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  • 2021-06-16 发布

2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学密卷二(含附加题) Word版含答案

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2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷二 数学Ⅰ 参考公式: 样本数据 1x , 2x ,…, nx 的方差  2 2 1 1 n i i s x xn    ,其中 1 1 n i i x xn    柱体的体积V Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高. 锥体的体积 1 3V Sh ,其中 S 是椎体的底面积, h 是椎体的高. 一.填空题:本题共 14 小题.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.集合  2 1 0A x x   ,  3 ,xB y y x R   ,则 A B  ________. 2.复数 1z i  ( i 为虚数单位),则共轭复数 z 的虚部________. 3.已知向量 a  , b  满足 1a  , 2b  ,  3, 2a b   ,则 2a b   ________. 4.在等差数列 na 中, nS 为其前 n 项的和,已知 8 133 5a a ,且 1 0a  ,若 nS 取得最大值, 则 n  ________. 5.甲、乙两队进行排球比赛,根据以往的经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.设各局 比赛相互间没有影响,且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制,则甲以 3:1 获胜的 概率是________. 6.已知 A,B,P 是双曲线   2 2 2 2 1 0x y a ba b      上的不同三点,且 0OA OB    ( O 点为 坐标原点),若直线 PA,PB 的斜率乘积 3 4 ,则该双曲线的离心率等于________. 7.设常数 a R ,如果 5 2 ax x     的二项展开式中 x 项的系数为-80,那么 a  ________. 8.奇函数  f x 在区间 ,0 上单调递减,且  1 0f   ,则不等式    1 1 0x f x   的解集 是________. 9.已知两点 A(-1,0),B(1,0),若直线 0x y a   上存在点 P 满足 0AP BP    ,则实 数 a 的取值范围是________. 10.如图,正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1,中心为 O , 1 2BF BC  , 1 1 1 4A E A A  ,则四 面体 OEBF 的体积为________. 11.已知 3cos 4 5x      , 3 5 4 4x   ,则 2sin2 2sin 1 tan x x x   ________. 12. O 是 ABC 内一点,且 2 2 0OA OB OC      , ABC 和 OBC 的面积分别是 ABCS 和 OBCS ,则 OBC ABC S S   ________. 13.函数  f x 是定义 R 在上的偶函数,且满足         2 , 0,1 , 1,2 x x f x g x x     ,    2f x f x   , 则曲线  y f x 与 3logy x 的交点个数为________. 14.A,B 分别为 1C : 2 1 0x y   和 2C : 2 1 0y x   的点,则 AB 的最小值为________. 二.解答题:本大题共 6 小题.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b ,c .已知     sin sin sina c A C a b B    . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin sinA B 的最大值. 16.如图 1,已知菱形 AECD 的对角线 AC,DE 交于点 F,点 E 为 AB 的中点.将 ADE 沿线 段 DE 折起到 PDE 的位置,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:DE⊥平面 PCF; (Ⅱ)求证:平面 PBC⊥平面 PCF; (Ⅲ)在线段 PD、BC 上是否分别存在点 M,N,使得平面 CFM//平面 PEN?若存在,请指 出点 M,N 的位置,并证明;若不存在,请说明理由. 17.如图,圆 O 是一半径为 20 米的圆形草坪,现规划在草坪上建一个广场,广场形状如图 中虚线部分所示的曲边四边形,其中 A,B 两点在 O 上,A,B,C,D 恰是一个正方形的 四个顶点.根据规划要求,在 A,B,C,D 四点处安装四盏照明设备,从圆心 O 点出发,在 地下铺设 4 条到 A,B,C,D 四点线路 OA,OB,OC,OD. (Ⅰ)若正方形边长为 20 米,求广场的面积; (Ⅱ)求铺设的 4 条线路 OA,OB,OC,OD 总长度的最小值. 