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- 2021-06-16 发布
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2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷二
数学Ⅰ
参考公式:
样本数据 1x , 2x ,…, nx 的方差 2
2
1
1 n
i
i
s x xn
,其中
1
1 n
i
i
x xn
柱体的体积V Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高.
锥体的体积 1
3V Sh ,其中 S 是椎体的底面积, h 是椎体的高.
一.填空题:本题共 14 小题.请把答案填写在答题卡相应位置上
1.集合 2 1 0A x x , 3 ,xB y y x R ,则 A B ________.
2.复数 1z i ( i 为虚数单位),则共轭复数 z 的虚部________.
3.已知向量 a
, b
满足 1a , 2b , 3, 2a b ,则 2a b
________.
4.在等差数列 na 中, nS 为其前 n 项的和,已知 8 133 5a a ,且 1 0a ,若 nS 取得最大值,
则 n ________.
5.甲、乙两队进行排球比赛,根据以往的经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.设各局
比赛相互间没有影响,且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制,则甲以 3:1 获胜的
概率是________.
6.已知 A,B,P 是双曲线
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上的不同三点,且 0OA OB ( O 点为
坐标原点),若直线 PA,PB 的斜率乘积 3
4
,则该双曲线的离心率等于________.
7.设常数 a R ,如果
5
2 ax x
的二项展开式中 x 项的系数为-80,那么 a ________.
8.奇函数 f x 在区间 ,0 上单调递减,且 1 0f ,则不等式 1 1 0x f x 的解集
是________.
9.已知两点 A(-1,0),B(1,0),若直线 0x y a 上存在点 P 满足 0AP BP
,则实
数 a 的取值范围是________.
10.如图,正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1,中心为 O , 1
2BF BC , 1 1
1
4A E A A ,则四
面体 OEBF 的体积为________.
11.已知 3cos 4 5x
, 3 5
4 4x ,则
2sin2 2sin
1 tan
x x
x
________.
12. O 是 ABC 内一点,且 2 2 0OA OB OC , ABC 和 OBC 的面积分别是
ABCS 和 OBCS ,则 OBC
ABC
S
S
________.
13.函数 f x 是定义 R 在上的偶函数,且满足
2 , 0,1
, 1,2
x x
f x
g x x
, 2f x f x ,
则曲线 y f x 与 3logy x 的交点个数为________.
14.A,B 分别为 1C : 2 1 0x y 和 2C : 2 1 0y x 的点,则 AB 的最小值为________.
二.解答题:本大题共 6 小题.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.
15. ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b ,c .已知 sin sin sina c A C a b B .
(Ⅰ)求角 C 的大小;
(Ⅱ)求 sin sinA B 的最大值.
16.如图 1,已知菱形 AECD 的对角线 AC,DE 交于点 F,点 E 为 AB 的中点.将 ADE 沿线
段 DE 折起到 PDE 的位置,如图 2 所示.
(Ⅰ)求证:DE⊥平面 PCF;
(Ⅱ)求证:平面 PBC⊥平面 PCF;
(Ⅲ)在线段 PD、BC 上是否分别存在点 M,N,使得平面 CFM//平面 PEN?若存在,请指
出点 M,N 的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
17.如图,圆 O 是一半径为 20 米的圆形草坪,现规划在草坪上建一个广场,广场形状如图
中虚线部分所示的曲边四边形,其中 A,B 两点在 O 上,A,B,C,D 恰是一个正方形的
四个顶点.根据规划要求,在 A,B,C,D 四点处安装四盏照明设备,从圆心 O 点出发,在
地下铺设 4 条到 A,B,C,D 四点线路 OA,OB,OC,OD.
(Ⅰ)若正方形边长为 20 米,求广场的面积;
(Ⅱ)求铺设的 4 条线路 OA,OB,OC,OD 总长度的最小值.
18.已知抛物线 C: 2 4x y ,过点(2,3)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,抛物线 C 在点 A,
B 处的切线交于点 P.
(Ⅰ)当点 A 的横坐标为 4 时,求点 P 的坐标;
(Ⅱ)若 Q 是抛物线 C 上的动点,当 PQ 取最小值时,求点 Q 的坐标及直线 l 的方程.
