高中人教a版数学必修4：第19课时 向量减法运算及其几何意义 word版含解析 4页

第 19 课时 向量减法运算及其几何意义 课时目标 1.理解向量减法的定义，掌握相反向量概念． 2．掌握向量减法运算的几何意义，能作出两个向量的差向量． 识记强化 1．定义：a－b＝a＋(－b)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 2．几何意义：以 A 为起点，作向量AB→＝a，AD→ ＝b，则DB→ ＝a－b.如图所示 . 课时作业 一、选择题 1．下列运算中正确的是( ) A.OA→ －OB→ ＝AB→ B.AB→－CD→ ＝DB→ C.OA→ －OB→ ＝BA→ D.AB→－AB→＝0 答案：C 解析：根据向量减法的几何意义，知OA→ －OB→ ＝BA→，所以 C 正确，A 错误；B 显然错误； 对于 D，AB→－AB→应该等于 0，而不是 0. 2．在四边形 ABCD 中，AB→＝DC→ ，|AB→＋AD→ |＝|AB→－AD→ |，则四边形 ABCD 必为( ) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 答案：B 解析：矩形的对角线相等． 3．已知|AB→|＝8，|AC→|＝5，则|BC→|的取值范围为( ) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 答案：C 解析：因BC→＝AC→－AB→，当AB→，AC→同向时，|BC→|＝8－5＝3；当AB→，AC→反向时，BC→＝8 ＋5＝13；而当AB→，AC→不平行时，3＜|BC→|＜13. 4．下列说法正确的是( ) A．两个方向相同的向量之差等于 0 B．两个相等向量之差等于 0 C．两个相反向量之差等于 0 D．两个平行向量之差等于 0 答案：B 解析：根据向量减法的几何意义，知只有两个相等向量之差等于 0，其他选项都是不正 确的． 5．化简以下各式： (1)AB→＋BC→＋CA→； (2)AB→－AC→＋BD→ －CD→ ； (3)OA→ －OD→ ＋AD→ ； (4)NQ→ ＋QP→ ＋MN→ －MP→ 则等于 0 的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：对于(1)：AB→＋BC→＋CA→＝0； 对于(2)：AB→－AC→＋BD→ －CD→ ＝(AB→＋BD→ )－(AC→＋CD→ )＝0； 对于(3)：OA→ －OD→ ＋AD→ ＝(OA→ ＋AD→ )－OD→ ＝OD→ －OD→ ＝0； 对于(4)：NQ→ ＋QP→ ＋MN→ －MP→ ＝(MN→ ＋NQ→ ＋QP→ )－MP→ ＝0. 6．边长为 1 的正三角形 ABC 中，|AB→－BC→|的值为( ) A．1 B．2 C. 3 2 D. 3 答案：D 解析：延长 CB 至 D，使 BC＝BD＝1.则－BC→＝BD→ ，故|AB→－BC→|＝|AB→＋BD→ |＝|AD→ |. 二、填空题 7．小王从宿舍要到东边 100 米的教室去，但他先到宿舍西边 50 米的收发室拿了一个包 裹，这时他需要向________边走________米才能到教室． 答案：东 150 解析：以向东为正方向，则 100－(－50)＝150，所以他要向东走 150 米才能到教室． 8．对于向量 a，b 当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||. 答案：a 与 b 同向 解析：当 a，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只 有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||. 9．如图，在四边形 ABCD 中，设AB→＝a，AD→ ＝b，BC→＝c，则DC→ 用 a，b，c 表示为________． 答案：a－b＋c 解析：DC→ ＝AC→－AD→ ＝AB→＋BC→－AD→ ＝a＋c－b. 三、解答题 10. 如图所示四边形 ABCD 为平行四边形，设AB→＝a，AD→ ＝b. (1)求当 a 与 b 满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|； (2)求当 a 与 b 满足什么条件时，四边形 ABCD 为菱形，正方形． 解：(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴|a＋b|＝|AB→＋AD→ |＝|AC→|，|a－b|＝|AB→－AD→ |＝|DB→ |，又|a＋b|＝|a－b|， ∴|AC→|＝|DB→ |. ∴▱ABCD 的对角线长相等， ∴▱ABCD 为矩形， ∴当 a 与 b 垂直时，|a＋b|＝|a－b|. (2)欲使 ABCD 为菱形，需|a|＝|b|， 当|a|＝|b|，且 a 与 b 垂直时，平行四边形为正方形． 11．如图，已知正方形 ABCD 的边长等于 1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，试作向量并分别 求模． (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c. 解：(1)如图，由已知得 a＋b＝AB→＋BC→＝AC→， 又AC→＝c，∴延长 AC 到 E，使|CE→|＝|AC→|. 则 a＋b＋c＝AE→，且|AE→|＝2 2. (2)作BF→＝AC→，连接 CF，则DB→ ＋BF→＝DF→ ， 而DB→ ＝AB→－AD→ ＝a－BC→＝a－b， ∴a－b＋c＝DB→ ＋BF→＝DF→ 且|DF→ |＝2. 能力提升 12．下列各式中不能化简为AD→ 的是( ) A．(AB→－DC→ )－CB→ B.AD→ －(CD→ ＋DC→ ) C．－(CD→ ＋MC→ )－(DA→ ＋DM→ ) D．－BM→ －DA→ ＋MB→ 答案：D 解析：因为(AB→－DC→ )－CB→ ＝AB→＋CD→ ＋BC→ ＝AB→＋BD→ ＝AD→ ；AD→ －(CD→ ＋DC→ )＝AD→ －0 ＝AD→ ；－(CD→ ＋MC→ )－(DA→ ＋DM→ )＝－MD→ －DA→ －DM→ ＝DM→ ＋AD→ －DM→ ＝AD→ ；－BM→ －DA→ ＋ MB→ ＝MB→ ＋AD→ ＋MB→ ＝AD→ ＋2MB→ . 13．探究不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的等号成立的条件． 解：若向量 a、b 至少有一个零向量，不等式两端的等号都成立． 若向量 a、b 皆为非零向量，则当向量 a、b 反向时，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的 右端等号成立； 当向量 a、b 同向时，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的左端等号成立．