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  • 2021-06-16 发布

浙江省衢州市2021届高三上学期12月教学质量检测数学试题 Word版含答案

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浙江省衢州市 2021 届高三上学期 12 月教学质量检测 数学试题 选择题部分 (共 54 分) 一、选择题:本大题共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合  0,2,4,6,8,10A  ,  4,8B  ,则 A B ð ( ) A. 4,8 B. 0,2,6 C. 0,2,6,10 D. 0,2,6,8,10 2. cos600 等于 ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 2  D. 1 2  3.直线 3 5 0x y   的倾斜角为( ) A. 30  B. 60 C.120 D.150 4. 已知 1 84 x  ,则函数 2( ) logf x x 的值域是( ) A.[ 3, 2]  B.[ 2,3] C.[ 3,3] D.[ 2,2] 5.圆心为 (1, 1) 且过原点的圆的一般方程是 ( ) A. 2 2 2 2 1 0x y x y     B. 2 2 2 2 1 0x y x y     C. 2 2 2 2 0x y x y    D. 2 2 2 2 0x y x y    6.设 a , b  R ,且 a b ,则 ( ) A. 3 3a b B. 2 2a b C.| | | |a b D. 1a b  7.已知焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 13 x y m   的离心率为 1 2 ,则 (m  ) A.6 B. 6 C.4 D.2 8.已知实数 ,x y 满足约束条件 1 0 2 3 0 x x y x y         ,则 x y 的最小值是 ( ) A. 2 B. 1 C.1 D.2 9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.8 B.12 C.16 D.24 10.设 m 、 n 是两条不同的直线, 、  是两个不同的平面,则 ( ) A.若 / /m  , / /n  ,则 / /m n B.若 / /m  , / /m  ,则 / /  C.若 / /m n , n  ,则 m  D.若 / /m  ,  ,则 m  11.在 ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别是 , ,a b c ,已知 5a  , 7b  , 8c  ,则 (A C  ) A. 90 B.120 C.135 D.150 12.若实数 x , y , z 满足 0.54x  , 5log 3y  , sin 22z      ,则( ) A. x z y  B. y z x  C. z x y  D. z y x  13.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,公差为 d ,已知 1 0a  , 5 17S S ,则 ( ) A. 11 0da  B. 12 0da  C. 1 12 0a a  D. 1 11 0a a  14.过双曲线   2 2 2 2 1 0 0x y a ba b    , 的右焦点 F ,作渐近线 by xa  的垂线与双曲线左右两支都相交, 则双曲线离心率 e的取值范围为( ) A. 1 2, B. 1 2, C.  2  , D.  2  , 第 9 题 15. 设 A 、 B 、 C 三 点 不 共 线 , 则 “ AB  与 AC  的 夹 角 是 钝 角 ” 是 “ AB AC BC    ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 16.对于无穷数列{ }na ,给出下列命题: ①若数列{ }na 既是等差数列,又是等比数列,则数列{ }na 是常数列. ②若等差数列{ }na 满足| | 2021na „ ,则数列{ }na 是常数列. ③若等比数列{ }na 满足| | 2021na „ ,则数列{ }na 是常数列. ④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na„ „ ,则数列{ }na 是常数列. 其中正确的命题个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 17.已知 ( )f x 是 R 上的奇函数,当 0x  时, 2log ( 1),0 1( ) | 3|, 1 x xf x x x       ,则函数 1( ) 2y f x  的所 有零点之和是 ( ) A. 5 2 B.1 2 C. 2 1 D.5 2 18.如图,在三棱锥 S ABC 中,SA ABC平面 , AB BC , ,E F 是 SC 上两 个三等分点,记二面角 E AB F  的平面角为 ,则 tan ( ) A.有最大值 4 3 B.有最大值 3 4 C.有最小值 4 3 D.有最小值 3 4 非选择题部分(共 46 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每空 3 分,共 15 分. 19.设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和,若 1 1a  , 4 8a  ,则 3a  , 5S  . 20.若向量  1,1, xa ,  1,2,1b ,  1,1,1c ,满足条件   2 2   c a b ,则 x  . 