19.已知函数 ln ,x axf x a Rx
.
(Ⅰ)若函数 f x 只有两个零点,求实数 a 的取值范围;
(Ⅱ)设函数 f x 的两个零点为 1x , 2x ,且 1 2x x ,求证: 1 2 2x x e .
20.记无穷数列 na 的前 n 项中最大值为 nM ,最小值为 nm ,令
2
n n
n
M mb ,则称 nb 是
na 的“极差数列”.
(Ⅰ)若 3 2na n ,求 nb 的前 n 项和;
(Ⅱ)证明: nb 的“极差数列”仍是 nb ;
数学Ⅱ(附加题)
21【选做题】:本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作
答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修 4-2:矩阵与变换]
已知矩阵 2 5
1 3A
, 4 6
2 1B
,求二阶方阵 X,满足 AX=B.
B.[选修 4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系 xOy 中,直线 l :
32 cos 4
31 sin 4
x t
y t
( t 为参数),曲线C : 2cos
sin
x
y a
( 为
参数),其中 0a .若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右上方,求 a 的取值范围.
C.[选修 4-5:不等式选讲]
已知正数 x , y , z 满足 1x y z .
(Ⅰ)求证:
2 2 2 1
2 3 2 3 2 3 5
x y z
y z z x x y
;
(Ⅱ)求 2
16 16 16x y z 的最小值.
【必做题】第 22 题、第 23 题.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
22.在如图所示的四棱锥 F ABCD 中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB//CD,∠DAB=60°,
FC⊥平面 ABCD,CB=CD=CF.
(Ⅰ)求直线 DF 与面 BFC 所成角的正弦值;
(Ⅱ)求二面角 D BF C 的余弦值.
23.对于正整数 n ,如果 k k N 个整数 1a , 2a ,…, ka 满足 1 21 ka a a n ,
且 1 2 ka a a n ,则称数组 1 2, , , ka a a 为 n 的一个“正整数分拆”.记 1 2, , , ka a a 均
为偶数的“正整数分拆”的个数为 1 2, , , ,n kf a a a 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 ng .
(Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数 4n n ,设 1 2, , , ka a a 是 n 的一个“正整数分拆”,且 1 2a ,
求 k 的最大值.
参考答案:
2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷二
数学Ⅰ答案
一.填空题
1. 1, 2.-1 3. 2 2 4.20 5.0.2592 6. 7
2
7.-2 8. 2 0x x x 或
9. 2, 2 10. 1
96
11. 28
75
12. 1
5
13.10 14. 3 2
4
二、解答题
15.解:(Ⅰ)由 sin sin sina c A C a b B
2 2 22 2 2a c Ra Rc a b Rb a b c ab .
由
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
,又∵ 0 C ,∴
3C .
即角 C 的大小
3
.
(Ⅱ) 2 1 1sin sin sin sin sin 23 2 6 4A B A A A
∵ 20 3A
∴当
3A 时, sin sinA B 的最大值为 3
4
.
16.解:(Ⅰ)
在菱形 AECD 中,由条件,知:DE⊥PF,DE⊥AF, AF PF F
∴DE⊥平面 PCF
(Ⅱ)四边形 AECD 为菱形,∴AE=DC,AE//DC;
又∵点 E 为 AB 的中点,∴EB= DC,EB// DC,
即四边形 DEBC 为平行四边形.
由(Ⅰ)知,DE⊥平面 PCF,∴BC⊥平面 PCF.
又∵BC 面 PCB
∴平面 PBC⊥平面 PCF.
(Ⅲ)存在满足条件的 M,N,且 M,N 分别是 PD,BC 的中点.
如图,分别取 PD,BC 的中点 M,N,连接 MF,CM,EN,PN.
∵四边形 DEBC 为平行四边形,
∴EF//CN,EF= 1
2 BC=CN,∴FC//EN
在 PDE 中,M,F 分别是 PD,DE 的中点,MF//PE
又∵EN,PE 面 PEN, PE EN E ,ME,CF 面 CMF, MF CF F
∴平面 CFM//平面 PEN.
