辽宁省辽阳市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 24页

- 1 - 2019—2020 学年度下学期高三第三次模拟考试试题 数学（文科） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）． 1.已知集合  |1 2 8xA x   ，  0,1,2B  ，则下列选项正确的是（ ） A. A B B. A B C.  0,1,2A B  D.  1,2A B  【答案】D 【解析】 【分析】 计算  0 3A x x   ，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案. 【详解】,    |1 2 8 0 3xA x x x      ，  0,1,2B  ，则 A B ， A B ，AB 错误；  0 3A B x x    ，C 错误；  1,2A B  ，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算 能力和综合应用能力. 2.设 0.53a  ， 0.5log 3b  ， 30.5c  ，则 a ，b ， c 的大小关系为（ ） A. a b c  B. c b a  C. a c b  D. c a b  【答案】C 【解析】 【分析】 由指数函数的性质和对数函数的性质，分别求得 , ,a b c 的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得 0.53 1a   ， 30.5 (0,1)c   ， 由对数函数的性质，可得 0.5log 3 0b   ， - 2 - 所以 a c b  . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对 数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3.一个正方体内接于一个球（即正方体 8 个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图 形不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可． 【详解】解：当截面平行于正方体的一个侧面时得C 图； 当截面过正方体的体对角线时得 B 图； 当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得 A 图 但无论如何都不能截出 D 图， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了球内接多面体、棱柱的结构特征．注意截面的形状既与被截的几何 体有关，还与截面的角度和方向有关． 4.执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为-3，i 的值为 0，则输出的 y 和i 值分别是（ ） - 3 - A. 0 和 2 B. 0 和 1 C. 1 和 2 D. 1 和 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据程序框图，模拟程序运算，即可求解. 【详解】第一次运行程序， 1, 1x i   ， 第二次运行程序， 1, 2x i  ，满足条件 0x  ， 执行运算 2log 1 0y   ，输出 0,2，结束程序. 故选：A 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题. 5.我国统计工作开展的较早，早在夏朝时期，我国就进行了人口调查统计．周朝便设有专门 负责调查和记录数据的官员，称为“司书”．抽取样本是收集数据进行统计的基本方法．某 校为了解课学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n 人中，抽 取 90 人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽取的人数为（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 - 4 - 先按分层抽样的比例求出高三的总人数，再按比例求出高三被抽取的人数 【详解】解：由题意可得， 2400 36 2400 2000 90n   ，解得 1600n  ， 所以抽取 90 人进行问卷调查，其中高三被抽取的人数为 1600 90=242400+2000+1600  ， 故选：B 【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题. 6.与双曲线 2 2 13 x y  有共同的渐近线，且焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 2 3 3 C. 3 2 D. 6 3 【答案】A 【解析】 【分析】 设双曲线的方程 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b     ，根据题意，求得 3 3 a b  ，再结合离心率的计算 公式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线 2 2 13 x y  ，可得其渐近线方程为 3 3y x  ， 又由与双曲线 2 2 13 x y  有共同的渐近线，且焦点在 y 轴上， 设双曲线的方程 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b     ，则 3 3 a b  ， 所以离心率为 2 2 2 2 1 ( ) 2c a b be a a a      . 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性 质，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 7.若 4 4 1x y  ，则 x y 的取值范围是（ ） A.  , 1  B.  1,  C.  ,1 D.  1, - 5 - 【答案】A 【解析】 【分析】 由基本不等式，可得1 4 4 2 4x y x y   ，即可求得实数 x y 的取值范围. 