18.已知抛物线 C: 2 4x y ,过点(2,3)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,抛物线 C 在点 A, B 处的切线交于点 P. (Ⅰ)当点 A 的横坐标为 4 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)若 Q 是抛物线 C 上的动点,当 PQ 取最小值时,求点 Q 的坐标及直线 l 的方程. 19.已知函数   ln ,x axf x a Rx   . (Ⅰ)若函数  f x 只有两个零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数  f x 的两个零点为 1x , 2x ,且 1 2x x ,求证: 1 2 2x x e  . 20.记无穷数列 na 的前 n 项中最大值为 nM ,最小值为 nm ,令 2 n n n M mb  ,则称 nb 是  na 的“极差数列”. (Ⅰ)若 3 2na n  ,求 nb 的前 n 项和; (Ⅱ)证明: nb 的“极差数列”仍是 nb ; 数学Ⅱ(附加题) 21【选做题】:本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作 答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-2:矩阵与变换] 已知矩阵 2 5 1 3A      , 4 6 2 1B      ,求二阶方阵 X,满足 AX=B. B.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中,直线 l : 32 cos 4 31 sin 4 x t y t           ( t 为参数),曲线C : 2cos sin x y a      ( 为 参数),其中 0a  .若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右上方,求 a 的取值范围. C.[选修 4-5:不等式选讲] 已知正数 x , y , z 满足 1x y z   . (Ⅰ)求证: 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 5 x y z y z z x x y      ; (Ⅱ)求 2 16 16 16x y z  的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22.在如图所示的四棱锥 F ABCD 中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB//CD,∠DAB=60°, FC⊥平面 ABCD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求直线 DF 与面 BFC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求二面角 D BF C  的余弦值. 23.对于正整数 n ,如果  k k N  个整数 1a , 2a ,…, ka 满足 1 21 ka a a n     , 且 1 2 ka a a n    ,则称数组  1 2, , , ka a a 为 n 的一个“正整数分拆”.记 1 2, , , ka a a 均 为偶数的“正整数分拆”的个数为 1 2, , , ,n kf a a a 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 ng . (Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数  4n n  ,设  1 2, , , ka a a 是 n 的一个“正整数分拆”,且 1 2a  , 求 k 的最大值. 参考答案: 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷二 数学Ⅰ答案 一.填空题 1. 1, 2.-1 3. 2 2 4.20 5.0.2592 6. 7 2 7.-2 8. 2 0x x x 或 9. 2, 2   10. 1 96 11. 28 75 12. 1 5 13.10 14. 3 2 4 二、解答题 15.解:(Ⅰ)由     sin sin sina c A C a b B         2 2 22 2 2a c Ra Rc a b Rb a b c ab         . 由 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab    ,又∵ 0 C   ,∴ 3C  . 即角 C 的大小 3  . (Ⅱ) 2 1 1sin sin sin sin sin 23 2 6 4A B A A A               ∵ 20 3A   ∴当 3A  时, sin sinA B 的最大值为 3 4 . 16.解:(Ⅰ) 在菱形 AECD 中,由条件,知:DE⊥PF,DE⊥AF, AF PF F ∴DE⊥平面 PCF (Ⅱ)四边形 AECD 为菱形,∴AE=DC,AE//DC; 又∵点 E 为 AB 的中点,∴EB= DC,EB// DC, 即四边形 DEBC 为平行四边形. 