- 1.52 MB
- 2021-06-16 发布
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书
数学!理工类"试题答案 第
!
页!共
"
页"
高
!"#$
级第一次诊断性考试
数学!理工类"参考答案
评分说明!
!"
本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制定相应的评分细则"
#"
对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果
后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分"
$"
解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数"
%"
只给整数分"选择题和填空题不给中间分"
一"选择题#
&'
分$
!!
解析#选择
(!
因为
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$
#
"
#
#
#
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"
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$
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"
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'
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#
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%
!
命题意图#本小题主要考查指数不等式&一元二次不等式的解法&补集与交集运算等基础知识'
考查运算求解能力&知识交汇的应用意识
!
#!
解析#选择
("
因为
%+#,
!*,
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!
%
&
(
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"&所以
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!
*,
"&即
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根据复数相
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&
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*
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解得
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&
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)
*
+
&
所以
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&所对应的点在复平面内位于第三
象限
!
命题意图#本小题主要考查复数的乘法运算&两个复数相等的条件&复数的几何意义等基础知
识'考查运算求解能力&考查化归与转化思想
!
$!
解析#选择
-!
因为
.,/
!
)#.,/
!
#
+
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!
&所以
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法一#有
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#
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&代入
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!
+01.
#
!
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&解得
01.
#
!
)
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2
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法二#有
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!
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&所以
01.
#
!
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01.
#
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#
!
+01.
#
!
&易知
01.
!,
'
&分子(分母同时除以
01.
#
!
&得
01.
#
!
)
!
34/
#
!
+!
)
!
#
#
+!
)
!
2
!
命题意图#本小题主要考查三角函数的恒等变换&同角间的三角函数关系&诱导公式&三角函数
求值等基础知识'考查运算求解能力&考查化归与转化思想
!
数学!理工类"试题答案 第
#
!
页!共
"
页"
%!
解析#选择
5"
由已知&因圆
#
#
+
'
#
)#2
在点!
*$
&
%
"处的切线的斜率为
*
*$
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$
%
&所以切线
方程为
'
*%)
$
%
!
#+$
"&即直线
(
#
$#*%
'
+#2)'!
命题意图#本小题主要考查圆的切线方程等基础知识'考查运算求解能力&数形结合等数学
思想
!
2!
解析#选择
6"
因为
)
为
"*
的中点&且
-.
"))
"
-.
"$+
#
-.
"+
&所以
-.
"*)#
"
-.
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-.
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&
*
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三点共线&所以
#
"
+#
#
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&所以
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+
#
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!
#
!
法二#!特殊点法"
*
为
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上异于
$
&
+
的任意一点时
"
+
#
都可得到唯一结果&可取
*
为
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的中点&则有
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"*)
!
#
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#
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&而
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"))
!
#
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"*)
!
%
-.
"$+
!
%
-.
"+
&所以
"
+
#
)
!
#
!
命题意图#本小题主要考查平面向量的基本定理&向量加法的几何意义&向量共线等基础知识'
考查运算求解能力&应用意识&考查化归与转化&数形结合等数学思想
!
&!
解析#选择
5"
由环比增长折线图可知&
-
&
6
错误'由同比折线图可知
(
错误&
5
项正确
!
命题意图#本小题主要考查统计图表等基本知识'考查数据处理能力和应用意识
!
7!
解析#选择
6"
根据题意&甲有
%
种派法&其余
%
人共有
#%
种派法&于是共有
8&
种派遣方法
!
命题意图#本小题主要考查计数原理(排列及排列数等基础知识'考查逻辑推理能力和应用意
识&考查分类与整合等数学思想
!
9!
解析#选择
("
函数
,
!
#
"是偶函数&排除
-
&
6
&当
#
/
'
时&
,
!
#
"
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#
*#
#
*#
&
,
-
!
#
"
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#
'
&
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-
!
#
"
):
#
*2
/
'
&知存在
#
'
(
!&
#
"使得
,
-
!