【详解】由 4 4 1x y  ，可知 4 0,4 0x y  ， 则1 4 4 2 4 4 2 4x y x y x y     ，当且仅当 4 4x y ，即 x y 时，等号成立， 所以 14 4 x y  ，所以 1x y   ， 即实数 x y 的取值范围是 , 1  . 故选：A. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及指数幂的运算，其中解答中熟记基本不等 式的使用条件“一正、二定、三相等”是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M ， N 分别是线段 1B A ， 1C B 的中点，以下结论：① 直线 MN 与直线 BD 是异面直线；②直线 MN 与平面 1 1D C CD 无公共点；③直线 / /MN 平面 ABCD ；④直线 MN  平面 1 1B D DB ．其中正确的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】 分别取 ,AB BC 的中点 ,F E ，连接 , , ,FE MF NE AC ，则可得四边形 MNEF 为矩形，可得 MN ∥ EF ，从而可依次判断得结论 - 6 - 【详解】解：分别取 ,AB BC 的中点 ,F E ，连接 , , ,FE MF NE AC ， 因为在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M ， N 分别是线段 1B A ， 1C B 的中点， 所以 1 1 1 2 90 MF NE BB CC NEF      MF ∥ 1BB ， 1 1 2MF BB , NE ∥ 1CC , 1 1 2NE CC , 因为 1BB ∥ 1CC , 1 1BB CC , 所以 MF ∥ NE ， MF NE , 所以四边形 MNEF 为平行四边形， 因为 90NEF  ，所以四边形 MNEF 为矩形， 所以 / /MN EF 所以 / /MN 平面 ABCD ，所以直线 MN 与直线 BD 是异面直线， 所以①③正确， 因为 EF ∥ AC , / /MN EF ，所以 / /MN AC ， 因为 AC 与平面 1 1D C CD 相交，所以 MN 平面 1 1D C CD 相交， 所以②不正确； 因为 AC  平面 1 1B D DB ，所以 MN  平面 1 1B D DB ， 所以④正确， 所以正确的个数有 3 个 故选：C 【点睛】此题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力，属 于中档题. 9.已知数阵 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a         中，每行的三个数依次成等比数列，每列的三个数也依次成等比 - 7 - 数列，若 22 2a  ，则该数阵中九个数的积为（ ） A. 36 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比中项的性质计算可得； 【详解】解：依题意可得 2 11 13 12a a a ， 2 21 23 22a a a ， 2 31 33 32a a a ， 2 3212 22a a a ， 因为 22 2a  所以      11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 13 12 21 23 22 31 33 32a a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 12 2 3 3 2 32a a a 9 9 22 2 512a   故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题； 10.给出下列四个函数：① siny x x  ；② cosy x x  ；③ siny x x  ；④ cosy x x ．这 四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安 排正确的一组是（ ） A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②① 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和函数值的特点，即可作出判定，得到答案. 【详解】对于①中，函数   sinf x x x  ，满足    sin( ) sinf x x x x x f x        ， 所以函数 siny x x  为偶函数，其图象关于 y 轴对称； - 8 - 对于②中，函数   cosf x x x  满足    cos( ) cosf x x x x x f x          ， 所以函数 cosy x x  为奇函数，其图象关于原点对称； 对于③中，函数   sinf x x x  满足    sin( ) sinf x x x x x f x          ， 所以函数 siny x x  为奇函数，且当 2x  时， 2y  ； 对于④中，函数   cosf x x x 满足    cos( ) cosf x x x x x f x        ， 所以 cosy x x 为奇函数，且当 2x  时， 0y  ． 综上可得，从左到右的顺序将图象对应的函数序号①④②③. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的 奇偶性的判定方法，以及合理利用函数值的关系式解答的关键，着重考查推理与判断能力. 11.设 0 2x   ，则 2“cos ”x x 是 “cos ”x x 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：根据条件分别做出 cosy x 和 2y x= ，以及 y x 的图象，利用数形结合进行判断， 即可得到结论. 详解：由 2x x 得 0x  或 1x  ， 作出函数 cosy x 和 2y x= ，以及 y x 的图象，如图所示， 则由图象可知当 2cos x x 时， 2Bx x   ， 当 cos x x 时， 2Ax x   ， 因为 A Bx x ，所以 “ 2cos x x ”是“ cos x x ”的充分不必要条件，故选 A. - 9 - 点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利 用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能 力. 12.