17.解:(Ⅰ)
连接 AB,显然正方形 ABCD 的面积为 400ABCDS .
∵OA=OB=AB=20,∴ AOB 为正三角形,则
3AOB ,
故扇形 AOB 的面积为
2 21 1 200202 2 3 3AOBs r .
又∵ AOB 的面积 23 20 100 34ABCS .
∴弓形面积为
200 -100 33ABCAOBS S S 弓形 .
故广场面积为 200400 100 33ABCDS S 弓形 平方米.
(Ⅱ)过点 O 作 OK⊥CD,垂足为 K,过点 O 作 OH⊥AD(或其延长线),垂足为 H.
设 0 4OAD
,则 20sinOH , 20cosAH .
∴ 2 40sin 20cosDH AD AH OH AH .
∴ 22 2 2400sin 40sin 20cos 20 3 2 2 sin 2 4OD OH DH
.
当
8
时, 20 2 1OD 最小值
故铺设的 4 条线路 OA,OB,OC,OD
总长度的最小值 2 20 2 1 40 40 2 米.
18.解:(Ⅰ)设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,当 1 4x 时, 1 4y .
此时直线 AB 的方程为: 4 3 14 4 24 2 2y x y x
AB 直线方程与抛物线方程联立
2
1 22
4
y x
x y
,得: 2 2 8 0x x
由韦达定理, 24 8x ,∴ 2 2x , 2 1y .
由 2 4x y ,得: ' 2
xy .∴ 1 22AP
xk , 2 12BP
xk .
AP 直线方程: 4 2 4 2 4y x y x ①
BP 直线方程: 1 1 2 1y x y x ②
联立①②,得 1px , 2py .
故点 P 的坐标(1,-2).
(Ⅱ)设
2
1
1, 4
xA x
,
2
2
2 , 4
xB x
,AB 直线方程: 2 3y k x
AB 直线方程与抛物线方程联立
2
3 2
4
y kx k
x y
,得:
2 4 4 3 2 0x kx k
由韦达定理,
1 2
1 2
4
4 2 3
x x k
x x k
AP 直线方程:
2 2
1 1 1 1
14 2 2 4
x x x xy x x y x ③
BP 直线方程:
2 2
2 2 2 2
24 2 2 4
x x x xy x x y x ④
联立③④,得 1 2 22p
x xx k ,
2
1 1 2 1 1 2 2 32 2 4 4p
x x x x x xy k .
所以点 P 的轨迹方程: 3y x .
设 ,Q QQ x y ,则
2
23 2 843 8 2
2 2 4 2 4 2
Q
Q
QQ Q
x
x xx y
PQ
当 2Qx 时, PQ 取最小值 2 ,此时 1Qy .
222 2 1 2 3 2PQ k k ,得 3
2k .
此时,AB 直线方程: 3 32 32 2y x y x
故点 Q 的坐标(2,1),直线 l 的方程 3
2y x .
19.解:(Ⅰ)出题意知, ln 0x ax ,得 ln xa x
,
令 ln xg x x
, 1 ln' 0xg x x
,得 x e
∴ g x 在(0,e)单调递增,在(e,+∞)单调递减. 1g x g e e
极大值 .
g(1)=0,当 x∈(e,+∞),g(x)>0.
故 10,a e
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,不妨设 2 1 1x e x ,
1 1
2 1 2 1
2 2
ln ln lnln
x ax x x a x xx ax
;
只要证 1 2 2 1 1
2 1 1
1
2 ln ln ln
x x x x x ex x x a
即可.
令 2
1
x tx
,则 1t .
则
2
1 2 2 1 2 1
22 1 1
1
1 1ln 2 ln 2 02 ln ln 11
x
x x x x x x ttxx x x t
x
.
令 1ln 2 11
tg t t tt
.
2
2 2
11 4' 0
1 1
tg t t t t t
.
∴ g t 在(1,+∞)单调递增, 1 0g t g ,得证.
∴ 1 2 2x x e
20.解:(Ⅰ)因为 na 为递增数列,故 3 2nM n , 1nm .
∴ 3 2 1 3 12 2n
nb n
∴ nb 的前 n 项和为 213 3 3
2 2 4 4n
n nS n n
.