#
"
)'
&故选
("
命题意图#本小题主要考查函数图象和性质等基本知识'考查逻辑推理能力及应用意识&考查
数形结合(化归与转化等数学思想
!
8!
解析#选择
6"
由离心率
.)
%
#
+%
#
+&
%槡 #
槡) 2
&解出
% 槡) #
'由
&) %
#
槡 槡+&)# #
&所以渐近线
方程为
'
);##
&焦点坐标为! 槡; !'
&
'
"
!
所以焦点到渐近线的距离为 槡##!
命题意图#本小题主要考查双曲线的标准方程(性质&点到直线的距离等基础知识&考查运算求
解能力
!
!'!
解析#选择
-"
将函数
,
!
#
"
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$
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'
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#
"
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%
&所以
*
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%
*
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!
#
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&
0
(
&
&解得
$
)*
!
#
*
#0
&
0
(
&
&又
$/
'
&所以当
0)*!
时&
$
取最小值&为
$
#
!
数学!理工类"试题答案 第
$
!
页!共
"
页"
命题意图#本小题主要考查三角函数的图象变换及其性质&最值问题等基础知识'考查运算求
解能力及应用意识'考查化归与转化思想&数形结合等数学思想
!
!!!
解析#选择
5"
由
,
!
#+#
"
) !#+
,
!
#槡 "&得
,
!
*#+#
"
) !#+
,
!
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,
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#
"的图象关于直线
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,
!
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"
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"
)
,
!
#
"&故
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!
#
"的一
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&由
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#+#
"
) !#+
,
!
#槡 "&令
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得
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!"
)
,
!
*!+#
"
) !#+
,
!
*!槡 "
)
!#+
,
!槡 "
/
'
&!
,
!""
#
*
,
!"
*!#)'
&解得
,
!"
)%
或
*$
!负值舍去"&所以
,
!
#'#!
"
)
,
!"
)%!
命题意图#本小题主要考查函数性质等基本知识'考查抽象概括(逻辑推理(运算求解能力及
应用意识'考查化归与转化等数学思想
!
!#!
解析#选择
-"
由题意&平面
"$+*
0
平面
"1$
&得
"1
0
$+
'由
$2
0
平面
"1+
&有
"1
0
$2
'从而
"1
0
平面
1$+
&所以
$1
0
"1
&所以
3
1*"$+
)3
+*"1$
)
!
$
+
!
#
1"
+
1$
+
$+)
!
$
1"
+
1$!
令
1")4
&
1$)5
&则
4
#
+5
#
)%!
所以
3
1*"$+
)
!
$
45
'
!
$
+
4
#
+5
#
#
)
#
$
&其中
,
)
-当且仅当
4)5 槡) #
时取得
!
命题意图#本小题主要考查线面垂直(面面垂直(三棱锥的体积(基本不等式等基础知识'考查
空间想象能力(逻辑推理能力和创新意识'考查化归与转化等数学思想
!
二"填空题#
'
分$
!$!
解析#填
$
#
!
作出约束条件
#+
'
'
#
&
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'
&
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&
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!
#
&
! "
'
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#
&
'
"&!&
!
"三点为顶点的
三角形及其内部&当目标函数
6)
!
#
#+
'
过点!&
!
"时&取得最大值&且最大值为
$
#
!
命题意图#本小题主要考查约束条件的不等式组表示的可行域&线性规划求最值等基础知识'
考查运算求解能力与应用意识'考查数形结合&化归与转化等数学思想
!
!%!
解析#填
$
2
!
方法一
!
设事件
"
为,这次比赛乙队不输-&则事件1
"
为,这次比赛甲队获胜-&因
为甲队获胜的概率
1
!
1
"
"
)
#
2
&所以这次比赛乙队不输的概率
1
!
"
"
)!*1
!
1
"
"
)!*
#
2
)
$
2
!
方法二
!
设事件
"
为,这次比赛乙队不输-&事件
$
为,这次比赛乙队获胜-&事件
+
为,这次
比赛甲(乙两队打平-&所以
1
!