在直线l ： 1y x  上有两个点 A 、 B ，且 A 、 B 的中点坐标为 4,3 ，线段 AB 的长度 8AB  ，则过 A 、 B 两点且与 y 轴相切的圆的方程为（ ） A.    2 24 3 16x y    或   2 211 4 121x y    B.    2 22 3 4x y    或   2 212 5 144x y    C.    2 24 3 16x y    或   2 212 5 144x y    D.    2 22 3 4x y    或   2 211 4 121x y    【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出线段 AB 的垂直平分线方程，设出圆心坐标和半径，再利用圆的弦长性质得到圆心坐 标和半径，即可得到圆的标准方程. 【详解】由题知：线段 AB 的垂直平分线方程为：  3 4y x    ，即 7y x   . 设圆心  ,7C a a ，因为圆C 与 y 轴相切，所以 r a ，如图所示： - 10 - 因为 8AB  ，所以   2 2 24 7 3 16a a a      ， 整理得： 2 16 48 0a a   ，解得 4a  或 12a  . 当 4a  时，圆心为 4,3 ， 4r  ，圆 :C    2 24 3 16x y    . 当 12a  时，圆心为 12, 5 ， 12r  ，圆 :C    2 212 5 144x y    . 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，数形结合为解决本题的关键，属 于中档题. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.设函数    2log 1 0 4 0x x xf x x      ，则    23 log 3f f   ______． 【答案】11 【解析】 【分析】 根据分段函数的解析式，结合指数幂与对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数    2log 1 0 4 0x x xf x x      ， 则     2 2log 3 2log 3 2 23 log 3 log 4 4 2 2 2 9 11f f         . 故答案为：11. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，以及指数幂与对数的运算性质的应用，着重 考查运算与求解能力，属于基础题. - 11 - 14.已知  1,P m 为角 终边上一点，且 1tan 4 3      ，则 cos2  ______． 【答案】 3 5- 【解析】 【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得 m 的值，可得 cos 的值， 再利用二倍角公式计算可得． 【详解】解：因为  1,P m 为角 终边上一点 所以 tan m  因为 1tan 4 3      ，所以 tan tan 14tan 4 31 tan tan 4          ，即 1 1 1 3 m m   解得 2m  所以 5cos 5   ， 2 3cos2 2cos 1 5      故答案为： 3 5- 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题． 15.已知i 是虚数单位，则 2020 1 n n n i    ______． 【答案】1010 1010i 【解析】 【分析】 根据虚数 ni 的计算规律，合理利用数列的求和，即可求解. 【 详 解 】 由 题 意 ， 2020 2 3 4 5 6 7 8 2020 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2020n n n i i i i i i i i i i                       2 3 4 5 6 7 8 2020i i i i          (1 3 5 7 2017 2019) ( 2 4 6 8 2018 2020)i                1010 1010i  - 12 - 故答案为：1010 1010i . 【点睛】本题主要考查了复数的运算性质的应用，其中解答中合理利用复数的运算性质是解 答的关键，着重考查推理与运算能力. 16.已知圆O 是边长为 2 的正方形的内切圆，MN 为圆 O 的一条直径，点 P 为正方形四条边上 的一个动点，则 PM PN  的取值范围是______． 【答案】 0,1 【解析】 【分析】 作出图形，考虑 P 是线段 AB 上的任意一点，可得出 1, 2PO      ，以及 PM PO OM    ， PN PO OM    ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得 PM PN  的取值范围. 【详解】如下图所示： 考虑 P 是线段 AB 上的任意一点， PM PO OM    ， PN PO ON PO OM        ， 圆O 的半径长为1，由于 P 是线段 AB 上的任意一点，则 1, 2PO      ， 所以，      2 2 0,1PM PN PO OM PO OM PO OM               . 故答案为： 0,1 . 【点睛】本题考查平面向量数量积取值范围的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向 量，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题 17.已知函数    22cos 2sin cos 1 0f x x x x       的周期为 ． （1）求函数  f x 的单调减区间； - 13 - （2） ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ．