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- 2021-06-16 发布
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秘密★启用前【考试时间:11月 30日 15:00-17:00】
2020-2021学年玉溪市普通高中毕业生第一次教学质量检测
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号
填写在答题卡上,并认真核准条形码上的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号,
在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12小题,每小题 5 分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 2{ | 1}, | 0 A x x B x x x ,则 A B ( )
A. ( 1,1) B. [ 1,1) C. (0,1) D. [0,1)
2.设
2
1
iz
i
,则在复平面内 z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知
3 1cos
2 5
,则 cos2 ( )
A.
23
25
B.
23
25
C.
24
25
D.
24
25
4.在一个文艺比赛中,12名专业人士和 12名观众代表各组成一个评判小组,给参赛选手打分.根据两个
评判小组对同一名选手的打分绘制了下面的折线图.
根据以上折线图,下列结论错误的是( )
A.A小组打分分值的最高分为 55分,最低分为 42分
B.A小组打分分值的标准差小于 B小组打分分值的标准差
C.B小组打分分值的中位数为 56.5
D.B小组更像是由专业人士组成的
5.已知向量
a,
b的夹角为 120°, | | 2 | | 2
a b ,则 | 2 3 |
a b ( )
A. 13 B. 37 C.7 D.13
6.数列 na 中,若 1 1 12, n na a a a ,则 2 4 6 8 10 a a a a a ( )
A.61 B.62 C.63 D.64
7.曲线
2( 3) xy ax e 在点 (0,3)处的切线的斜率为 4 ,则 a ( )
A.2 B. 3 C. 7 D. 10
8.设 1 2,F F 分别为双曲线 C:
2 2
2 2 1( 0, 0)
x y a b
a b
的左、右焦点,双曲线 C 上存在点 P,使得
21 5
PF PF b, 21
9
8
PF PF ab,则该双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C.
5
2
D.
6
2
9.已知函数 ( ) 3 sin( ) 0,| |
2
f x x 的部分图象如图所示,若
5 13
24 24
f f
,则函
数的单调递增区间为( )
A.
3, ( )
8 8
k k k Z B.
32 ,2 ( )
8 8
k k k Z
C.
3 7, ( )
8 8
k k k Z D.
3 72 ,2 ( )
8 8
k k k Z
10.已知直线 l: 1 y kx 与圆 O: 2 2 1 x y 相交于 M,N两点,且MON 的面积
3
4
S ,则 k ( )
A.
3
3
B. 3 C.
3
3
或 3 D.
3
3
或 3
11.已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 3,E,F,G分别为棱 1AA ,AB, 1CC 上的点,其中 1AE ,
2AF ,
3
2
CG ,平面 经过点 E,F,G,则 截此正方体所得的截面为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
12.已知
99
1001 101, , ln
101 100
a b e c ,则 a,b,c的大小关系为( )
A. a b c B. a c b C. c a b D. b a c
二、填空题:本题共 4小题,每小題 5分,共 20分.
13.已知实数 x,y满足
1 0
3 1 0
3
x y
x y
x
,则 2 z x y的最小值是________.
14.公元前 6 世纪,古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体,即正四面体、正六面体、正八面体、
正十二面体、正二十面体.后来,柏拉图学派的泰阿泰德(Theaetetus)证明出正多面体总共只有上述五种.如
图就是五种正多面体的图形.现有 5张分别画有上述五种多面体的不同卡片(除画有的图形不同外没有差
别),若从这 5张不同的卡片中任取 2张,则没有取到画有“正四面体”卡片的概率为____________.
15.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
此表由若干个数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构
成有穷数列 na ,并且得到递推关系为
2
1 12 2 , 1
n
n na a a .则 na _________.
16.在三棱锥 P ABC中, 2 PA PB PC ,ABC是正三角形,E为 PC中点,有以下四个结论:
①若 PC BE,则三棱锥 P ABC的体积为
2 2
3
;
②若 PC BE,且三棱锥 P ABC的四个顶点都在球 O的球面上,则球 O的体积为 6 ;
③若 PA BE,则三棱锥 P ABC的体积为
2 3
3
;
④若 PA BE,且三棱锥 P ABC的四个顶点都在球 O的球面上,则球 O的表面积为12 .