21.如图,在 Rt ABC 中, 1,AC BC x  ,D 是斜边 AB 的中点,将 BCD 沿直线 CD 翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得 CB AD ,则 x 的 取值范围是 . 22.若函数    2 2f x x ax ax a a    R 有四个不同的零点,则 a 的取值 范围是 三、解答题:本大题共 3 小题,共 31 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. (本题满分 10 分)已知函数 ( ) sin( )sin 2f x x x        . (I)求 ( )6f  的值; (II)若 3( ) 10f    , 0 3   .求 ( )6f   的值. 24.(本题满分 10 分)已知抛物线 2: 4C y x ,直线 l 与抛物线C 交 于 A , B 两点, P 为线段 AB 中点. (Ⅰ)若 P 的纵坐标为5,求直线 l 的斜率; (Ⅱ)若  | | 4AB a a  ,求证:不论  4a a  取何值,当 P 点横坐标最小时,直线 l 过定点. 第 24 题图 25. (本题满分 11 分)已知二次函数   2f x ax bx c   ,且 1x  时,   1f x  . (I)若 1,a b c  ,求实数 b 的取值范围; (II) a b c  的最大值; (III)求证:当 3x  时,   17f x  . (解析版) 选择题部分 (共 54 分) 一、选择题:本大题共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合  0,2,4,6,8,10A  ,  4,8B  则 AC B  ( ) A. 4,8 B. 0,2,6 C. 0,2,6,10 D. 0,2,6,8,10 答案:C 解析:由集合的定义 AC B   0,2,6,10 ,选 C 2. cos600 等于 ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 2  D. 1 2  答案:D 解析:   1cos600 cos240 cos 180 60 cos60 2             ,故选 D . 3.直线 3 5 0x y   的倾斜角为 A. 30  B. 60 C.120 D.150 答案:D 解析:∵直线斜率为 3 3  ,倾斜角 的取值范围为 0 180 , , 3tan150 3    ,∴直线的倾斜角为 150 .故 选 D. 4. 已知 1 84 x  ,则函数 2( ) logf x x 的值域是( ) A.[ 3, 2]  B.[ 2,3] C.[ 3,3] D.[ 2,2] 答案:B 5.圆心为 (1, 1) 且过原点的圆的一般方程是 ( ) A. 2 2 2 2 1 0x y x y     B. 2 2 2 2 1 0x y x y     C. 2 2 2 2 0x y x y    D. 2 2 2 2 0x y x y    答案: D. 解析:根据题意,要求圆的圆心为 (1, 1) ,且过原点, 且其半径 2 21 ( 1) 2r     , 则其标准方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y    ,变形可得其一般方程是 2 2 2 2 0x y x y    . 6.设 a , b R ,且 a b ,则 ( ) A. 3 3a b B. 2 2a b C.| | | |a b D. 1a b  答案: A 解析:不妨令 1a  , 2b   ,显然 A 符合, B , C , D 均不符合,故选: A . 解 2:由于函数 3( )f x x 在 R 上为增函数,由 a b 得 3 3a b ,故选 A . 7.已知焦点在 轴上的椭圆 2 2 13 x y m   的离心率为 1 2 ,则 (m  ) A.6 B. 6 C.4 D.2 答案:C 解析:法 1:焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 13 x y m   ,可得 a m , 3c m  , 椭圆的离心率为 1 2 ,可得: 3 1 2 m m   ,解得 4m  . 法 2:  2 2 2 2 2 3 11 1 2 a bc be a a a m         ,所以 4m  故选: C . 8.已知实数 x , y 满足约束条件 1 0 2 3 0 x x y x y         ,则 x y 的最小值是 ( ) A. 2 B. 1 C.1 D.2 答案:A. 解析:作出实数 x , y 满足约束条件 1 0 2 3 0 x x y x y         表示的平面区域, 得到如图的三角形及其内部, 由 0 2 3 0 x y x y       得  1, 1A   , 设  ,z F x y x y   ,将直线 :l z x y  进行平移, 可得当l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最小值  1, 1 2z F      . 故选:A. 9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.8 B.12 C.16 D.24 答案:A 解析:由题意可知几何体的直观图如图:底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面三角形的直角顶点, 几何体的体积为: 1 1 3 4 4 83 2      .故选: A . 10.设 m 、 n 是两条不同的直线, 、  是两个不同的平面,则 ( ) A.若 / /m  , / /n  ,则 / /m n B.