(Ⅱ)因为 1 2 1 2 1max , , , max , , , 1,2,3,n na a a a a a n ,
1 2 1 2 1min , , , min , , , 1,2,3,n na a a a a a n ,
∴ 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2max , , , min , , , max , , , min , , ,n n n na a a a a a a a a a a a
∴ 1 1,2,3,n nb b n .
又因为 1 1 1 0b a a ,
∴ 1 2 1 2 1max , , , min , , ,n n n nb b b b b b b b b ,
所以 nb 的“极差数列”仍是 nb .
21【选做题】
A.[选修 4-2:矩阵与变换]
解:由题意,得 2 5 11 3A .
∴ 1 3 51
1 2A AA
.
由 AX B ,得 1X A B ,所以 3 5 4 6 2 23
1 2 2 1 0 8X
.
所求的二阶方阵 2 23
0 8X
.
B.[选修 4-4:坐标系与参数方程]
解:直线 l 的普通方程: 3 0x y .
由题意, 2cos sin 3 0a , 2 4 sin 3a
∴ 2 4 3a ,解得 0 5a .
C.[选修 4-5:不等式选讲]
解:(Ⅰ)
2 2 2
22 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
x y zy z z x x y x y zy z z x x y
∵ 1x y z
∴
22 2 2 1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5
x y zx y z
y z z x x y y z z x x y
.
(Ⅱ) 2 2316 16 16 3 16x y z x y z
当且仅当 2x y z 时,“=”成立
∵ 1x y z ∴ 22 1z z , 1
2z .
当 1
4x y , 1
2z 时, 2
33 416 16 16 3 16 6x y z
故 2
16 16 16x y z 的最小值为 6.
【必做题】
22.解:
方法一:定义法
(Ⅰ)过点 C 作 CG⊥BC 交 BD 于点 G,过点 G 作 GE//DF 交 BF 于点 E,连接 CE.
故直线 GE 与平面 BFC 所成的角即为直线 DF 与平面 BFC 所成的角.
∵FC⊥平面 ABCD,FC 平面 FCB
∴平面 ABCD⊥平面 FCB
又∵
ABCD FCB BC
CG BC CG FCB
CG ABCD
平面 平面
平面
平面
故 CEG 直线 GE 与平面 BFC 所成的角.
设 BC=DC=CF= a .
在 BCD 中,∵BC=CD, 120DCB
∴ 30BDC DBC , 2 cos30 3BD a a .
在 Rt GCB 中, 3tan30 3GC BC a , 2 32 3BG CG a ;
在 BDF 中,
2 3
2 23 2 33
aGE BG GE a aDF BD a
.
在 Rt GCE 中,
3
63sin 42 2
3
aCGCEG GE a
.
故直线 DF 与平面 BFC 所成的角的正弦值 6
4
.
方法二:空间向量(略)
(Ⅱ)方法一:找平面角
由(Ⅰ)知,CG⊥平面 FCB,过点 C 作 CH⊥BF 交 BF 于点 H,
连接 GH,显然 H 是 BF 的中点.
∴CH⊥BF,GH⊥BF.
即 CHG 为二面角 D BF C 的平面角.
在 Rt FCB 中, 2
2BC CF a CH a ;
在 Rt GCB 中, 3
3GC a ;
在 Rt GCH 中,
2 2
2 2 3 2 30
3 2 6GH GC CH a a a
;
2
152cos 530
6
aCHCHG GH a
.
即二面角 D BF C 的平面角的余弦值 15
5
.
方法二:空间向量(略)
23.解:解:(Ⅰ)(1,1,1,1),(1,1,2),(1,3),(2,2),(4).
(Ⅱ)由题意,知 1 22 ka a a n ,且 1 2 ka a a n ,
得 1 2 + 2kn a a a k ,即
2
nk .
∴当 n 是偶数时, k 的最大值是
2
n
(此时,
2
2,2, ,2
k
共有 个
是 n 的一个“正整数分拆”);
当 n 是奇数时, k 的最大值是 1
2
n
(此时,
1 2
2,2, ,2,3
k
共有 个
是 n 的一个“正整数分拆).
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