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- 2021-06-16 发布
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浙江省衢州市 2021 届高三上学期 12 月教学质量检测
数学试题
选择题部分 (共 54 分)
一、选择题:本大题共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合 0,2,4,6,8,10A , 4,8B ,则 A B ð ( )
A. 4,8 B. 0,2,6 C. 0,2,6,10 D. 0,2,6,8,10
2. cos600 等于 ( )
A. 1
2 B. 3
2
C. 3
2
D. 1
2
3.直线 3 5 0x y 的倾斜角为( )
A. 30 B. 60 C.120 D.150
4. 已知 1 84 x ,则函数 2( ) logf x x 的值域是( )
A.[ 3, 2] B.[ 2,3] C.[ 3,3] D.[ 2,2]
5.圆心为 (1, 1) 且过原点的圆的一般方程是 ( )
A. 2 2 2 2 1 0x y x y B. 2 2 2 2 1 0x y x y
C. 2 2 2 2 0x y x y D. 2 2 2 2 0x y x y
6.设 a , b R ,且 a b ,则 ( )
A. 3 3a b B. 2 2a b C.| | | |a b D. 1a
b
7.已知焦点在 x 轴上的椭圆
2 2
13
x y
m
的离心率为 1
2
,则 (m )
A.6 B. 6 C.4 D.2
8.已知实数 ,x y 满足约束条件
1
0
2 3 0
x
x y
x y
,则 x y 的最小值是 ( )
A. 2 B. 1 C.1 D.2
9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8 B.12 C.16 D.24
10.设 m 、 n 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则 ( )
A.若 / /m , / /n ,则 / /m n B.若 / /m , / /m ,则 / /
C.若 / /m n , n ,则 m D.若 / /m , ,则 m
11.在 ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别是 , ,a b c ,已知 5a , 7b , 8c ,则 (A C )
A. 90 B.120 C.135 D.150
12.若实数 x , y , z 满足 0.54x , 5log 3y , sin 22z
,则( )
A. x z y B. y z x C. z x y D. z y x
13.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,公差为 d ,已知 1 0a , 5 17S S ,则 ( )
A. 11 0da B. 12 0da C. 1 12 0a a D. 1 11 0a a
14.过双曲线
2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
, 的右焦点 F ,作渐近线 by xa
的垂线与双曲线左右两支都相交,
则双曲线离心率 e的取值范围为( )
A. 1 2, B. 1 2, C. 2 , D. 2 ,
第 9 题
15. 设 A 、 B 、 C 三 点 不 共 线 , 则 “ AB
与 AC
的 夹 角 是 钝 角 ” 是 “ AB AC BC ” 的
(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
16.对于无穷数列{ }na ,给出下列命题:
①若数列{ }na 既是等差数列,又是等比数列,则数列{ }na 是常数列.
②若等差数列{ }na 满足| | 2021na ,则数列{ }na 是常数列.
③若等比数列{ }na 满足| | 2021na ,则数列{ }na 是常数列.
④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na ,则数列{ }na 是常数列.
其中正确的命题个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
17.已知 ( )f x 是 R 上的奇函数,当 0x 时, 2log ( 1),0 1( ) | 3|, 1
x xf x x x
,则函数 1( ) 2y f x 的所
有零点之和是 ( )
A. 5 2 B.1 2 C. 2 1 D.5 2
18.如图,在三棱锥 S ABC 中,SA ABC平面 , AB BC , ,E F 是 SC 上两
个三等分点,记二面角 E AB F 的平面角为 ,则 tan ( )
A.有最大值 4
3 B.有最大值 3
4
C.有最小值 4
3 D.有最小值 3
4
非选择题部分(共 46 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每空 3 分,共 15 分.
19.设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和,若 1 1a , 4 8a ,则 3a , 5S .
20.若向量 1,1, xa , 1,2,1b , 1,1,1c ,满足条件 2 2 c a b ,则 x .
21.如图,在 Rt ABC 中, 1,AC BC x ,D 是斜边 AB 的中点,将 BCD
沿直线 CD 翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得 CB AD ,则 x 的
取值范围是 .
