南阳市 2016 年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题（文） 10页

南阳市 2016 年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题（文） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 {1,2,3}A  ， { | ( 1)( 2) 0, }B x x x x Z     ，则 A B  （ ） A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{ 1,0,1,2,3} 2.设复数 z 满足 3z i i   ，则 z  （ ） A．3 2i B． 3 2i C．1 2i D． 1 2i  3.已知向量 (1, )a m ， (3, 2)b   ，且 ( )a b b    ，则 m  （ ） A． 8 B． 6 C． -6 D． -8 4.已知不等式 2 2 3 0x x   的解集为 A ，不等式 2 6 0x x   的解集为 B ，不等式 2 0x ax b   的解集为 A B ，那么 a b 等于（ ） A． -3 B． 1 C. -1 D．3 5.已知等差数列{ }na 前 9 项的和为 27， 10 8a  ，则 100a  （ ） A． 97 B． 98 C. 99 D．100 6. ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 5a  ， 2c  ， 2cos 3A  ，则b  （ ） A． 2 B． 3 C. 2 D．3 7.在同一直角坐标系中，函数 ( ) ( 0)af x x x  ， ( ) logag x x 的图象可能是（ ） 8.若 0a b  ， 0 1c  ，则（ ） A． a bc c B． c ca b C. log logc ca b D． log loga bc c 9.如图是函数 sin( )( 0, 0)y A x A      的图象的一段，它的解析式为（ ） A． 2 sin(2 )3 3y x   B． 2 sin( )3 2 3 xy   C. 2 sin( )3 3y x   D． 2 2sin(2 )3 3y x   10. O 为平面上的定点， , ,A B C 是平面上不共线的三点，若 ( ) ( 2 ) 0OB OC OB OC OA         ， 则 ABC 是（ ） A． 以 AB 为底边的等腰三角形 B．以 BC 为底边的等腰三角形 C. 以 AB 为斜边的直角三角形 D．以 BC 为斜边 的直角三角形 11.下面四个图象中，有一个是函数 3 2 21( ) ( 1) 1( )3f x x ax a x a R      的导函数 ' ( )y f x 的图 象，则 ( 1)f   （ ） A． 1 3  或 5 3 B． 1 3  C. 5 3 D． 1 3 12.若 a 满足 lg 4x x  ，b 满足 10 4xx   ，函数 2 ( ) 2, 0( ) 2, 0 x a b x xf x x        ，则关于 x 的 方程 ( )f x x 的解的个数是（ ） A． 1 B． 2 C. 3 D．4 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设等比数列{ }na 的各项均为正数，其前 n 项和为 nS ，若 1 1a  ， 3 4a  ， 63kS  ，则 k  ． 14.设函数 3 1, 1 ( ) 2 , 1x x x f x x     ，则满足 ( )( ( )) 2 f af f a  的 a 的取值范围是 ． 15.设函数 12016 2015( ) 2017sin ( [ , ])2016 1 2 2 x xf x x x       的最大值为 M ，最小值为 N ，那么 M N  ． 16.某企业生产甲、乙两种产品均需用 ,A B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料 的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可 获得最大利润为 万元． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 10 分） 已知数列{ }na 是首项为 1，公差不为 0 的等差数列，且 1 2 5, ,a a a 成等比数列. （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若 1 1 n n n b a a   ， nS 是数列{ }nb 的前 n 项和，求证： 1 2nS  . 18. （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，且 cos cos 2 B b C a c    . （1）求角 B 的大小； （2）若 3b  ，求 ABC 的面积的最大值. 