4．已知函数 ( )f x 的导函数为 '( )f x ，且满足 ( ) 2 '(1) lnf x xf x  ，则 '(1)f  （ ） A. e B.1 C.-1 D. e 5．设 (3, 2, 1)a    是直线l 的方向向量， (1,2, 1)n   是平面 的法向量，则（ ） A. l  B. / /l  C. l  或l  D. / /l  或l  6．设正方体 的棱长为 2，则点 到平面 的距离是( ) A． B． C． D． 7．抛物线 2y x 在点 1 1,2 4M      的切线的倾斜角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．函数 3 21 3 93y x x x    的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D. 3 9．如图，空间四边形OABC 中，OA a  ，OB b  ，OC c  ，点 M 在线段OA 上，且 2OM MA ， 点 N 为 BC 的中点，则 MN  =（ ） A. 1 2 1 2 3 2a b c    B. 2 1 1 3 2 2a b c     C. 1 1 1 2 2 2a b c    D. 2 2 1 3 3 2a b c    10．直线 1l 的方向向量为 (1,2)a  ,直线 2l 的方向向量为 (1, 3)b   ,那么 1l 与 2l 所成的角是 （ ） A．30° B．45° C．150° D．160° 11．曲线 xy e 在点 2(2 )e， 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A、 29 4 e B、 22e C、 2e D、 2 2 e 12．已知函数 21( ) sin cos2f x x x x x  ，则其导函数 '( )f x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 13．已知函数    2ln 3 8 1f x x x   ，则     0 1 2 1limx f x f x      的值为（ ） A．10 B．-10 C．-20 D．20 14．如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F 且 EF＝ 2 2 ，则下列 结论中错误的是( )． A．AC⊥BE B．EF∥平面 ABCD C．三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D．异面直线 AE，BF 所成的角为定值 15．在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，D 是 AC 的中点，AB1⊥BC1，则平面 DBC1 与平面 CBC1 所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 16．已知函数 2( ) ln 8f x m x x x   在[1, ) 上单调递减，则实数 m 的取值范围为（ ） A. ( , 8]  B. ( , 8)  C. ( , 6]  D. ( , 6)  17．设函数 ( ) (sin cos )xf x e x x  (0 4 )x   ，则函数 ( )f x 的所有极大值之和为（ ） A. 4e  B. 2e e  C. 3e e  D. 3e e  18．在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 (2,0,0) (2,2,0), (0,2,0), (1,1, 2)A B C D .若 1 2 3, ,S S S 分别是 三棱锥 D ABC 在 , ,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A． 1 2 3S S S  B． 2 1S S 且 2 3S S C． 3 1S S 且 3 2S S D． 3 2S S 且 3 1S S 19 ． 已 知 函 数 ( ) lnaf x x xx   ， 3 2( ) 5g x x x   ， 若 对 任 意 的 1 2 1, [ ,2]2x x  ， 都 有 1 2( ) ( ) 2f x g x  成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. [1, ) B. (0, ) C. ( ,0) D. ( , 1]  20．如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PD  平面 ABCD ，且 1PD AD  ， 2AB  ，点 E 是 AB 上一点，当二面角 P EC D  为 4  时， AE  （ ） A. 1 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 3 21．定义在 R 上的函数  f x 满足    12 2f x f x  ，当  0,2x 时，   2 31 2 1 2 ,0 12 2 ,1 2 x x x f x x           ， 函数   3 23g x x x m   ，若    4, 2 , 4, 2s t        ，不等式     0f s g t  成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A． , 12  B． , 4  C． ,8 D． 