且满足 2a  ， 7 12ABC   ，   1f A   ，求 ABC 的面积． 【答案】（1） 3,8 8k k       ， k z ；（2） 3 1 4  ． 【解析】 【分析】 （1）首先利用三角函数的恒等变换和周期得到 ( ) 2 cos 2 4f x x      ，再计算单调减区间 即可. （2）首先利用   1f A   得到 4A  ，从而得到 6C  ，利用正弦定理得到 1c  ，再代入 正弦定理面积公式计算即可得到答案. 【详解】（1）   1 cos2 sin 2 1 2 cos 2 4f x xx x            ， 因为周期T  ，所以 2 2    ，即 1  ， 故 ( ) 2 cos 2 4f x x      ． 令 2 2 24k x k      ， k z ， 3 8 8k x k      ， k z ， 故减区间为 3,8 8k k       ， k z ． （2）   1f A   ，得 2cos 2 4 2A       ， 因为 0, 2A     ， 52 ,4 4 4A        ， 所以 32 4 4A    ，即 4A  .又因为 7 12ABC   ，所以 6C  . 由 sin sin c a C A  ，得 12sin 2 1sin 2 2 a Cc A     ， - 14 - 7 3 2 1 2 6 2sin sin12 3 4 2 2 2 2 4              ， 1 1 6 2 3 1sin 2 12 2 4 4S ac B        ． 【点睛】本题第一问考查三角函数的单调区间，同时考查了三角函数的恒等变换，第二问考 查正弦定理解三角形，同时考查了面积公式的应用，属于中档题. 18.多面体 ABC DEF 中， DEF 为等边三角形， ABC 为等腰直角三角形， / /BE 平面 ACFD ， / /AD 平面 BCFE ． （1）求证： / /AD BE ； （2）若 1AD BE AC BC    ， 2FC  ，求多面体 ABC DEF 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 3 ． 【解析】 【分析】 （1）利用线面平行的性质定理，分别证得 / /BE FC 和 / /AD FC ，即可证得 / /AD BE ； （2）分别证得 FC  平面 ABC ， FC  平面 DEH ，结合体积公式，即可求解. 【详解】（1）因为 / /BE 平面 ACFD ，BE  平面 BEFC ，平面 BEFC  平面 ACFD FC ， 所以 / /BE FC ， 同理可证： / /AD FC ， 所以 / /AD BE ． （2）因为 ABC 为等腰直角三角形， 1AC BC  ，所以 2AB  ， 90ACB  ， 又 / /AD BE ， AD BE ，所以四边形 ABED 为平行四边形， 所以 2DE AB  ， 因为 DEF 为等边三角形，所以 2DE EF FD   ， 取 FC 的中点 H ，连结 DH 、 EH ， - 15 - 因为 2FC  ，则 1FH CH  ， 又 / /AD HC ，且 AD HC ，所以四边形 ACHD 为平行四边形，所以 1DH AC  ， 在 DHF△ 中， 2 2 2DH FH DF  ， 所以 90DHF   ，即 DH FC ，进而 AC FC ， 同理可证 EH FC ，进而 BC FC ， 又因为 BC AC C  ， ,BC AC  平面 ABC ， 所以 FC  平面 ABC ，同理 FC  平面 DEH ， 又容易证得 DEH△ 与 ABC 全等，也是等腰直角三角形． 则 ABC DEF ABC DEH F DEHV V V   多面体 三棱柱 三棱锥 1 3ABC DEHS CH V FH   △ △ 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 12 3 2 2 6 3             ． 【点睛】本题主要考查了线线、线面平行的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中解 答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，以及几何体的体积的求法是解答的关键，意在考 查推理与论证能力，以及计算能力. 19.已知函数   2 lnf x ax x  ． （1）讨论  f x 的单调性； （2）若  0,x   使   0f x  成立，求 a 的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2） 1 ,2a e       ． 【解析】 【分析】 - 16 - （1）先求导数，再根据 a 讨论导函数的符号，最后根据导函数符号确定单调性； （2）结合（1）分类讨论，当 0a  时，举例说明满足条件；当 0a  时，根据单调性确定最 大值，再根据不等式有解转化为  max 0f x  ，解不等式得范围，最后综合情况得结果. 【详解】解：（1）定义域 0,  ，   21' 2 12 axax x xf x    ， ① 0a  时，  ' 0f x  ，函数  f x 在区间 0,  单调递增， ② 0a  时，由 22 1 0ax   得 10 2x a    ， ∴函数  f x 在区间 10, 2a      单调递增，函数  f x 在区间 1 ,2a       单调递减． （2）① 0a  时，   2 1 0f e ae   ， ∴  0,x   使   0f x  成立， ② 0a  时，由  0,x   使   0f x  成立得  max 0f x  由（1）知 0a  时，函数  f x 在区间 10, 2a      单调递增，函数  f x 在区间 1 ,2a       单调递减，所以   x 2 ma 1 1 1ln2 2 2f af a a ax                   1 1ln 02 2a      ，解 得得 1 2a e   ，∴ 1 ,02a e      ， ∴由①②得 1 ,2a e       ． 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性以及利用导数研究不等式有解问题，考查分类讨论 思想方法以及综合分析求解能力，属较难题. 20.