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- 2021-06-16 发布
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第二章
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.椭圆 + =1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 k 应满足的条件是 ( )
A.k>3 B.20, = ,所以 k=2.
2.(2016·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆 x2+ =1 长轴的端点,且双曲线的离心率与
该椭圆的离心率的积为 1,则双曲线的方程为 ( )
A.x2-y2=1 B.y2-x2=1
C.x2-y2=2 D.y2-x2=2
【解析】选 D.由题意设双曲线方程为 - =1,离心率为 e,椭圆 x2+ =1 长轴端点为(0, ),
所以 a= ,又椭圆的离心率为 ,所以双曲线的离心率为 ,所以 c=2,b= ,则双曲线
的方程为 y2-x2=2.
3.(2016·浙江高考)已知椭圆 C1: +y2=1(m>1)与双曲线 C2: -y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2
分别为 C1,C2 的离心率,则 ( )
A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1
C.m1 D.m1,n>0,所以 m>n,(e1e2)2>1,所以 e1e2>1.
4.(2016·潍坊高二检测)设椭圆 + =1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,
离心率为 ,则此椭圆的方程为 ( )
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
【解析】选 B.因为 y2=8x 的焦点为(2,0),
所以 + =1 的右焦点为(2,0),所以 m>n 且 c=2.
又 e= = ,所以 m=4.
因为 c2=m2-n2=4,所以 n2=12.
所以椭圆方程为 + =1.
【补偿训练】(2016·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( ,0),直线
y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 中点的横坐标为- ,则此双曲线的方程是 ( )
A. - =1 B. - =1
C. - =1 D. - =1
【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程 - =1,然后与直线方程联立方程组,消元得二
元一次方程,根据根与系数的关系及 MN 中点的横坐标建立 a,b 的一个方程,又双曲线中有
c2=a2+b2,则另得 a,b 的一个方程,最后解 a,b 的方程组即得双曲线方程.
【解析】选 B.设双曲线方程为 - =1,
将 y=x-1 代入 - =1,
整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,
由根与系数的关系得 x1+x2= ,
则 = =- .
又 c2=a2+b2=7,解得 a2=2,b2=5,
所以双曲线的方程为 - =1.
5.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 + =1 上的点,F1,F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c,
则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是 ( )
A.1 B.a2 C.b2 D. c2
【解析】选 D.由椭圆的几何性质得
|PF1|∈,
|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PF1|·|PF2|≤ =a2,
当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.
|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)
=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2
≥-c2+a2=b2,
所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2.
6.(2016·天津高二检测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)
的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,
△AOB 的面积为 ,则 p= ( )
A.1 B.
C.2 D.3
【解析】选 C.因为 e=2,所以 b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为 y=± x,不妨设
A= ,B , 则 AB= p, 又三 角形的 高为 ,则 S △ AOB= × ×
p= ,即 p2=4,又因为 p>0,所以 p=2.
7.(2016·东营高二检测)已知点 P 是抛物线 y2=-8x 上一点,设点 P 到此抛物线准线的距离是
d1,到直线 x+y-10=0 的距离是 d2,则 d1+d2 的最小值是 ( )
A. B.2
C.6 D.3
【解析】选 C.抛物线 y2=-8x 的焦点 F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由
点 F 向直线 x+y-10=0 作垂线与抛物线的交点为 P 时,d1+d2 取到最小值,即 =6 .
8.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2,则 k 等
于 ( )
A.2 或-1 B.-1
C.2 D.1±
【解析】选 C.由 消去 y 得,
k2x2-4(k+2)x+4=0,
故Δ=2-4k2×4=64(1+k)>0,
解得 k>-1,由 x1+x2= =4,
解得 k=-1 或 k=2,又因为 k>-1,故 k=2.
【易错警示】本题易忽略Δ>0 而错选 A.
9.(2016·邯郸高二检测)设双曲线 - =1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 ,则双曲线
的渐近线方程为 ( )
A.y=± x B.y=± x
C.y=± x D.y=±2x
【解析】选 A.由题意得 解得
所以 a= = ,
因此双曲线的方程为 -y2=1,
所以渐近线方程为 y=± x.