19. （本小题满分 12 分） 已知数列{ }na ，当 2n  时，满足 11 n n nS a a   . （1）求该数列的通项公式； （2）令 ( 1)n nb n a  ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT . 20. （本小题满分 12 分） 设函数 3 2( )f x x ax bx c    ，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))P f 处的切线方程为 3 1y x  . （1）若 ( )y f x 在 2x   时有极值，求 ( )f x 的表达式； （2）若函数 ( )y f x 在区间[ 2,1] 上单调递增，求实数b 的取值范围. 21. （本小题满分 12 分） 已知向量 3 3(cos ,sin )2 2 x xa  ， (cos , sin )2 2 x xb   ，且 [0, ]2x  . （1）求 a b  及| |a b  ； （2）若 ( ) 2 | |f x a b a b       的最小值是 3 2  ，求  的值. 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) (ln 1)f x ax x  （ a R 且 0a  ）. （1）求函数 ( )y f x 的单调递增区间； （2）当 0a  时，设函数 31( ) ( )6g x x f x  ，函数 '( ) ( )h x g x . ①若 ( ) 0h x  恒成立，求实数 a 的取值范围； ②证明： 2 2 2 2 2 *ln(1 2 3 ) 1 2 3 ( )en n n N           . 试卷答案 一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．D 8. C 9. D 10．B 11．A 12．C 解析：1．    1 2 0 ZB x x x x    ，  1 2 Zx x x    ， ， ∴  0 1B  ， ，∴  0 1 2 3A B  ， ， ， ，故选 C． 2．由 i 3 iz    得 3 2iz   ，所以 3 2iz   ，故选 B. 3．  4 2a b m    ， ，∵ ( )a b b    ，∴ ( ) 12 2( 2) 0a b b m        解得 8m  ，故选 A． 4．由题意得 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数 的关系可知，a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3, 故选 A 5．由等差数列性质可知：  1 9 5 9 5 9 9 2 9 272 2 a a aS a      ，故选 5 3a  ， 而 10 8a  ，因此公差 10 5 110 5 a ad   ∴ 100 10 90 98a a d   ．故选 B． 6．由余弦定理得 3 22245 2  bb ，解得 3b （ 3 1b 舍去），故选 D. 7．根据对数函数性质知，a>0，所以幂函数是增函数，排除 A(利用(1,1)点也可以排除)； 选项 B 从对数函数图像看 a<1，与幂函数图像矛盾；选项 C 从对数函数图像看 a>1， 与幂函数图像矛盾，故选 D. 8．根据指数函数与对数函数的性质分析比较可得, 故选 C． 9．由图像知 A＝2 3 ，1 2 T＝π 2 ，所以 T＝π，所以ω＝2， 又由－7π 12 ×2＋φ＝2kπ＋3 2 π，k∈Z，所以当 k＝－1 时，φ＝2π 3 ； 所以 y＝2 3 sin 2x＋2π 3 .故选 D. 10 ． 因 为 ( ) ( 0 2 ) 0OB OC OB C OA         , 所 以 ( 0 ) 0CB OB OA C OA         ， ( ) ( ) 0AB AC AB AC       , 2 2 0AB AC   , 2 2 =0AB AC  ,即 =AB AC   ， 故选 B. 11．∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图像开口向上． 根据图像分析，若图像不过原点，则 a＝0，f(－1)＝5 3 ； 若图像过原点，则 a2－1＝0，又对称轴 x＝－a>0，∴a＝－1， ∴f(－1)＝－1 3 .故选 A． 12．∵a 满足 x+lgx=4，b 满足 x+10x=4， ∴a，b 分别为函数 y=4-x 与函数 y=lgx，y=10x 图象交点的横坐标 由于 y=x 与 y=4-x 图象交点的横坐标为 2，函数 y=lgx，y=10x 的图象关于 y=x 对称 ∴a+b=4 ∴函数 f（x）= 当 x≤0 时，关于 x 的方程 f（x）=x，即 x2+4x+2=x，即 x2+3x+2=0， ∴x=-2 或 x=-1，满足题意 当 x＞0 时，关于 x 的方程 f（x）=x，即 x=2，满足题意 ∴关于 x 的方程 f（x）=x 的解的个数是 3 故选 C． 