31, 2     22．已知函数 ( )f x 的导数为 ( )f x , ( )f x 不是常数函数，且 ( 1) ( ) ( ) 0x f x xf x   ，对 [0, )x  恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. (1) 2 (2)f ef B. (1) (2)ef f C. (1) 0f  D. ( ) 2 (2)ef e f 二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 23．在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 2 by ax x   （ a ,b 为常数）过点 (2, 5)P  ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 2 3 0x y   平行，则 a b = . 24．若 19(0,2, )8A ， 5(1, 1, )8B  ， 5( 2,1, )8C  是平面 内的三点，设平面 的法向量 ( , , )a x y z ， 则 : :x y z  ． 25．已知 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，又 (2) 0f  ，若 0x  时， ( ) ( ) 0xf x f x   ，则不等式 ( ) 0xf x  的解集是__________． 26．设动点 P 在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的对角线 1BD 上，记 1 1 D P D B ＝  .当 APC 为 钝角时，  的取值范围是________． 三、解答题（共 4 小题，其中 27、28、29 每题 10 分，30 题 12 分，共 42 分） 27．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 12, 1, 1AB BC AA   C1 B1 A1 C A B D D1 （1）求直线 1 1AD B D与 所成角； （2）求直线 1 1 1AD B BDD与平面 所成角的正弦. 28．已知函数     3 21 1ln , 3 2f x x g x x x mx n     ，直线l 与函数    ,f x g x 的图像都相切于 点（1,0）． （1）求直线l 的方程及函数  g x 的解析式； （2）若      h x f x g x  （其中  g x 是  g x 的导函数），求函数  h x 的极大值． 29．如图，已知长方形 ABCD 中， 2 2AB  ， 2AD  ，M 为 DC 的中点.将 ADM 沿 AM 折起， 使得平面 ADM ⊥平面 ABCM . （1）求证： AD BM ； （2）若点 E 是线 段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 E AM D  的余弦值为 5 5 . 30．已知函数 2( ) ( 1) lnf x x a x   . （Ⅰ）讨论函数的单调性； （ Ⅱ ） 若 函 数 ( )f x 在 区 间 (0, ) 内 任 取 有 两 个 不 相 等 的 实 数 1x ， 2x ， 不 等 式 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 1f x f x x x     恒成立，求 a 的取值范围. 2016——2017 学年度第二学期 3 月月考 高二数学理科答案 1 ． D 由 空 间 向 量 基 本 定 理 得 AC AB BC CC       ， 所 以 1 11,2 1,3 1 ,2 3x y z y z      11 6x y z    2．D 依题意可得 ，由 可得 ，所以 ，解得 ，选 D. 3．D 由题意得，函数的导数为   2(sin ) 2sin (sin ) 2sin cos sin 2f x x x x x x x       . 4．C ∵函数 ( )f x 的导函数为  xf  ，且满足 ( ) 2 '(1) lnf x xf x  ， 0x ，∴     xfxf 112  ， 把 1x 代入  xf  可得     1121  ff ，解得   11 f . 5．D 因为 ，所以 ，即 或 .故选 D. 6．D 如图，建立空间直角坐标系，则 (0，0，2)， (2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)， ∴ ＝(2，0，0)， ＝(2，0，2)， ＝(2，2，0)，设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 令 x＝1，则 n＝(1，－1，－1)， ∴点 D1 到平面 A1BD 的距离 ．选 D． 7．B 0 1 2 1' 2 '| 2 1 452x y x y          ，故选 B. 8．C 因为 ，令 ，可知函数 在区间 和 上单调 递增，在区间 单调递减；所以 的极大值为 ，极小值为 ，所以由此可知函 数 的零点个数为 2 个，故选 C. 9．B 解：因为空间四边形 OABC 如图， ， ， ，点 M 在线段 OA 上，且 OM=2MA，N 为 BC 的中点，所以 = ．所以 = ．