10.(2015·福建高考)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线
l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的
离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选 A.不妨设左焦点为 F2,连接 AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形 AFBF2 的对角线
互相平分,所以四边形 AFBF2 为平行四边形,所以 + = + =2a=4,所以
a=2,设 M(0,b),所以 d= b≥ ⇒b≥1,所以 e= = ≤ = ,
又 e∈(0,1),所以 e∈ .
11.(2016·哈尔滨高二检测)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线
交椭圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的标准方程
为 ( )
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
【解析】选 D.设 A 点坐标为(x1,y1),
B 点坐标为(x2,y2),
所以 两式相减得, = ,
即 = ,
因为 x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 k= = ,
又因为 k= = ,所以 = ,
又因为 c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,
所以 b2=9,a2=18,
即 E 的标准方程为 + =1.
12.(2016·宝鸡高二检测)设抛物线 C:y2=3px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF
为直径的圆过点 A(0,2),则 C 的方程为 ( )
A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x
C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x
【解析】选 C.由已知得 F ,A(0,2),M ,
因为 AF⊥AM,所以 kAF·kAM=-1,
即 × =-1,
所以 -8y0+16=0,所以 y0=4,所以 M ,
因为|MF|=5,所以 5= ,
所以 =9.
所以 - =3 或 - =-3,
所以 9p2-36p-64=0,①
或 9p2+36p-64=0,②
由①得 p=- (舍),p= .
由②得 p= ,p=- ,
所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)
13.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 l:x+y=1 交于 M,N 两点,过原点与线段 MN 中点的直线斜率为 ,则
= .
【解析】设 M(x1,y1),N(x2,y2),
所以 m +n =1 ①
m +n =1 ②
又因为 =-1,所以①-②得:m=n· ,
因为 = = ,
所以 m= n,所以 = .
答案:
14.直线 y=kx+1(k∈R)与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围为 .
【解析】将 y=kx+1 代入椭圆方程,消去 y 并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.
由 m>0,5k2≥0,知 m+5k2>0,故
Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0 对 k∈R 恒成立.
即 5k2≥1-m 对 k∈R 恒成立,故
1-m≤0,所以 m≥1.
又因为 m≠5,所以 m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5.
答案:m≥1 且 m≠5
【易错警示】本题易忽略隐含条件 m≠5 而出错.
15.(2015·山东高考)过双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,
交 C 于点 P,若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为 .
【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造 a,b,c 的关系,进而
求出离心率 e.
【解析】将 y= (x-c)代入 - =1 消去 y 得 - =1,因为 xP=2ab>0),F1,F2 分别是椭圆的左、右焦
点,椭圆上总存在点 P 使得 PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围
为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选 A.由 PF1⊥PF2,知△F1PF2 是直角三角形,
所以|OP|=c≥b,即 c2≥a2-c2,所以 a≤ c,
因为 e= ,0b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭
圆上,则椭圆的离心率是 .
【解题指南】利用已知条件求出点 Q 的坐标,从而求出 a,b,c 的关系.
【解析 】设 F(c,0)关于直 线 y= x 的对称 点为 Q(m,n),则有 解得
m= ,n= ,所以 Q 在椭圆上,即有 + =1,解得
a2=2c2,所以离心率 e= = .
答案:
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
17.(10 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 - =1 的一个焦点,并且这条准线
与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为 P ,求抛物线方程和双曲线
方程.
【解析】依题意,设抛物线方程为 y2=2px(p>0),
因为点 在抛物线上,所以 6=2p× ,
所以 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x.
因为双曲线左焦点在抛物线的准线 x=-1 上,
所以 c=1,即 a2+b2=1,
又点 在双曲线上,所以 - =1,
由
解得 a2= ,b2= .
所以所求双曲线方程为 4x2- y2=1.
【补偿训练】若已知椭圆 + =1 与双曲线 x2- =1 有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点
P ,求椭圆及双曲线的方程.
【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得
10-m=1+b,即 m=9-b,①
又因为点 P 在椭圆、双曲线上,所以
y2= m,②
y2= .③
解由①②③组成的方程组得 m=1,b=8,
所以椭圆方程为 +y2=1,双曲线方程为 x2- =1.