二、填空题 13．6 14． 2 3 ，＋∞ 15．4 031 16．18 解析：13．设等比数列 na 公比为 q，由已知 a1＝1，a3＝4，得 q2＝a3 a1 ＝4.又 na 的各项均为正数， ∴q＝2.而 Sk＝1－2k 1－2 ＝63，∴2k－1＝63，解得 k＝6. 14．由 f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1. 当 a＜1 时，有 3a－1≥1，∴a≥2 3 ，∴2 3 ≤a＜1. 当 a≥1 时，有 2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 综上，a≥2 3 . 15．依题意得，f(x)＝2 016－ 1 2016 1x  ＋2 017sin x， 注意到 1 2016 1x  ＋ 1 2016 1x  ＝1，且函数 f(x)在 －π 2 ，π 2 上是增函数(注：函数 y＝－ 1 2016 1x  与 y＝2 017sin x 在 －π 2 ，π 2 上都是增函数)，故 M＋N＝f π 2 ＋f －π 2 ＝4 032－1＝4 031. 16．设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨，每天所获利润为 z 万元，则由题意可得， 3x＋2y≤12， x＋2y≤8， x≥0，y≥0， z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线 z＝3x＋4y 经 过点 A(2,3)时，z 取最大值，最大值为 3×2＋4×3＝18. 三、解答题 17．解析：（I）设数列 na 公差为 d，且 d≠0，∵a1，a2，a5 成等比数列，a1=1 ∴（1+d）2=1×（1+4d）解得 d=2，∴an=2n-1．……………………………………5 分 （Ⅱ） 1 1   nn n aab = 1 1 1( )2 2 1 2 1n n   ∴Sn=b1+b2+…+bn= 1 2 （1- 1 3 ）+ 1 2 （ 1 3 - 1 5 ）+…+ 1 1 1( )2 2 1 2 1n n   = 1 2 （1- 1 3 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 1 )2 1 2 1n n   = 1 2 (1- 1 )2 1n  ＜ 1 2 ………………………………………………………………10 分 18. 解析：（Ⅰ）∵在△ABC 中， ， ∴根据正弦定理，得 =﹣ ， 去分母，得 cosB（2sinA+sinC）=﹣sinBcosC，……… ……………………………2 分 即 2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得 2cosBsinA+sin（B+C）=0， ∵△ABC 中，sinA=sin （B+C）， ∴2cosBsinA+sinA=0，即 sinA（2cosB+1）=0．……………………………………4 分 又∵△ABC 中，sinA＞0，∴2cosB+1=0，可得 cosB=﹣ ． ∵B∈（0，π），∴B= 2 3  ． …………………………………………………………6 分 （Ⅱ）∵b=3，cosB=cos π=﹣ ， ∴由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB，即 9=a2+c2+ac≥3ac，即 ac≤3， ……………8 分 ∴S△ABC= acsinB≤ ×3× = （当且仅当“a=c”时取“=”号）， 则△ABC 面积最大值为 ． ………………………………………………………12 分 19．解析：（Ⅰ）当 2n 时， nnn aaS  11 ，则 1 11 n n nS a a    ， 作差得： 1 1 12n n n na a a a     ， 1 1 2n na a   ．………………………………2 分 又 2 1 2 1 2 1 2 1 11 1 2S a a a a a a a        即 ， 由已知 0na  ， 1 1 2 n n a a    ，   na 是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列，………………………………………4 分 11 1 1 2 2 2 n n na    （ ） ． ……………………………………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 1 2n n nb  ， ……………………………………………………7 分 1 2 3 1 2 3 4 1 2 2 2 2 2n n n n nT         ，① 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 2 2 2 2 2n n n n nT         ，② 33 2n n nT    ． ………………………………………………………………………12 分 20. 