若 / /m  , / /m  ,则 / /  C.若 / /m n , n  ,则 m  D.若 / /m  ,  ,则 m  答案:C 解析:对于 A ,若 / /m  , / /n  ,则 / /m n ,或 m , n 相交、异面,故不正确; 对于 B ,若 / /m  , / /m  ,则 / /  或 ,  相交,故不正确; 对于 C ,因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直,则另一条一定和这个平面垂直,故正确; 对于 D ,若 / /m  ,  ,则 m 、  相交或平行,或 m  ,故不正确.故选 C . 11.在 ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别是 , ,a b c ,已知 5a  , 7b  , 8c  ,则 (A C  ) A. 90 B.120 C.135 D.150 答案: B. 解析:在 ABC 中, 5a Q , 7b  , 8c  , 由余弦定理可得: 2 2 2 25 64 49 1cos 2 2 5 8 2 a c bB ac        , b cQ ,故 B 为锐角,可得 60B   , 180 60 120A C        . 12.若实数 x , y , z 满足 0.54x  , 5log 3y  , sin 22z      ,则( ) A. x z y  B. y z x  C. z x y  D. z y x  答案:D 解析: 0.54 2x   , 5 50 log 3 log 5 1y    , sin 2 cos2 02z        , z y x   ,故选:D. 答案: B . 13.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,公差为 d ,已知 1 0a  , 5 17S S ,则 ( ) A. 11 0da  B. 12 0da  C. 1 12 0a a  D. 1 11 0a a  解析: 5 17S S , 1 1 5 4 17 165 172 2a d a d     ,化为: 12 21 0a d  . 21 12 1 1 1 2 2 2( 11 ) 021 21 441 ada a a a       . 1( 0)a  . 故选: B . 14.过双曲线   2 2 2 2 1 0 0x y a ba b    , 的右焦点 F ,作渐近线 by xa  的垂线与双曲线左右两支都相交, 则双曲线离心率 e的取值范围为( ) A. 1 2, B.  1 2, C.  2  , D.  2  , 答案:C 解析:过双曲线的右焦点 F 作渐近线 by xa  的垂线,设垂足为 A ,因为直线 AF 与双曲线左右两支 都相交,所以 AF 与渐近线 by xa   必定有交点 B,因此,直线 by xa   的斜率要小于直线 AF 的斜 率,即 2 2 2 2 2b a b a e ea b          ,故选 C 15. 设 A 、 B 、 C 三 点 不 共 线 , 则 “ AB  与 AC  的 夹 角 是 钝 角 ” 是 “ AB AC BC    ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解 析 : 因 为 AB AC BC    , 则 2 2 2 2AB AC AB AC BC        , 则 2 2 22 cosc b bc A a   , 即 2 2 2 22 cos 2 cosc b bc A c b bc A     ,解得 cos 0A  ,则 A 为钝角,故选 C. 16.对于无穷数列{ }na ,给出下列命题: ①若数列{ }na 既是等差数列,又是等比数列,则数列{ }na 是常数列. ②若等差数列{ }na 满足| | 2021na „ ,则数列{ }na 是常数列. ③若等比数列{ }na 满足| | 2021na „ ,则数列{ }na 是常数列. ④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na„ „ ,则数列{ }na 是常数列. 其中正确的命题个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案: C . 解析:对于①,若数列{ }na 既是等差数列又是等比数列,则数列{ }na 为常数列,且 0na  ,故①正 确; ②若等差数列{ }na 满足| | 2021na „ ,由于数列{ }na 为无穷数列, 又数列{ }na 为等差数列,若公差不为 0,则| |na 无上界,则数列{ }na 是常数列,故②正确; ③若等比数列{ }na 满足| | 2021na „ ,考虑 1( )2 n na  ,则数列{ }na 不一定是常数列,故③错误; ④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na„ „ ,即 1 11 2021na q  „ „ ,可得 1 1a … , 1q… , 若 1q  ,则 na 无上界,故 1q  ,进而数列{ }na 是常数列,故④正确. 故选: C . 17.已知 ( )f x 是 R 上的奇函数,当 0x  时, 2log ( 1),0 1( ) | 3|, 1 x xf x x x       ,则函数 1( ) 2y f x  的所 有零点之和是 ( ) A. 5 2 B.1 2 C. 2 1 D. 5 2 答案:A. 