故选 B． 10．B 11．D 2 2 2 2 2 2 2' | ( 2) (1,0), (0, )x xy e y e y e e x y e x e A B e            2 21 12 2 eS e     . 12．C∵ ，∴ ， ∴ ， ∴其导函数 为偶函数，图象关于 轴对称，故排除 A，B， 当 时， ，故排除 D，故选：C． 13．C ∵   83 6  xxf ， ∴           20122 121lim2121lim 020     fx fxf x fxf xx . 14．D ∵AC⊥平面 BB1D1D，又 BE⊂平面 BB1D1D.∴AC⊥BE，故 A 正确．∵B1D1∥平面 ABCD，又 E，F 在 直线 D1B1 上运动，∴EF∥平面 ABCD，故 B 正确．C 中，由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变，故△BEF 的 面积为定值，又点 A 到平面 BEF 的距离为 2 2 ，故 VA-BEF 为定值．故 C 正确．建立空间直角坐标系， 如图所示，可得 A(1,1,0)，B(0,1,0)， ①当点 E 在 D1 处，点 F 为 D1B1 的中点时，E(1,0,1)，F （ 1 2 ， 1 2 ，1），∴ AE  ＝(0，－1,1)，BF  ＝ （ 1 2 ，－ 1 2 ，1），∴ AE  · BF  ＝ 3 2 .又| AE  |＝ 2 ，| BF  |＝ 6 2 ， ∴cos〈 AE  ， BF  〉＝ AE BF AE BF       ＝ 3 2 62 2  ＝ 3 2 .∴此时异面直线 AE 与 BF 成 30°． ②当点 E 为 D1B1 的中点，F 在 B1 处，此时 E（ 1 2 ， 1 2 ，1），F(0,1,1)，∴ AE  ＝（－ 1 2 ，－ 1 2 ，1）， BF  ＝(0,0,1)，∴ AE  · BF  ＝1，| AE  |＝ 2 2 21 1 612 2 2            － ＋ － ＋ ＝ ，∴cos〈 AE  ， BF  〉 ＝ AE BF AE BF       ＝ 1 6 3  3 261 2   ＝ ，故选 D. 15．B 以 A 为坐标原点， AC  ， 1AA  的方向分别为 y 轴和 z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设底 面边长为 2a，侧棱长为 2b，则 A(0,0,0)，C(0,2a,0)，D(0，a,0)，B( 3 a， a,0)，C1(0,2a,2b)， B1( 3 a，a,2b)．由 1AB  ⊥ 1BC  ，得 1AB  · 1BC  ＝0，即 2b2＝a2.设 n1＝(x，y，z)为平面 DBC1 的一 个法向量，则 n1· DB  ＝0，n1· 1DC  ＝0.即 3 0 2 0 ax ay bz     又 2b2＝a2，令 z＝1，解得 n1＝(0，－ 2 ， 1)． 同理可求得平面 CBC1 的一个法向量为 n2＝(1， 3 ，0)．利用公式 c os θ＝ 1 2 1 2 n n n n   ＝ 2 2 ，得θ ＝45°. 16．A 因 ，故由题设可得 ，即 ，令 ，则当 时， ，所以 ，故应选答案 A。 17．D ∵函数 ，∴ ， ∵ 时， 时， ，∴ 时原函数递增， 时，函数 递减，故当 时， 取极大值，其极大值为 ，又 ，∴函数 的各极大值之和 ．故选 D． 18．D 三棱锥 ABCD  在平面 xoy 上的投影为 ABC ，所以 21 S ， 设 D 在平面 yoz 、 zox 平面上的投影分别为 2D 、 1D ，则 ABCD  在平面 yoz 、 zox 上的投影分 别为 2OCD 、 1OAD ，因为 )2,1,0(1D ， )2,0,1(2D ，所以 212  SS ，故选 D. 19．A ，g′（x）= ， - + 递减 极小值 递增 1 由上表可知， 在 处取得最大值，即 ，所以当 时， 恒成立，等价于 恒成立， 记 ，所以 ，可知 ，当 时， ， 则 在 上单调递增；当 时， ，则 在 上单调递减；故当 时，函数 u（x）在区间 ，上取得最大值 ，所以 ，故实 数 的取值范围是 ，故选 A． 20．D 以点 D 为原点建立空间直角坐标系，DA,DC,DP 分别为 zyx ,, 轴，D（0，0，0）,E（1,a,0）,C （0,2,0）,P（0,0,1）,  1,1  aPE ， ,  1,2,0 PC ,设平面 PEC 平面的法向量为  zyxm ,, ， 即      PCm PEm   ,那么      02 0 zy zayx ，解得:       2 1 2 z y ax ,平面 DEC 的法向量为  100 ，，DP ,那么   2 2 52 2,cos 2    a DPm ，解得 32 a ，所以 32 AE ,故选 D. 21．C 当  0,2x 时，由单调性可求出 12 ( ) 2f x   .由    12 2f x f x  有 ( ) 4 ( 4)f x f x  , 当  4,2s  时 ,  4 0,2s   , 故 8 ( ) 2f s   .   3 23g x x x m   , 2'( ) 3 6 3 ( 2)g x x x x x    ,故 ( )g x 在  4,2 为增函 数 , ( 4) ( ) ( 2)g g t g    , 即 16 ( ) 4m g t m    , 由 题 意 有 min min( ) ( )f s g t , 所 以 8 16m   , 8m  ,故选 C. 22 ． A 原 式 等 于 ， 设 ， 那 么 ， 所 以 函 数 是 单 调 递 增 函 数 ， ，即 ，故选 A. 23． 