已知圆锥曲线 2 2 1x y m n   过点  1, 2A  ，且过抛物线 2 8x y 的焦点 B ． （1）求该圆锥曲线的标准方程； （2）设点 P 在该圆锥曲线上，点 D 的坐标为 ,0m ，点 E 的坐标为 0, n ，直线 PD 与 - 17 - y 轴交于点 M ，直线 PE 与 x 轴交于点 N ，求证： DN EM 为定值． 【答案】（1） 2 2 14 2 y x  ；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）首先求出抛物线的焦点坐标，再代入解析式中求出方程即可得解； （2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且  2,0D ，  0,2E ，设椭圆上一点  0 0,P x y ， 表示出直线 PD ，直线 PE ，得到 0 0 2 2M yy x   ， 0 0 2 2N xx y   ；所以 0 0 0 0 2 22 22 2 DN EM x y y x       计算可得； 【详解】解：（1）抛物线 2 8x y 的焦点  0,2B ， 将点  1, 2A  ，  0,2B 代入方程得 1 2 1 0 4 1 m n m n       ， 解得 2 4 m n    ，所以圆锥曲线的标准方程为 2 2 14 2 y x  ． （2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且  2,0D ，  0,2E ， 设椭圆上一点  0 0,P x y ，则 直线 PD ：  0 0 2 2 yy x x    ，令 0x  ，得 0 0 2 2M yy x   ．∴ 0 0 22 2 yEM x    ， 直线 PE ： 0 0 2 2yy xx   ，令 0y  ，得 0 0 2 2N xx y   ．∴ 0 0 22 2 xDN y    ． 所以 0 0 0 0 2 22 22 2 DN EM x y y x       0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x x y y x       0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x x y y x       - 18 -  2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2 y x y x x y x y x y          因为点 P 在椭圆上，所以 2 2 0 0 14 2 y x  ，即 2 2 0 02 4y x  ， 代入上式得  0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2 y x x y x y x D M y N E           0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 4 2 2 2 8 2 2 2 2 y x x y x y x y         4 2 ． 故 DN EM 为定值． 【点睛】本题考查待定系数法求曲线方程，直线与圆锥曲线中的定值问题，属于中档题. 21.盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子 上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人， 形成了“盲盒经济”．某款盲盒内可能装有某一套玩偶的 A 、 B 、C 三种样式，且每个盲盒 只装一个． （1）若每个盲盒装有 A 、 B 、C 三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了 A 样式的玩偶， 若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？ （2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了 200 份问卷，并全部收回．经统 计，有30% 的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占 2 3 ；而在未购买者当中，男生 女生各占50% ．请根据以上信息填写下表，并分析是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性 别有关？ 女生 男生 总计 购买 未购买 总计 - 19 - 参考公式：        2 2 n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    ． 参考数据：  2 0P k  0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （3）该销售网点已经售卖该款盲盒 6 周，并记录了销售情况，如下表： 周数 x 1 2 3 4 5 6 盒数 y 16 ______ 23 25 26 30 由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第 4、5、6 周的数据求线性 回归方程，再用第 1、3 周数据进行检验． ①请用 4、5、6 周的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a  ； （注：      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                 ， a y bx $ $ ） ②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 盒，则认为得到 的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？ ③如果通过②的检验得到的回归直线方程可靠，我们可以认为第 2 周卖出的盒数误差也不超 过 2 盒，请你求出第 2 周卖出的盒数的可能取值；如果不可靠，请你设计一个估计第 2 周卖 出的盒数的方案． 【答案】（1） 2 9 ；（2）表格见解析，有 95% 把握认为购买该款盲盒与性别有关；（3） - 20 - ①  2.5 14.5y x  ；②是可靠的；③第 2 周卖出的盒数的可能值为 18、19、20、21． 