其中结论正确的序号为____________.
三、解答题:共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60分.
17.(本小题满分 12分)
如图,在ABC中, 2AB AC,BAC的角平分线交 BC于点 D.
(1)求
ABD
ADC
S
S
的值;
(2)若 1, 2 AC BD ,求 AD的长.
18.(本小题满分 12分)
物理学中常用“伏安法”测量电阻值(单位:欧姆),现用仪器测量某一定值电阻在不同电压下的电流值测
得一组数据 , ( 1,2, ,10) i ix y i ,其中, ix 和 iy 分别表示第 i次测量数据的电流(单位:安培)和电压
(单位:伏特),计算得
10 1010
2
1 1 1
1
1
0
2.4, 12, 3.196, 0.6432
i i i i i
i i i i
x y x y x .
(1)用最小二乘法求出回归直线方程( b与 a精确到 0.01);
(2)由“伏安法”可知,直线的斜率是电阻的估计值,请用计算得到的数据说明电阻的估计值.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1
22
1
,
n
n
i i
i
i
i
x y nx y
b a y bx
x nx
.
19.(本小题满分 12分)
如图所示,在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 1 2 AB AA ,E,F分别是 AB, AC的中点.
(1)求证: 1 1∥BC 平面 1AEF ;
(2)若点 G是线段 1 1BC 的中点,求二面角 1 A EF G 的正弦值.
20.(本小题满分 12分)
已知椭圆 C:
2 2
2 2 1( 0)
x y a b
a b
的离心率
1
2
e ,左、右焦点分别为 1F , 2F ,抛物线
2 8y x的焦点
F恰好是该椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆 C的方程;
(2)记椭圆 C与 x轴交于 A,B两点,M是直线 1x 上任意一点,直线MA,MB与椭圆 C的另一个交
点分别为 D,E.求证:直线DE过定点 (4,0)H .
21.(本小题满分 12分)
已知函数
2( ) , ( ) xf x e mx g x x m
(1)讨论 ( )f x 的单调性;
(2)设函数 ( ) ( ) ( ) h x f x g x ,若 ( )h x 在 [0, ) 上有且只有一个零点,求 m的取值范围.
(二)选考题:共 10分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第
一题计分.作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10分)
在平面直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为
3 cos sin 2 0
3
,半圆 C的极坐标方程为 1( [0, ]) .
(1)求直线 l的直角坐标方程及 C的参数方程;
(2)若直线 l 平行于 l,且与 C相切于点 D,求点 D的直角坐标.
23.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10分)
已知函数 ( ) | | | | ( 0, 0) f x x a x b a b .
(1)若 1 a b ,解不等式 ( ) 2f x ;
(2)若 ( )f x 的值域是 [2, ) ,且
1 1
2 1
k
a b
,求 k的最大值.
2020-2021学年玉溪市普通高中毕业生第一次教学质量检测
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A D A B D C A D C B
二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.
题号 13 14 15 16
答案 2
3
5
2( 1) 2 nn ①②④
三、解答题:本大题共 6小题,共 70分.
17.(本小题满分 12分)
解:(1)∵ AD为BAC的角平分线,
∴ BAD CAD,即 sin sin BAD CAD. 1分
∴
1 sin
2
1 sin
2
ABD
ADC
AB AD BADS
S AC AD CAD
2分
AB
AC
. 3分
又∵ 2AB AC,
∴ 2
ABD
ADC
S
S
. 5分
(2)由(1)知 2
AB BD
AC CD
且 1, 2 AC BD ,
∴
22,
2
AB CD . 6分
在ABD中,
2 2 2
cos
2
AB AD BDBAD
AB AD
2 24 2 2
2 2 4
AD AD
AD AD
. 8分
在ACD中,
2 2 2
cos
2
AC AD CDCAD
AC AD
2 21 11
2 2
2 1 2
AD AD
AD AD
. 10分
∵ BAD CAD,
∴ cos cos BAD CAD,
∴
2
2
1
2 2
4 2
ADAD
AD AD
,
∴ 1AD . 12分
18.(本小题满分 12分)
解:(1)
10
1 0.24
10
i
i
x
x , 1 分
10
1 1.2
10
i
i
y
y , 2分
1
22
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
2
3.196 10 0.24 1.2
0.6432 10 0.24
4分
0.316
0.0672
4.70 , 6分
1.2 4.70 0.24 0.072 0.07 a . 8分
所以,回归直线方程为 4.70 0.07 y x . 10分
(2)由“伏安法”可知,直线的斜率是电阻的估计值,所以电阻的估计值为 4.70欧姆. 12分
19.解:(1)证明:在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 1 1//BC BC . 1分
∵E,F分别是 AB, AC的中点,
∴ EF 是ABC的中位线,∴ //EF BC. 2分
又∵ 1 1//BC BC ,∴ 1 1//EF BC . 3分
又 1 1 B C 平面 1AEF , EF 平面 1AEF ,
∴ 1 1 //BC 平面 1AEF . 5分
(2)向量法:
在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中,
取 1 1AC 的中点 H,连接 FH ,则 1//FH CC .
