人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业十 5页

课时提升作业 十 一般形式的柯西不等式 基础过关 一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.已知 a,b,c,x,y,z 为正数,且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40, ax+by+cz=20,则 = ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.由已知得 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2, 结合柯西不等式,知 = = = ,所以 = . 2.已知 x,y,z 是非负实数,若 9x2+12y2+5z2=9,则函数 u=3x+6y+5z 的最大值是 ( ) A.9 B.10 C.14 D.15 【解析】选 A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+( )2+( )2]·[(3x)2+(2 y)2+( z)2] =9(9x2+12y2+5z2)=81,所以 3x+6y+5z≤9.当且仅当 x= ,y= ,z=1 时,等号成立. 故 u=3x+6y+5z 的最大值为 9. 3.已知 a2+b2+c2=1,若 a+b+ c≤|x+1|对任意实数 a,b,c 恒成立,则实数 x 的取 值范围是 ( ) A.x≥1 或 x≤-3 B.-3≤x≤1 C.x≥-1 或 x≤3 D.-1≤x≤3 【解题指南】根据题目中的 a2+b2+c2=1 和 a+b+ c≤|x+1|的结构形式,可以联想 使用柯西不等式. 【解析】选 A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+ c)2, 所以 a+b+ c≤2,又因为 a+b+ c≤|x+1|, 所以|x+1|≥2,解之得 x≥1 或 x≤-3. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.已知 x,y,z∈R,且 2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2 的最小值为______. 【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1) ≥(2x+2y+z-1)2=81, 所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9. 答案:9 5.设 a,b,c 为正数,则(a+b+c) 的最小值是________. 【解析】(a+b+c) = [( )2+( )2+( )2] ≥ =(2+3+6)2=121. 当且仅当 = = 时等号成立. 答案:121 三、解答题 6.(10 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)= + 的最小值为 a,又正数 p,q,r 满足 p+q+r=a.求证 p2+q2+r2≥3. 【证明】因为 f(x)= + ≥ =3, 即函数 f(x)= + 的最小值 a=3. 所以 p+q+r=3. 由柯西不等式得 (p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9, 于是 p2+q2+r2≥3. 能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.已知 x,y 是实数,则 x2+y2+(1-x-y)2 的最小值是 ( ) A. B. C.6 D.3 【解析】选 B.由柯西不等式,得 (12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2] ≥[x+y+(1-x-y)]2=1. 即 x2+y2+(1-x-y)2≥ . 当且仅当 x=y=1-x-y. 即 x=y= 时,x2+y2+(1-x-y)2 取得最小值 . 【补偿训练】已知 + +…+ =1, + +…+ =1,则 a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值 是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 A.因为(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤( + +…+ )×( + +…+ )=1×1. 当且仅当 = =…= 时,等号成立. 所以 a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值为 1. 2.已知α为锐角,则 的最小值为( ) A.3-2 B.3+2 C -1 D. +1 【解析】选 B. ≥ , 当且仅当 sinα=cosα时等号成立, 此时 = =3+2 . 即 的最小值为 3+2 . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.方程 2 + = 的解为________. 【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解. 【解析】由柯西不等式,得(2 + )2 = ≤[22+( )2] =6× =15, 即 2 + ≤ . 当且仅当 = , 即 x=- 时,等号成立. 故原方程的根是 x=- . 答案:x=- 4. 边 长 为 a,b,c 的 三 角 形 ABC, 其 面 积 为 , 外 接 圆 半 径 为 1, 若 s= + + ,t= + + ,则 s 与 t 的大小关系是________. 【解析】由已知得 absinC= , =2R=2. 所以 abc=1,所以 + + =ab+bc+ca, 由柯西不等式得 (ab+bc+ca)≥( + + )2, 所以 ≥( + + )2. 即 + + ≥ + + . 当且仅当 a=b=c=1 时等号成立. 答案:s≤t 三、解答题 5.(10 分)设 a1>a2>…>an>an+1,求证: + +…+ + >0. 【证明】为了运用柯西不等式,我们将 a1-an+1 写成 a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1), 于是[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)]· ≥n2>1. 即(a1-an+1)·( + +…+ )>1, 所以 + +…+ > ,故 + +…+ + >0.