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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修2-3第二章随机变量及其分布2-1-2-1-2学业分层测评word版含答案

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学业分层测评 (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.某一随机变量ξ的概率分布列如下表,且 m+2n=1.2,则 m-n 2 的值为( ) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.-0.2 B.0.2 C.0.1 D.-0.1 【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得 m+n+0.2=1,又 m+2n= 1.2,解得 m=n=0.4,可得 m-n 2 =0.2. 【答案】 B 2.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量 X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量 X C.从装有 5 个红球, 3 个白球的袋中取 1 个球,令随机变量 X= {1,取出白球 0,取出红球 D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量 X 【解析】 A中随机变量 X的取值有 6个,不服从两点分布,故选 A. 【答案】 A 3.在 15个村庄中,有 7个村庄交通不太方便,现从中任意选 10个村庄,用 ξ表示 10个村庄中交通不太方便的村庄数,下列概率中等于 C47C68 C1015 的是( ) A.P(ξ=2) B.P(ξ≤2) C.P(ξ=4) D.P(ξ≤4) 【解析】 A项,P(ξ=2)=C27C88 C1015 ; B项,P(ξ≤2)=P(ξ=2)≠C47C68 C1015 ; C项,P(ξ=4)=C47C68 C1015 ; D项,P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)>C 47C68 C1015 . 【答案】 C 4.抛掷两颗骰子,所得点数之和 X是一个随机变量,则 P(X≤4)等于( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 【解析】 根据题意,有 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两颗骰 子,按所得的点数共 36个基本事件,而 X=2对应(1,1),X=3对应(1,2),(2,1),X =4对应(1,3),(3,1),(2,2), 故 P(X=2)= 1 36 ,P(X=3)= 2 36 = 1 18 , P(X=4)= 3 36 = 1 12 ,所以 P(X≤4)= 1 36 + 1 18 + 1 12 = 1 6 . 【答案】 A 5.随机变量ξ的概率分布列为 P(ξ=n)= a nn+1 ,n=1,2,3,4,其中 a是常数, 则 P 1 2 <ξ<5 2 的值为( ) A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5 6 【解析】 a 1×2 + a 2×3 + a 3×4 + a 4×5 = a 1-1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 = 4 5 a=1. ∴a=5 4 . ∴P 1 2 <ξ<5 2 =P(ξ=1)+P(ξ=2) = 5 4 × 1 1×2 + 1 2×3 = 5 6 . 【答案】 D 二、填空题 6.若随机变量 X服从两点分布,则 P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令 Y=3X-2, 则 P(Y=-2)=________. 【解析】 由 Y=-2,且 Y=3X-2,得 X=0, ∴P(Y=-2)=0.8. 【答案】 0.8 7.设离散型随机变量 X的概率分布列为: X -1 0 1 2 3 P 1 10 m 1 10 1 5 2 5 则 P(X≤2)=________. 【解析】 P(X≤2)=1-2 5 = 3 5 . 【答案】 3 5 8.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分 X的分布列如下表,其中 a,b,c 成等差数列,且 c=ab, X 0 2 3 P a b c 则这名运动员得 3分的概率是________. 【解析】 由题中条件,知 2b=a+c,c=ab,再由分布列的性质,知 a+b +c=1,且 a,b,c都是非负数,由三个方程联立成方程组,可解得 a=1 2 ,b=1 3 , c=1 6 ,所以得 3分的概率是 1 6 . 【答案】 1 6 三、解答题 9.一个袋中有形状、大小完全相同的 3个白球和 4个红球. (1)从中任意摸出一球,用 0 表示摸出白球,用 1 表示摸出红球,即 X= {0,摸出白球, 1,摸出红球, 求 X的分布列; (2)从中任意摸出两个球,用“X=0”表示两个球全是白球,用“X=1”表示 两个球不全是白球,求 X的分布列. 【解】 (1)X的分布列如下表: X 0 1 P 3 7 4 7 (2)X的分布列如下表: X 0 1 P 1 7 6 7 10.(2016·大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动,有 8名同学参加,其中有 5名男同学,3名女同学,为了活动的需要,要从这 8名同学中随机抽取 3名同学 去执行一项特殊任务,记其中有 X名男同学. (1)求 X的分布列; (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率. 【解】 (1)X的可能取值为 0,1,2,3.根据公式 P(X=k)=CkMCn-kN-M CnN ,k=0,1,2,…, m,其中 m=min{M,n}算出其相应的概率. 即 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 (2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 P=P(X=1)+P(X=2)=15 56 + 15 28 = 45 56 . [能力提升] 1.一个袋中有 6个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,还有 4个同样大小 的白球,编号为 7,8,9,10.现从中任取 4个球,有如下几种变量: ①X表示取出的最大号码; ②X表示取出的最小号码; ③取出一个黑球记 2分,取出一个白球记 1分,X表示取出的 4个球的总得分; ④X表示取出的黑球个数. 这四种变量中服从超几何分布的是( ) A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】 由超几何分布的概念知③④符合,故选 B. 【答案】 B 2.(2016·周口中英文学校月考)设 X是一个离散型随机变量,其分布列为: X -1 0 1 P 1 2 1-2q q2 则 q为( ) 【导学号:97270035】 A.1 B.1± 2 2 C.1+ 2 2 D.1- 2 2 【解析】 由分布列性质(2)知1 2 +1-2q+q2=1, 解得 q=1± 2 2 ,又由性质(1)知 1-2q≥0, ∴q≤1 2 ,∴q=1- 2 2 ,故选 D. 【答案】 D 3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个 数据模糊,无法确认,在图 211中以 X表示. 甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 图 211 如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的植树总 棵数 Y的分布列. 【解析】 当 X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数分别是 9,9,11,11; 乙组同学的植树棵数分别是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵树 Y的可能取值为 17,18,19,20,21. 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9棵,乙组选出的同学植树 8棵”, 所以该事件有 2种可能的结果,因此 P(Y=17)= 2 16 = 1 8 . 同理可得 P(Y=18)=1 4 ;P(Y=19)=1 4 ; P(Y=20)=1 4 ;P(Y=21)=1 8 . 所以随机变量 Y的分布列为 Y 17 18 19 20 21 P 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 【答案】 Y 17 18 19 20 21 P 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 4.(2016·西安高二检测)袋中有 4个红球、3个黑球,随机取球,设取到一个红 球得 2分,取到一个黑球得 1分,从袋中任取 4个球. (1)求得分 X的分布列; (2)求得分大于 6分的概率. 【解】 (1)从袋中随机摸 4个球的情况为 1红 3黑,2红 2黑,3红 1黑,4红. 分别得分为 5分,6分,7分,8分. 故 X的可能取值为 5,6,7,8. P(X=5)=C14C33 C47 = 4 35 , P(X=6)=C24C23 C47 = 18 35 , P(X=7)=C34C13 C47 = 12 35 , P(X=8)=C44C03 C47 = 1 35 . 故所求分布列为 X 5 6 7 8 P 4 35 18 35 12 35 1 35 (2)根据随机变量 X的分布列,可以得到得分大于 6 分的概率为 P(X>6)=P(X =7)+P(X=8)=12 35 + 1 35 = 13 35 .