在正ABC中,连接 FB,则 FB AC.
又因为 1 2 AB AA ,
所以 3, 1 FB FC .
如图,以 F为原点建立空间直角坐标系 F xyz. 7分
1
3 1 3 1(0, 1,2), , ,0 , (0,0,0), , ,2
2 2 2 2
A E F G
1 1
3 1 3 1, , 2 , (0,1, 2), (0, 1, 2), , , 2
2 2 2 2
AE AF GE GF .
设 ( , , )
m x y z 为平面 1AEF 的一个法向量,
则
1
1
3 1 2 0
2 2
2 0
m AE x y z
m AF y z
.
∴
2 3 ,2,1
3
m . (9分)
同理可求,平面GEF的一个法向量为∴
2 3 ,2, 1
3
n . 10分
设二面角 1 A EF G 的平面角为 ,
∴
4 4 1 133cos
1919 19
3 3
, 11分
所以二面角 1 A EF G 的正弦值为
8 3
19
. 12分
几何法:
在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中,
取 BC中点 D,连接 AD,且 AD EF O,
连接 1AO,GO 6分
则 AD BC,又 1 AA BC, 1 AA AD A,
∴ BC 平面 1AOG. 7分
由(1)知: //EF BC,
∴ EF 平面 1AOG. 8分
∴ 1AOG即为二面角 1 A EF G 的平面角,记为 . 9分
连接 1AG,
1AOG中, 1
3 194
4 2
AO ,
3 194
4 2
GO , 1 3AG ,
由余弦定理得:
19 19 3 134 4cos
1919 192
2 2
. 11分
所以二面角 1 A EF G 的正弦值为
8 3
19
. 12分
20.解:(本小题满分 12分)
(1)因为椭圆 C的离心率
1
2
e ,所以
1
2
c
a
,即 2a c. 1分
因为抛物线
2 8y x的焦点 (2,0)F 恰好是该椭圆的一个顶点, 2分
所以 2a ,所以 1, 3 c b . 3分
所以椭圆 C的方程为
2 2
1
4 3
x y
. 4分
(2)由(1)可得 ( 2,0)A , (2,0)B ,设点 M的坐标为 (1, )m ,
直线MA的方程为: ( 2)
3
my x .
将 ( 2)
3
my x 与
2 2
1
4 3
x y
联立消去 y整理
得: 2 2 2 24 27 16 16 108 0 m x m x m . 5分
设点 D的坐标为 ,D Dx y ,则
2
2
16 1082
4 27
D
mx
m
, 6分
故
2
2
54 8
4 27
D
mx
m
,则 2
362
3 4 27
D D
m my x
m
. 7分
直线MB的方程为: ( 2) y m x ,
将 ( 2) y m x 与
2 2
1
4 3
x y
联立消去 y整理得:
2 2 2 24 3 16 16 12 0 m x m x m . 8分
设点 E的坐标为 ,E Ex y ,则
2
2
16 122
4 3
E
mx
m
, 9分
故
2
2
8 6
4 3
E
mx
m
,则 2
122
4 3
E E
my m x
m
. 10wv
直线HD的斜率为 1 22 2
36 6
4 4 954 8 4 4 27
D
D
y m mk
x mm m
,
直线HE的斜率为 2 22 2
12 6
4 4 98 6 4 4 3
E
E
y m mk
x mm m
. 11分
因为 1 2k k ,所以直线DE经过定点 H. 12分
21.(本小题满分 12分)
解:(1) ( ) xf x e m 1分
①若 0m ,则 ( ) 0 f x ,∴ ( )f x 在 R上单调递增. 2分
②若 0m ,令 ( ) 0 f x ,则 lnx m, 3分
当 ( , ln ) x m 时, ( ) 0 f x ;当 (ln , ) x m 时, ( ) 0 f x ,
∴ ( )f x 在 ( , ln ) m 上单调递减,在 (ln , )m 上单调递增.