曲线 过点 ，则 ①，又 ，所以 ②，由①②解得 所以 ． 24．2：3：（-4） 由      19 5 50,2, , 1, 1, , 2,1,8 8 8A B C  得    7 71, 3, , 2, 1,4 4AB AC        因为为平面的法向量，则有 0, 0AB a AC a       ，即         71, 3, , , 04 72, 1, , , 04 x y z x y z             由向量的数量积的运算法则有 73 04 72 04 x y z x y z         解得 3 1,4 2y z x z    所以        2 3 4: : : : 2 :3: 44 4 4 z z zx y z      ,故正确答案为  2:3: 4 25． 令 ，则 为偶函数， ，当 时， ， 即 在 上单调递增，从而由偶函数性质得 ， 在 上单调递减， 因此 即解集是 26．( 1 3 ，1) 以 DA  、DC  、 1DD  为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，则 有 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则 1D B  ＝(1,1，－1)，得 1D P  ＝λ 1D B  ＝(λ，λ， －λ)，所以 PA  ＝ 1PD  ＋ 1D A  ＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)， PC  ＝ 1PD  ＋ 1DC  ＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，所 以∠APC 为钝角等价于 PA  · PC  <0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－ 1)<0，解得 1 3 <λ<1，因此λ的取值范围是( 1 3 ，1)． 27．解：以 D 为原点建系 1 分 （1） 1 1cos , 0AD B D   3 分 直线 1 1AD B D与 所成角为 90° 5 分 （2） 1 1 ( 2,1,0)B BDD n  平面 的法向量为 7 分 1 10sin | cos , | 5n AD    9 分 所求角的正弦值为 10 5 10 分 28．（1）∵直线l 是函数   lnf x x 在点 1,0 处的切线，故其斜率  1 1k f   ∴直线l 的方程为 1y x  ，又因为直线l 与函数  g x 的图象相切，且切于点  1,0 ， ∴   3 21 1 3 2g x x x mx n    在点 1,0 的导函数值为1， ∴     11 0 11 1 6 mg g n        ，∴   3 21 1 1 3 2 6g x x x x    ． （2）∵        2ln 1 0h x f x g x x x x x       ， ∴     2 2 1 11 1 22 1 x xx xh x xx x x          ， 令   0h x  ，得 1 2x  或 1x   （舍）， 当 10 2x  时，    0,h x h x  单调递增 ； 当 1 2x  时，    0,h x h x  单调递减． 因此，当 1 2x  时，  h x 取得极大值，∴   1 1 1ln2 2 4h x h     极大 ． 29．（1）证明：∵长方形 ABCD 中，AB= 22 ，AD= 2 ，M 为 DC 的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM，平面 ADM∩平面 ABCM=AM，BM⊂平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD⊂平面 ADM ∴AD⊥BM. （2）建立如图所示的直角坐标系 设 DE DB  ，则平面 AMD 的一个法向量 (0,1,0)n  ， (1 ,2 ,1 ),ME MD DB          ( 2,0,0)AM   ， 设平面 AME 的一个法向量 ( , , ),m x y z 则 2 0 2 (1 ) 0 x y z       取 y=1，得 20, 1, ,1x y z      所以 2(0,1, )1m     ， 因为 5cos , 5| | | | m nm n m n         ，求得 1 2   ， 所以 E 为 BD 的中点. 30．（1）函数的定义域为 ， ， ①当 时， ，在 上恒成立，所以 在 上单调递增. ②当 时，方程 有一正根一负根，在 上的根为 2x = 1 1 2 2 a   ，所以函数 在 1 1 2(0, )2 a   上单调递减，在 1 1 2( , )2 a    上单调递增. 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 函数 在 1 1 2(0, )2 a   上单调递减，在 1 1 2( , )2 a    上单调递增. （2）不妨令 ，则 . 已知 ，则 . 由 . 设函数 ，则函数 是在 上的增函数， 所以 ， 又函数 是在 上的增函数，只要 上 恒成立， 在 上 ，所以 .