18.(12 分)求以直线 x+2y=0 为渐近线,且截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线的标准方
程.
【解析】由于双曲线的渐近线方程为 x+2y=0,故可设双曲线方程为 x2-4y2=λ(λ≠0).
设直线 x-y-3=0 与双曲线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组 消去 y,
整理得 3x2-24x+36+λ=0.
由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12.
由根与系数关系可得
代入弦长公式中,
|AB|= |x1-x2|= ·
= · = ,
于是 = ,解得λ=4(与λ<12 符合).
故所求的双曲线的标准方程为 -y2=1.
19.(12 分 ) 已 知 过 抛 物 线 y2=2px(p>0) 的 焦 点 , 斜 率 为 2 的 直 线 交 抛 物 线 于
A(x1,y1),B(x2,y2)(x1b>0)上的一点,F1,F2 为椭圆的两焦点,若 PF1⊥
PF2,试求:
(1)椭圆的方程.
(2)△PF1F2 的面积.
【解析】(1)令 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
则 b2=a2-c2.因为 PF1⊥PF2,
所以 · =-1,即 · =-1,
解得 c=5,所以设椭圆方程为 + =1.
因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 + =1.
解得 a2=45 或 a2=5.
又因为 a>c,所以 a2=5(舍去).
故所求椭圆方程为 + =1.
(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 ,①
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②
①2-②得 2|PF1|·|PF2|=80,
所以 = |PF1|·|PF2|=20.
【补偿训练】已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2).
(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA
与 l 的距离等于 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将(1,-2)代入 y2=2px,
得(-2)2=2p·1,所以 p=2.
故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线 l,
其方程为 y=-2x+t.
由 得 y2+2y-2t=0.
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得 t≥- .
另一方面,由直线 OA 到 l 的距离 d= ,
可得 = ,解得 t=±1.
因为-1∉ ,1∈ ,
所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.
21.(12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 y= x2
的焦点,离心率为 .
(1)求椭圆 C 的标准方程.
(2) 过 椭 圆 C 的 右 焦 点 F 作 直 线 l 交 椭 圆 C 于 A,B 两 点 , 交 y 轴 于 点 M, 若
=m , =n ,求 m+n 的值.
【解析】(1)设椭圆 C 的标准方程为 + =1(a>b>0).
抛物线方程可化为 x2=4y,其焦点为(0,1),
则椭圆 C 的一个顶点为(0,1),即 b=1.
由 e= = = .
得 a2=5,所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.
(2)易求出椭圆 C 的右焦点 F(2,0),
设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-2),
代入方程 +y2=1,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
所以 x1+x2= ,x1x2= .
又 =(x1,y1-y0), =(x2,y2-y0),
=(x1-2,y1), =(x2-2,y2).
因为 =m , =n ,
所以 m= ,n= ,
所以 m+n= ,
又 2x1x2-2(x1+x2)=
=- ,
4-2(x1+x2)+x1x2
=4- + = ,
所以 m+n=10.
22.(12 分)(2016·北京高考)已知椭圆 C: + =1 过 A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆 C 的方程及离心率.
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,
求证:四边形 ABNM 的面积为定值.
【解题指南】(1)把 A,B 两点代入可求得 a,b.
(2)设 P(x0,y0),表示出直线 AP,BP 方程,求出点 M,N 坐标,表示出面积.再利用点 P 在椭圆上
化简整理为定值.
【解析】(1)把 A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得 a=2,b=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.
因为 c= = ,
所以离心率 e= = .
(2)设 P(x0,y0),其中 x0<0,y0<0.
则直线 AP 方程为 y= (x-2),直线 BP 方程为 y= x+1.
所以 M ,N .
所以|AN|=2+ ,|BM|= +1.
所以四边形 ABNM 的面积为 S= |AN||BM|=
= × × =
= .
因为点 P 在椭圆 C 上,所以 =4-4 .代入上式得
S =
= =2.
因此,四边形 ABNM 的面积为定值 2.
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