2020年高中数学新教材同步必修第二册 章末检测试卷一(第6章)1 9页

章末检测试卷一(第六章) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1.若OA→ ＝(－1,2)，OB→ ＝(1，－1)，则AB→等于( ) A.(－2,3) B.(0,1) C.(－1,2) D.(2，－3) 答案 D 解析 OA→ ＝(－1,2)，OB→ ＝(1，－1)， 所以AB→＝OB→ －OA→ ＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3). 2.已知平面上 A，B，C 三点不共线，O 是不同于 A，B，C 的任意一点，且(OB→ －OC→ )·(AB→＋AC→) ＝0，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案 A 解析 (OB→ －OC→ )·(AB→＋AC→)＝0⇔CB→·(AB→＋AC→)＝0⇔(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0⇔|AB→|＝|AC→|，所 以△ABC 是等腰三角形. 3.已知 A，B，C 三点在一条直线上，且 A(3，－6)，B(－5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 C 点 的纵坐标为( ) A.－13 B.9 C.－9 D.13 答案 C 解析 设 C 点坐标为(6，y)， 则AB→＝(－8,8)，AC→＝(3，y＋6). ∵A，B，C 三点共线，∴－8(y＋6)－8×3＝0，∴y＝－9. 4.已知在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则 cos B 等于( ) A.11 16 B.7 9 C.21 16 D.29 16 答案 A 解析 依题意设 a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，则 cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝16k2＋4k2－9k2 2×4k×2k ＝11 16. 5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→ ＝(2,1)， 则AD→ ·AC→等于( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 A 解析 ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→ ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴AD→ ·AC→ ＝2×3＋(－1)×1＝5. 6.已知平面向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb 与 a 垂直，则λ等于( ) A.－2 B.1 C.－1 D.0 答案 C 解析 a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)， 因为 a＋λb 与 a 垂直，所以(a＋λb)·a＝0， 即 1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1. 7.已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m).若向量 a，b 的夹角为π 6 ，则实数 m 等于( ) A.2 3 B. 3 C.0 D.－ 3 答案 B 解析 ∵a·b＝(1， 3)·(3，m)＝3＋ 3m， a·b＝ 12＋ 32× 32＋m2×cos π 6 ， ∴3＋ 3m＝ 12＋ 32× 32＋m2×cos π 6 ， ∴m＝ 3. 8.已知点 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP→ ＝OA→ ＋ λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| (λ∈(0，＋∞))，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 B 解析 AB→ |AB→| 为AB→方向上的单位向量， AC→ |AC→| 为AC→方向上的单位向量， 则 AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| 的方向为∠BAC 的角平分线AD→ 的方向. 又λ∈(0，＋∞)， 所以λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| 的方向与 AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| 的方向相同. 而OP→ ＝OA→ ＋λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| ， 所以点 P 在AD→ 上移动， 所以点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.已知 A(2，－3)，AB→＝(3，－2)，点 M 为线段 AB 的中点，则下列点的坐标正确的是( ) A.B(5，－5) B.B(1,1) C.M 7 2 ，－4 D.M(0,0) 答案 AC 10.对于任意的平面向量 a，b，c，下列说法中错误的是( ) A.若 a∥b 且 b∥c，则 a∥c B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c C.若 a·b＝a·c，且 a≠0，则 b＝c D.(a·b)c＝a(b·c) 答案 ACD 解析 选项 A 中，若 b＝0，则命题不成立； 选项 C 中，若 a 和 b，c 都垂直，显然 b，c 在模长方面没有任何关系，所以命题不成立； 选项 D 中，(a·b)c 是一个与向量 c 共线的向量，而 a(b·c)是一个与向量 a 共线的向量，错误； B 显然成立. 11.已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列四个说法中正确的是( ) A.若 a cos A ＝ b cos B ＝ c cos C ，则△ABC 一定是等边三角形 B.若 acos A＝bcos B，则△ABC 一定是等腰三角形 C.若 bcos C＋ccos B＝b，则△ABC 一定是等腰三角形 D.若 a2＋b2－c2>0，则△ABC 一定是锐角三角形 答案 AC 解析 由 a cos A ＝ b cos B ＝ c cos C ， 利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ， 即 tan A＝tan B＝tan C， 所以 A＝B＝C，△ABC 是等边三角形，A 正确； 由 acos A＝bcos B，可得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B， 所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π， △ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 不正确； 由 bcos C＋ccos B＝b， 可得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B， 即 sin(B＋C)＝sin B，所以 sin A＝sin B， 则 A＝B，△ABC 是等腰三角形，C 正确； 由余弦定理可得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab >0，角 C 为锐角，角 A，B 不一定是锐角，D 不正确. 12.设点 M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法中正确的是( ) A.若AM→ ＝1 2AB→＋1 2AC→，则点 M 是边 BC 的中点 B.若AM→ ＝2AB→－AC→，则点 M 在边 BC 的延长线上 C.若AM→ ＝－BM→ －CM→ ，则点 M 是△ABC 的重心 D.若AM→ ＝xAB→＋yAC→，且 x＋y＝1 2 ，则△MBC 的面积是的△ABC 面积的1 2 答案 ACD 解析 A.AM→ ＝1 2AB→＋1 2AC→⇒1 2AM→ －1 2AB→＝1 2AC→－1 2AM→ ，即BM→ ＝MC→ ，则点 M 是边 BC 的中点； B.AM→ ＝2AB→－AC→，则点 M 在边 CB 的延长线上，所以 B 错误. C.如图，设 BC 中点 D，则AM→ ＝－BM→ －CM→ ＝MB→ ＋MC→ ＝2MD→ ，由重心性质可知 C 成立. D.AM→ ＝xAB→＋yAC→，且 x＋y＝1 2 ⇒2AM→ ＝2xAB→＋2yAC→，2x＋2y＝1，设AD→ ＝2AM→ ， 所以AD→ ＝2xAB→＋2yAC→，2x＋2y＝1，可知 B，C，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 面积的1 2. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1 a ＋1 b 的值为________. 答案 1 2 解析 AB→＝(a－2，－2)，AC→＝(－2，b－2)， 依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 即 ab－2a－2b＝0，所以1 a ＋1 b ＝1 2. 14.在△ABC 中，若 a＝ 2，b＝2，A＝30°，则 C＝________. 答案 105°或 15° 解析 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ， 得 sin B＝bsin A a ＝2sin 30° 2 ＝ 2 2 . ∵0°