+
"
)
!
!'
&
1
!
$
"
)!*
#
2
*
!
!'
)
!
#
&所以这次比赛乙队不输的概
率
1
!
"
"
)1
!
$
"
+1
!
+
"
)
!
#
+
!
!'
)
$
2
!
数学!理工类"试题答案 第
%
!
页!共
"
页"
命题意图#本小题主要考查互斥事件的概率等基础知识'考查运算求解等数学能力'考查化归
与转化等数学思想
!
!2!
解析#填
"#$
!
根据线面垂直的性质知命题
"
正确'由线面平行的性质和线面垂直的性质知
命题
#
正确'由面面垂直的性质和判定知命题
%
不正确'由面面平行的性质知命题
$
正确
!
命题意图#本小题主要考查直线与平面间平行(垂直的位置关系等基础知识'考查空间想象能
力(逻辑推理能力'考查化归与转化等思想方法
!
!&!
解析#填
#
%
+!
&
)
"
# !
显然&当
4
'
'
&不符合题意&当
4
/
'
时&由于
#
/
'
&所以
#
#
/
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&作出函数
'
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#
#
和
'
)4#*#
的大致图象!如
图"&过点!
'
&
*#
"的直线
'
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介于!&
'
"(!
#
&
,
!
#
""之间时满足条
件&直线
'
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过点!&
'
"时&
4
的值为
#
'该直线过点!
#
&
,
!
#
""时&
4
的值为
#
%
+!
&由
图知
4
的取值范围是
#
%
+!
&
)
"
# !
命题意图#本小题主要考查函数图象和性质(函数的导数等基本知识'考查抽象概括(运算求
解能力和应用意识'考查化归与转化(数形结合(分类讨论等数学思想
!
三"解答题#共
7'
分$
!7!
解析#!"因为
%
5
)#%
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!
5
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#
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5
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!
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"&
#
分…………………
又
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!
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&所以
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!
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,
'
&
所以数列$
%
5
+!
%是以
#
为首项&
#
为公比的等比数列
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分……………………………………
所以
%
5
+!)#
+
#
5*!
)#
5
&
所以数列$
%
5
%的通项公式
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5
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5
*!! &
分………………………………………………………
!
#
"由!"得
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5
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5
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"
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#
5
&
所以
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5
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#
+$=#
$
+
.
+5
+
#
5
&
!!"
9
分………………………………………
#7
5
)!=#
#
+#=#
$
+$=#
%
+
.
+
!
5*!
"+
#
5
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#
5+!
&
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由
"
*
#
得
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+#
$
+
.
+#
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5+!
&
!'
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即
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#
!
*#
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"
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+
#
5+!
)#
5+!
*#*5
+
#
5+!
&
所以
7
5
)
!
5*!
"+
#
5+!
+#! !#
分………………………………………………………………
命题意图#本小题主要考查递推数列求通项公式&等比数列&等差数列通项公式与数列的前
5
项和公式&错位相减求和等基础知识'考查运算求解能力及应用意识'考查化归与转化思想
方法
!
数学!理工类"试题答案 第
&
!
页!共
"
页"
!9!
解析#!"列联表下#
良 优 合计
男
#' #' %'
女
#' %' &'
合计
%' &' !''
由题得&
8
#
)
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!
#'=%'*#'=#'
"
#
%'=&'=&'=%'
)
#2
8
3
#>79
/
#>7'&
&
所以&能在犯错误的概率不超过
'>!'
的前提下认为评分为,优良-与性别有关
! %
分………
!
#
"由已知得体验度评分为)
2'
&
'
"和)
8'
&
!''
*的顾客分别有
!'
人&
#'
人&则在随机抽取的
&
人中评分为)
2'
&
'
"有
#
人&评分为)
8'
&
!''
*有
%
人
! 2
分……………………………………
则
9
可能的取值有
'
&
!
&
#!
1
!
9)'
"
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%
%
+
%
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)
!