【解析】 【分析】 （1）用列举法写出所有基本事件，再从中找出满足要求的基本事件，用古典概型的公式即可 求得结果； （2）通过计算，完成列联表，再计算出观测值 2 4.714k  ，比表中 0.05 所对应的数据 3.841 大，故得出结论“有95%把握认为购买该款盲盒与性别有关”； （3）①将第 4、5、6 周的数据代入公式，计算出b 和 a ，写出回归直线方程； ②将第 1、3 周的数据代入①所求出的回归直线方程进行检验，该方程可靠； ③将 2x  代入①所求出的回归直线方程，解得  19.5y  ，根据可靠性的要求，以及该应用题 的实际要求，得出第 2 周卖出的盒数的可能取值. 【详解】解：（1）由题意，基本事件空间为  ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )A A A B A C B A B B B C C A C B C C  ， 其中基本事件的个数为 9， 设事件 D 为：“他恰好能收集齐这三种样式”，则     , , ,D B C C B ，其中基本事件的个数为 2， 则他恰好能收集齐这三种样式的概率 2 9P  ； （2） 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 2 2 200(40 70 20 70) 4.714110 90 60 140k       ， - 21 - 又因为 4.714 3.841 ， 故有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”； （3）①由数据，求得 5x  ， 27y  ， 由公式求得 2 2 2 (4 5)(25 27) (5 5)(26 27) (6 5)(30 27) 5 (4 5) (5 5) (6 5) 2b               ，  527 5 14.52a     ， 所以 y 关于 x 的线性回归方程为  2.5 14.5y x  ； ②当 1x  时，  2.5 1 14.5 17y     ， 17 16 2  ， 同样，当 3x  时，  2.5 3 14.5 22y     ， 22 23 2  ， 所以，所得到的线性回归方程是可靠的； ③由②可知回归直线方程可靠， 2x  时  2.5 2 14.5 19.5y     ， 设第二周卖出的盒数为  n n N ， 则 19.5 2n   ， 17.5 21.5n  ， ∴ n 能取 18、19、20、21， 即第 2 周卖出的盒数的可能值为 18、19、20、21． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，独立性检验的实际应用，线性回归直线方程的求 解及实际应用问题，综合性较强. 请考生在 22—23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请涂清题号． 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 cos sin 1 x y       （ 为参数），以原点O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴建极坐标系． （1）求C 的极坐标方程； （2）直线 1l ， 2l 的极坐标方程分别为  6 R   ，  3 R   ，直线 1l 与曲线C 的交 - 22 - 点为O 、 M ，直线 2l 与曲线C 的交点为 O 、 N ，求线段 MN 的长度． 【答案】（1） 2sin   ；（2）1． 【解析】 【分析】 （1）先根据三角函数平方关系消元得普通方程，再根据 cos , sinx y     化为极坐标方 程； （2）根据直线与曲线C 极坐标方程可得 M N、 极坐标，再根据余弦定理求 MN 的长度． 【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程为 cos sin 1 x y       得曲线C 的直角坐标方程为：  22 1 1x y   ， 所以极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 2 sin 0        即 2sin   ． （2）将 6   代入 2sin   中有 1M   ，即 1OM  ， 将 3   代入 2sin   中有 3N   ，即 3ON  ， 3 6 6MON       ， 余弦定理得 2 2 2 2 cos 16MN OM ON OM ON      ， 1MN  ． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析 求解能力，属基础题. 23.设函数   2 3 4f x x x    ． （1）解不等式   2f x  ； （2）若  f x 最小值为 m ，实数 a 、b 满足3 4 3a b m  ，求 2 22a b  的最小值． 【答案】（1）{ | 1x x  或 2}x  ；（2） 16 25 ． 【解析】 【分析】 - 23 - （1）分类讨论 2x  ， 4 23 x  ， 4 3x  三种情况，解不等式得到答案. （2）计算3 4 2a b  ，所求可看作点 2,0 到直线3 4 2 0x y   的距离的平方，计算得到 答案. 【详解】（1）   4 6, 2 42 3 4 2 2, 23 44 6, 3 x x f x x x x x x x                 ， 由   2f x  得 2 4 6 2 x x     或 4 23 2 2 2 x x       或 4 3 4 6 2 x x      ， 得 2x  或或 1x  ，∴不等式解集{ | 1x x  或 2}x  ． （2）根据图象知：  min 4 2 3 3f x f      ，∴3 4 2a b  ， 所求可看做点  2,0 到直线3 4 2 0x y   的距离的平方， 2 2 3 2 2 4 53 4 d     ． ∴ 2 22a b  的最小值为 16 25 ． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能 力，转化为点到直线的距离是解题的关键. - 24 -