由(Ⅰ)知,DE⊥平面 PCF,∴BC⊥平面 PCF. 又∵BC  面 PCB ∴平面 PBC⊥平面 PCF. (Ⅲ)存在满足条件的 M,N,且 M,N 分别是 PD,BC 的中点. 如图,分别取 PD,BC 的中点 M,N,连接 MF,CM,EN,PN. ∵四边形 DEBC 为平行四边形, ∴EF//CN,EF= 1 2 BC=CN,∴FC//EN 在 PDE 中,M,F 分别是 PD,DE 的中点,MF//PE 又∵EN,PE  面 PEN, PE EN E ,ME,CF  面 CMF, MF CF F ∴平面 CFM//平面 PEN. 17.解:(Ⅰ) 连接 AB,显然正方形 ABCD 的面积为 400ABCDS  . ∵OA=OB=AB=20,∴ AOB 为正三角形,则 3AOB   , 故扇形 AOB 的面积为  2 21 1 200202 2 3 3AOBs r        . 又∵ AOB 的面积 23 20 100 34ABCS    . ∴弓形面积为  200 -100 33ABCAOBS S S   弓形 . 故广场面积为 200400 100 33ABCDS S    弓形 平方米. (Ⅱ)过点 O 作 OK⊥CD,垂足为 K,过点 O 作 OH⊥AD(或其延长线),垂足为 H. 设 0 4OAD         ,则 20sinOH  , 20cosAH  . ∴ 2 40sin 20cosDH AD AH OH AH        . ∴  22 2 2400sin 40sin 20cos 20 3 2 2 sin 2 4OD OH DH               . 当 8   时,  20 2 1OD  最小值 故铺设的 4 条线路 OA,OB,OC,OD 总长度的最小值  2 20 2 1 40 40 2    米. 18.解:(Ⅰ)设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,当 1 4x  时, 1 4y  . 此时直线 AB 的方程为:  4 3 14 4 24 2 2y x y x      AB 直线方程与抛物线方程联立 2 1 22 4 y x x y      ,得: 2 2 8 0x x   由韦达定理, 24 8x   ,∴ 2 2x   , 2 1y  . 由 2 4x y ,得: ' 2 xy  .∴ 1 22AP xk   , 2 12BP xk    . AP 直线方程:  4 2 4 2 4y x y x      ① BP 直线方程:    1 1 2 1y x y x           ② 联立①②,得 1px  , 2py   . 故点 P 的坐标(1,-2). (Ⅱ)设 2 1 1, 4 xA x      , 2 2 2 , 4 xB x      ,AB 直线方程:  2 3y k x   AB 直线方程与抛物线方程联立   2 3 2 4 y kx k x y      ,得:  2 4 4 3 2 0x kx k    由韦达定理,   1 2 1 2 4 4 2 3 x x k x x k      AP 直线方程:   2 2 1 1 1 1 14 2 2 4 x x x xy x x y x      ③ BP 直线方程:   2 2 2 2 2 2 24 2 2 4 x x x xy x x y x      ④ 联立③④,得 1 2 22p x xx k  , 2 1 1 2 1 1 2 2 32 2 4 4p x x x x x xy k      . 所以点 P 的轨迹方程: 3y x  . 设  ,Q QQ x y ,则   2 23 2 843 8 2 2 2 4 2 4 2 Q Q QQ Q x x xx y PQ           当 2Qx  时, PQ 取最小值 2 ,此时 1Qy  .     222 2 1 2 3 2PQ k k        ,得 3 2k  . 此时,AB 直线方程:  3 32 32 2y x y x     故点 Q 的坐标(2,1),直线 l 的方程 3 2y x . 19.解:(Ⅰ)出题意知, ln 0x ax  ,得 ln xa x  , 令   ln xg x x  ,   1 ln' 0xg x x   ,得 x e ∴  g x 在(0,e)单调递增,在(e,+∞)单调递减.     1g x g e e  极大值 . g(1)=0,当 x∈(e,+∞),g(x)>0. 故 10,a e     . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,不妨设 2 1 1x e x   ,  1 1 2 1 2 1 2 2 ln ln lnln x ax x x a x xx ax       ; 只要证 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 ln ln ln x x x x x ex x x a      即可. 令 2 1 x tx  ,则 1t  . 则 2 1 2 2 1 2 1 22 1 1 1 1 1ln 2 ln 2 02 ln ln 11 x x x x x x x ttxx x x t x          . 令    1ln 2 11 tg t t tt    .         