解析：（Ⅰ）由 cbxaxxxf  23)( 得 baxxxf  23)(' 2 ， )(xfy  在点 ))1(,1( fP 处的切线方程为 )1)(1(')1(  xffy ， 即 )1)(23()1(  xbacbay . 而 )(xfy  在点 ))1(,1( fP 处的切线方程为 13  xy ， 故           3 02 41 323 cba ba cba ba 即 ……………………………………………3 分 ∵ )(xfy  在 2x 处有极值，故 .124-02-'  baf ，）（ 联立解得 542)(,5,4,2 23  xxxxfcba . ………………………6 分 （Ⅱ）因为 baxxxf  23)(' 2 ，由（Ⅰ）知 bbxxxfba  23)('.02 ， 依题意在 ]1,2[ 上恒有 0)(' xf ，即 03 2  bbxx 即 23)1( xxb  在 ]1,2[ 上恒成立. 当 1x 时恒成立； 当 )1,2[x 时， )0,3[1 x ， 61 3)1(31 3 2  xxx xb ……………8 分 而 ))0,3[1(61 3)1(3  xxx  当且仅当 0x 时成立 061 3)1(3  xx 要使 61 3)1(3  xxb 恒成立，只须 0b . …………………………………11 分 所以实数 b 的取值范围 0, ……………………………………………………12 分 21.解析：（Ⅰ）a·b＝cos 3x 2 ·cos x 2 －sin 3x 2 ·sin x 2 ＝cos 2x. ………………2 分 |a＋b|＝ a2＋2a·b＋b2 ＝ 2＋2cos 2x＝2 cos2x＝2|cos x|. …………………………………………4 分 ∵x∈ 0，π 2 ，∴cos x≥0， ∴|a＋b|＝2cos x. …………………………………………………………6 分 （Ⅱ）f(x)＝cos 2x－4λcos x， 即 f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. ………………………………………………7 分 ∵x∈ 0，π 2 ，∴0≤cos x≤1. ①当λ<0 时，当且仅当 cos x＝0 时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾． ②当 0≤λ≤1 时，当且仅当 cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2， 即－1－2λ2＝－3 2 ，解得λ＝1 2 . ③当λ>1 时，当且仅当 cos x＝1 时，f(x)取得最小值 1－4λ， 即 1－4λ＝－3 2 ，解得λ＝5 8 ，这与λ>1 相矛盾． ………………………………11 分 综上所述，λ＝1 2 即为所求．…………………………………………………………12 分 22.解析：（Ⅰ）∵ ( ) (ln 1)f x ax x  ，∴x＞0 ……………………………1 分 又     1ln 1 lnf x a x x a xx          ， ……………………………2 分 令   0f x  ， 当 0a  时，解得 1x  ；当 0a  时，解得 0 1x  ， …………………………3 分 所以当 0a  时，函数  y f x 的单调递增区间是  1, ； 当 0a  时，函数  y f x 的单调递增区间是  0,1 .……………………………4 分 （Ⅱ）(1) 2 21 1( ) ( ) ( ) ln2 2h x g x x f x x a x      ，由题意得  min 0h x  ， 因为   2a x ah x x x x     ( )( )x a x a x   ， 所以当 (0, )x a 时，   0h x  ，  h x 单调递减； 当 ( , )x a  时，   0h x  ，  h x 单调递增； ……………………………6 分 min 1( ) ( ) ln2h x h a a a a    ， 由 1 ln 02 a a a  ，得 ln 1a  ，解得 0 ea  ， 所以实数 a 的取值范围是 0,e ．……………………………………………………8 分 (2)由（1）知 ea  时，   21 eln 02h x x x   在  0,x  上恒成立， 当 ex  时等号成立， *x N 时， 22eln x x ，令 1,2,3 ,x n  ，累加可得   2 2 2 22e ln1 ln 2 ln3 ln 1 2 3n n          ， 即  2 2 2 2e 2ln 1 2 3 1 2 3 ,n n           *nN .……………………12 分