综上,当 0m 时, ( )f x 在 R上单调递增;当 0m 时, ( )f x 在 ( , ln ) m 上单调递减,在 (ln , )m 上
单调递增. 4分
(2)由题意知:
2( ) xh x e mx x m ,则 ( ) 2 xh x e x m, 5分
易知 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增,且 (0) 1 h m.
①若 1m ,则 ( ) 0 h x ,∴ ( )h x 在 (0, ) 上单调递增,
∵ ( )h x 在[0, ) 上有且只有一个零点, (0) 1 , (1) 1 0 h m h e ,
∴ (0) 1 0 h m ,即 1 m .
∴当 1 m 时, ( )h x 在[0, ) 上有且只有一个零点. 7分
②若 1m ,则 (0) 1 0, (ln ) 2 ln 0 h m h m m ,
∴存在 0 (0, ln )x m ,使 0 0 h x ,即 0
02 xe x m, 8分
∴当 00,x x 时, ( ) 0 h x ;当 0, x x 时, ( ) 0 h x .
∴ ( )h x 在 00, x 上单调递减,在 0,x 上单调递增,
又 (0) 1 0 h m , ( ) 0 mh m e m , ( )h x 在 [0, ) 上有且只有一个零点,
∴ 0 0h x ,即 0 2
0 0 0 xe mx x m .
把 0
02 xm e x 代入上式可知: 0
0 02 0 xx e x ,∴ 0 2x , 10分
从而 2 4 m e . 11分
综上,当 1 m 或
2 4 m e 时, ( )h x 在 [0, ) 上有且只有一个零点. 12分
22.(本小题满分 10分)
解析:(1)直线 l的普通方程为
3 2 0
3
x y ; 2分
C的普通方程为
2 2 1(0 1) x y y .
可得 C的参数方程为
cos
sin
x t
y t
(t为参数,0 t ). 5分
(2)由点 D在曲线 C上可设 (cos ,sin )D t t , 6分
由题意可知曲线 C在点 D处的切线斜率为
3
3
, 7分
tan 3,
3
t t
. 8分
故 D的直角坐标为 cos ,sin
3 3
,即
1 3,
2 2
. 10分
23.(本小题满分 10分)
解析:(1)∵ 1a , 1b ,
∴
2 , 1
( ) | 1 | | 1 | 2, 1 1
2 , 1
x x
f x x x x
x x
2分
当 1x 时, ( ) 2f x 化为 1x ,不等式的解为 1x ;
当 1 1 x 时, ( ) 2f x ,不等式的解为;
当 1 x 时, ( ) 2f x 化为 2 2 1 x x ,所以不等式的解为 1 x . 4分
综上所述,不等式的解集为{ | 1 1} 或x x x . 5分
(2)∵ ( ) | | | | | ( ) ( ) | | | f x x a x b x a x b a b , 6分
当且仅当 ( )( ) 0 x a x b 时取“=”号.
又 ( )f x 的值域是 [2, ) ,
所以 | | 2 a b ,∵ 0, 0 a b .
∴ 2 2 1 5 a b a b . 7分
∵
1 1 2 1 2 1( 2 1) 2 2 2 4
2 1 1 2 1 2
a b a ba b
a b b a b a
(当且仅当
1 2
2 1
b a
a b
,即 0.5, 1.5 a b 时取“=”号),
∴
1 1 4
2 1 5
a b
,当且仅当 0.5, 1.5 a b 时取“=”号. 9分
又∵
1 1
2 1
k
a b
恒成立,∴
4
5
k ,
故 k的最大值是
4
5
. 10分
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