解析:法 1:根据题意,函数 1( ) 2y f x  的所有零点即方程 1( ) 2f x  的根, 当 0x  时,若 1( ) 2f x  ,则有 2 1log ( 1) (0 1)2x x    或 1| 3| ( 1)2x x   ,解得 2 1x   或 5 2 或 7 2 , 当 0x  时 , 若 1( ) 2f x  , 有 1( ) ( ) 2f x f x     , 即 2 1log ( 1) ( 1 0)2x x       或 1| 3| ( 1)2x x      ,此时无解;则函数 1( ) 2y f x  的所有零点之和是 5 7( 2 1) 5 22 2      . 法 2:根据题意,函数 1( ) 2y f x  的所有零点即方程 1( ) 2f x  的根, 当 0x  时,若 1( ) 2f x  ,则有 2 1log ( 1) (0 1)2x x    或 1| 3| ( 1)2x x   ,解得 2 1x   或 5 2 或 7 2 ,且 ( ) 0f x  ,则当 0x  时,由 ( )f x 是 R 上的奇函数可知 ( ) 0f x  ,故 1( ) 2f x  无解,则函 数 1( ) 2y f x  的所有零点之和是 5 7( 2 1) 5 22 2      . 18.如图,在三棱锥 S ABC 中, SA ABC 面 , AB BC ,E、F 是 SC 上两个三等分点, 记二面角 E AB F  的平面角为 ,则 tan ( ) A.有最大值 4 3 B.有最大值 3 4 C.有最小值 4 3 D.有最小值 3 4 答案:B. 解析:法 1:以 B 为原点, BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AB a ,则     2 1 2,0,0 , 0,0,0 , , ,3 3 3A a B E a b c     , 1 2 1, ,3 3 3F a b c     ,  ,0,0BA a , 2 1 2 3 3 3BE a b c      , , , 1 2 1 3 3 3BF a b c      , , , 设平面 ABE 的法向量  , ,n x y z , 则 0 2 1 2 03 3 3 n BA ax n BE ax by cz            ,取 z b ,得  0, 2 ,n c b  , 设平面 ABF 的法向量  , ,m x y z , 则 0 1 2 1 03 3 3 m BA ax m BF ax by cz            . ,取 2z b ,得  0, ,2m c b  , ∵二面角 E AB F  的平面角为 , ∴    2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4cos 4 4 54 4 2 c b c b c b c bc b c b           m n m n . , ∴ 3tan 4   . ∴ tan 有最大值 3 4 . 故选:B. 法 2:分别作二面角 F AB C  和 E AB C  的平面角 (如图所示),设它们的大小分别为 1 2,  ,则所求二面角 F AB E  的大小为 1 2    . 设 , ,AB a BC b SA c   , 则有 1 2 23tan 1 3 c c bb    , 2 1 3tan 2 2 3 c c bb    , 所以 1 2tan 4tan  ,于是   1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 tan tan 3tan 3 3tan tan 11 tan tan 1 4tan 44tan tan                   当且仅当 2 2 14tan tan   ,即 2 1tan 2   时取等号. 此时 max 3tan 4   . 故选 B. 非选择题部分(共 46 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每空 3 分,共 15 分。 19.设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和.若 1 1a  , 4 8a  ,则 3a  , 5S  . 答案: 4 , 31 解析:设等比数列{ }na 的公比为 q , 1 1a  , 4 8a  , 3 8q  ,解得 2q  . 则 2 3 2 4a   , 5 5 1 2 311 2S   ,故答案为: 4 , 31. 【另解】数感猜该等比数列为1,2,4,8,16, ,符合题意,则 3 4a  , 5 31S  . 20.若向量  1,1, xa ,  1,2,1b ,  1,1,1c ,满足条件   2 2   c a b ,则 x  2 . 21.如图,在 Rt ABC 中, 1,AC BC x  , D 是斜边 AB 的中点,将 BCD 沿直线 CD 翻折,若在 翻折过程中存在某个位置,使得 CB AD ,则 x 的取值范围是 解析:法 1:由题意得, 2 1 2 xAD CD BD    , BC x ,取 BC 中点 E , 翻折前,在图 1 中,连接 ,DE CD ,则 1 1 2 2DE AC  , 翻折后,在图 2 中,此时 CB AD .  ,BC DE BC AD  , BC  平面 ADE ,  BC AE DE BC , ,又 BC AE , E 为 BC 中点, 1AB AC  ,  211 4AE x  , 2 1 2 xAD  , 在 ADE 中:① 2 21 1 112 2 4 x x    ,② 2 21 1 112 2 4 x x    ,③ 0x  ; 由①②③可得 0 3x  . 如图 3,翻折后,当 1B CD 与 ACD 在一个平面上, AD 与 1B C 交于 M ,且 1AD B C , 1AD B D CD BD   , 1CBD BCD B CD     , 又 1 90CBD BCD B CD      , 1 30CBD BCD B CD      ,  60A   , tan60BC AC ,此时 3x  。综上, x 的取值范围为 0, 3 ,故选 A. 