2 2 2 11 4' 0 1 1 tg t t t t t       . ∴  g t 在(1,+∞)单调递增,    1 0g t g  ,得证. ∴ 1 2 2x x e  20.解:(Ⅰ)因为 na 为递增数列,故 3 2nM n  , 1nm  . ∴  3 2 1 3 12 2n nb n    ∴ nb 的前 n 项和为   213 3 3 2 2 4 4n n nS n n    . (Ⅱ)因为     1 2 1 2 1max , , , max , , , 1,2,3,n na a a a a a n    ,     1 2 1 2 1min , , , min , , , 1,2,3,n na a a a a a n    , ∴        1 2 1 1 2 1 1 2 1 2max , , , min , , , max , , , min , , ,n n n na a a a a a a a a a a a       ∴  1 1,2,3,n nb b n    . 又因为 1 1 1 0b a a   , ∴    1 2 1 2 1max , , , min , , ,n n n nb b b b b b b b b     , 所以 nb 的“极差数列”仍是 nb . 21【选做题】 A.[选修 4-2:矩阵与变换] 解:由题意,得 2 5 11 3A   . ∴ 1 3 51 1 2A AA         . 由 AX B ,得 1X A B ,所以 3 5 4 6 2 23 1 2 2 1 0 8X                 . 所求的二阶方阵 2 23 0 8X      . B.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 解:直线 l 的普通方程: 3 0x y   . 由题意, 2cos sin 3 0a    ,  2 4 sin 3a      ∴ 2 4 3a   ,解得 0 5a  . C.[选修 4-5:不等式选讲] 解:(Ⅰ)         2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 x y zy z z x x y x y zy z z x x y                    ∵ 1x y z   ∴         22 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 x y zx y z y z z x x y y z z x x y             . (Ⅱ) 2 2316 16 16 3 16x y z x y z    当且仅当 2x y z  时,“=”成立 ∵ 1x y z   ∴ 22 1z z  , 1 2z  . 当 1 4x y  , 1 2z  时, 2 33 416 16 16 3 16 6x y z    故 2 16 16 16x y z  的最小值为 6. 【必做题】 22.解: 方法一:定义法 (Ⅰ)过点 C 作 CG⊥BC 交 BD 于点 G,过点 G 作 GE//DF 交 BF 于点 E,连接 CE. 故直线 GE 与平面 BFC 所成的角即为直线 DF 与平面 BFC 所成的角. ∵FC⊥平面 ABCD,FC  平面 FCB ∴平面 ABCD⊥平面 FCB 又∵ ABCD FCB BC CG BC CG FCB CG ABCD        平面 平面 平面 平面 故 CEG 直线 GE 与平面 BFC 所成的角. 设 BC=DC=CF= a . 在 BCD 中,∵BC=CD, 120DCB   ∴ 30BDC DBC    , 2 cos30 3BD a a   . 在 Rt GCB 中, 3tan30 3GC BC a   , 2 32 3BG CG a  ; 在 BDF 中, 2 3 2 23 2 33 aGE BG GE a aDF BD a     . 在 Rt GCE 中, 3 63sin 42 2 3 aCGCEG GE a     . 故直线 DF 与平面 BFC 所成的角的正弦值 6 4 . 方法二:空间向量(略) (Ⅱ)方法一:找平面角 由(Ⅰ)知,CG⊥平面 FCB,过点 C 作 CH⊥BF 交 BF 于点 H, 连接 GH,显然 H 是 BF 的中点. ∴CH⊥BF,GH⊥BF. 即 CHG 为二面角 D BF C  的平面角. 在 Rt FCB 中, 2 2BC CF a CH a    ; 在 Rt GCB 中, 3 3GC a ; 在 Rt GCH 中, 2 2 2 2 3 2 30 3 2 6GH GC CH a a a                  ; 2 152cos 530 6 aCHCHG GH a     . 即二面角 D BF C  的平面角的余弦值 15 5 . 方法二:空间向量(略) 23.解:解:(Ⅰ)(1,1,1,1),(1,1,2),(1,3),(2,2),(4). (Ⅱ)由题意,知 1 22 ka a a n     ,且 1 2 ka a a n    , 得 1 2 + 2kn a a a k    ,即 2 nk  . ∴当 n 是偶数时, k 的最大值是 2 n (此时,   2 2,2, ,2 k 共有 个 是 n 的一个“正整数分拆”); 当 n 是奇数时, k 的最大值是 1 2 n  (此时,   1 2 2,2, ,2,3 k 共有 个 是 n 的一个“正整数分拆).