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1
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"
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1
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"
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+
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&
)
&
!2
&
9
分…………………
则
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的分布列为
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1
!
!2
9
!2
&
!2
!!!!!!!!!!!
8
分……………………………………………………………………
所以&
)9)'=
!
!2
+!=
9
!2
+#=
&
!2
)
%
$
! !#
分…………………………………………………
命题意图#本小题主要考查统计案例(卡方分布(离散型随机变量的分布列和数学期望等基础
知识'考查抽象概括(数据分析处理等能力和应用意识
!
!8!
解析#!"在
4
+*)
中&由正弦定理得
+)
.,/
5
+*)
)
+*
.,/
5
+)*
&
所以
.,/
5
+)*)
+*.,/
5
+*)
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#
$
槡%$
)
!
#
&
$
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因为
+*
#
+)
&所以
5
+)*
为锐角&所以
5
+)*)$'?! %
分……………………………………
所以
5
")+)
5
")**
5
+)*)!#'?*$'?)8'?
&
所以
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#
++)槡
#
) !#
#
+
!槡%$
"槡 #
槡)9$! &
分…………………………………………
!
#
"在
4
"$+
中&由余弦定理得
"+
#
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#
+$+
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*#"$
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&
即
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#
+$+
#
*"$
+
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&
#"$
+
$+*"$
+
$+)"$
+
$+
&
8
分……………………
当且仅当
"$)$+ 槡)9$
时等号成立&所以
"$
+
$+
'
!8#! !'
分……………………………
所以
7
4
"$+
)
!
#
"$
+
$+.,/&'?
数学!理工类"试题答案 第
'
!
页!共
"
页"
'
!
#
=!8#=
槡$
#
槡)%9$! !#
分……………………………………………………………………
命题意图#本小题主要考查正弦定理&余弦定理&勾股定理&三角形的面积等基础知识'考查运
算求解能力&推理论证能力与应用意识'考查化归与转化思想
!
#'!
解析#!"由已知&
":
0
平面
"$+*
&
所以&
":
0
"$
&
":
0
"*! #
分…………………………………………………………………
又
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&
"$
0
"*
&
所以&
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#
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#
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)"$
#
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#
)9
&
*:
#
)"*
#
+":
#
)9
&
则
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所以
4
$*:
是正三角形
! 2
分……………………………………………………………………
!
#
"因为
"$
0
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&
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0
平面
"$+*
&于是&可以
"
为原点&直线
"$
&
"*
&
":
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#
轴&
'
轴&
6
轴建立空间直角坐标系
!
由
+*
6
平面
"$:
&易知
+*
6
"$
&又
#+*)"$
&则
$
!
#
&
'
&
'
"&
+
!&
#
&
'
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*
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'
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&
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:
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'
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'
&
#
"
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所以
-.
$*)
!
*#
&
#
&
'
"&
-.
$:)
!
*#
&
'
&
#
"
! 7
分……………………………
设平面
$*:
的一个法向量为
!)
!
#
&
'
&
6
"&
则
!
+
-.
$*)*##+#
'
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!
+
-.
$:)*##+#6)'
)
*
+
!
取
#)!
&得
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!&
!
&
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"
! 8
分……………………………………………………………………
同理可求平面
+$:
的一个法向量为
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!
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&
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所以&
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2
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)
槡2$
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命题意图#本小题主要考查直线与平面间平行(垂直的位置关系(二面角等基础知识'考查空
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数学!理工类"试题答案 第
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命题意图#本小题主要考查函数与导数&导数的概念及其几何意义(导数的运算及导数在研究
函数中的应用等基础知识'考查抽象概括(运算求解(逻辑推理等能力&以及应用意识和创新
意识'考查函数与方程&化归与转化等数学思想
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命题意图#本小题主要考查含绝对值的不等式(基本不等式(不等式证明方法等基础知识'考
查运算求解(推理论证等数学能力'考查分类与整合(化归与转化等数学思想
!
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