法 2:作 CE AB ,如图,BD CD DA  ,所以 CBD BCD ECA       ,则 90 2DCE     , 若CB AD ,则 AD 平面 BCE ,所以存在某个位置, B 在底面的射影在直线 CE 上, 所以要求 90 2    ,即 30   ,所以 1 3tan 3x    ,所以 0 3x  22.函数    2 2 Rf x x ax ax a a     有四个不同的零点,则 a 的取值范围 解析:(1)若 0a  ,则   2f x x ,显然直线 y ax a  与 ( )f x 不可能有 4 个交点,不符合题意; 若 0a  ,作出   2 2f x x ax  的函数图象,则直线 y ax a  与  f x 的图象不可能有 4 个交点,不符合题意; 若 0a  ,作出  f x 的函数图象如图所示: 当 0 2x a  时,   2 2f x x ax   , 设直线  1y k x  与  y f x 在  0,2a 上的函数图象相切,切点为  00 ,x y , 则 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 x a k x ax y kx k y          ,解得 2 2 2 2 1k a a    , 2 2 2 2 1a a a     ,解得 4a  . 三、解答题:本大题共 3 小题,共 31 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 23. (本题满分 10 分)已知函数 ( ) sin( )sin 2f x x x        . (I)求 ( )6f  的值; (II)若 3( ) 10f    ,0 3   .求 ( )6f   的值. 解: 1( ) sin( )sin + sin cos sin22 2f x x x x x x          . (I)所以 1 3( ) sin6 2 3 4f      . (II)因为 1 3( ) sin 22 10f      ,所以 3sin 2 5   . 因为 0 3   ,所以 20 2 3   , 又因为 3 3sin 2 5 2    ,所以 0 2 2   ,所以 4cos2 5   . 所以 1 1( ) sin2( ) sin(2 )6 2 6 2 3f             1 sin2 cos cos2 sin2 3 3         1 3 1 4 3 3 4 3 2 5 2 5 2 20             . 24.(本题满分 10 分)已知抛物线 2: 4C y x ,焦点 F ,直线l 与抛 物线C 交于 A , B 两点,线段 AB 中点 P (Ⅰ)若 P 的纵坐标为5,求直线l 的斜率; (Ⅱ)若  | | 4AB a a  ,求证:不论  4a a  取何值,当 P 点横坐标最小时,直线 l 过定点。 第 24 题 解: (I)设    1 1 2 2, , ,A x y B x y , 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x    ,作差可得 2 2 1 2 1 24 4y y x x   , 所以 1 2 1 2 1 2 4 4 2 10 5l y yk x x y y      (Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ty m  ,联立 2 4y x ,可得 2 4 4 0y ty m   ,可得 1 2 4y y t  , 1 2 4y y m  , 则 2 2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 1 16 16MN t y y y y t t m a         ,可得 2 2 216(1 ) am tt   , 则 2 2 2 2 1 2 1 2 2( ) 2 4 2 2(1 ) 2 2 2 28(1 ) 4 a ax x t y y m t m t at              … , 当且仅当 2 2 2 2(1 )8(1 ) a tt   ,即 2 1 4 at   ,代入可得 1m  ,故直线过定点  1,0 25. (本题满分 11 分)已知二次函数   2f x ax bx c   ,且 1x  时,   1f x  . (I)若 1,a b c  ,求实数 b 的取值范围 (II) a b c  的最大值 (III)求证:当 3x  时,   17f x  解: (I)   2f x x bx b   因为 1x  时,   1f x  故       1 1 1 1 1 1 1 0 1 f f f           ,解得 1 0b   ,故: 1x  时,   1f x  等价于     1 1 1 1 1 1 1 12 f f bf                 可解得:2 2 2 0b   (II)       1 1 0 f a b c f a b c f c           ,故解得:             1 1 2 0 2 1 1 2 0 f f fa f fb c f                                  1 1 2 0 1 1 02 2 1 1 1 1 2 02 2 f f f f fa b c f f f f f f                故       max 1 , 1 2 0 3f f f    (III)    2 6 3 8 03 3 x xf x ax bx c f f f                当 3x  时, 1, 13 3 x x   故      6 3 8 0 6 3 8 0 173 3 3 3 x x x xf x f f f f f f                             