22.若函数 2 2f x x ax ax a a R 有四个不同的零点,则 a 的取值
范围是
三、解答题:本大题共 3 小题,共 31 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23. (本题满分 10 分)已知函数 ( ) sin( )sin 2f x x x .
(I)求 ( )6f 的值; (II)若 3( ) 10f , 0 3
.求 ( )6f 的值.
24.(本题满分 10 分)已知抛物线 2: 4C y x ,直线 l 与抛物线C 交
于 A , B 两点, P 为线段 AB 中点.
(Ⅰ)若 P 的纵坐标为5,求直线 l 的斜率;
(Ⅱ)若 | | 4AB a a ,求证:不论 4a a 取何值,当 P 点横坐标最小时,直线 l 过定点.
第 24 题图
25. (本题满分 11 分)已知二次函数 2f x ax bx c ,且 1x 时, 1f x .
(I)若 1,a b c ,求实数 b 的取值范围;
(II) a b c 的最大值;
(III)求证:当 3x 时, 17f x .
(解析版)
选择题部分 (共 54 分)
一、选择题:本大题共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
1.设集合 0,2,4,6,8,10A , 4,8B 则 AC B ( )
A. 4,8 B. 0,2,6 C. 0,2,6,10 D. 0,2,6,8,10
答案:C
解析:由集合的定义 AC B 0,2,6,10 ,选 C
2. cos600 等于 ( )
A. 1
2 B. 3
2
C. 3
2
D. 1
2
答案:D
解析: 1cos600 cos240 cos 180 60 cos60 2
,故选 D .
3.直线 3 5 0x y 的倾斜角为
A. 30 B. 60 C.120 D.150
答案:D
解析:∵直线斜率为 3
3
,倾斜角 的取值范围为 0 180 , , 3tan150 3
,∴直线的倾斜角为
150 .故
选 D.
4. 已知 1 84 x ,则函数 2( ) logf x x 的值域是( )
A.[ 3, 2] B.[ 2,3] C.[ 3,3] D.[ 2,2]
答案:B
5.圆心为 (1, 1) 且过原点的圆的一般方程是 ( )
A. 2 2 2 2 1 0x y x y B. 2 2 2 2 1 0x y x y
C. 2 2 2 2 0x y x y D. 2 2 2 2 0x y x y
答案: D.
解析:根据题意,要求圆的圆心为 (1, 1) ,且过原点,
且其半径 2 21 ( 1) 2r ,
则其标准方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y ,变形可得其一般方程是 2 2 2 2 0x y x y .
6.设 a , b R ,且 a b ,则 ( )
A. 3 3a b B. 2 2a b C.| | | |a b D. 1a
b
答案: A
解析:不妨令 1a , 2b ,显然 A 符合, B , C , D 均不符合,故选: A .
解 2:由于函数 3( )f x x 在 R 上为增函数,由 a b 得 3 3a b ,故选 A .
7.已知焦点在 轴上的椭圆
2 2
13
x y
m
的离心率为 1
2
,则 (m )
A.6 B. 6 C.4 D.2
答案:C
解析:法 1:焦点在 x 轴上的椭圆
2 2
13
x y
m
,可得 a m , 3c m ,
椭圆的离心率为 1
2
,可得: 3 1
2
m
m
,解得 4m .
法 2: 2 2 2
2 2
3 11 1 2
a bc be a a a m
,所以 4m
故选: C .
8.已知实数 x , y 满足约束条件
1
0
2 3 0
x
x y
x y
,则 x y 的最小值是 ( )
A. 2 B. 1 C.1 D.2
答案:A.
解析:作出实数 x , y 满足约束条件
1
0
2 3 0
x
x y
x y
表示的平面区域,
得到如图的三角形及其内部,
由 0
2 3 0
x y
x y
得 1, 1A ,
设 ,z F x y x y ,将直线 :l z x y 进行平移,
可得当l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最小值
1, 1 2z F .
故选:A.
9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8 B.12 C.16 D.24
答案:A
解析:由题意可知几何体的直观图如图:底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面三角形的直角顶点,
几何体的体积为: 1 1 3 4 4 83 2
.故选: A .
10.设 m 、 n 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则 ( )
A.若 / /m , / /n ,则 / /m n B.若 / /m , / /m ,则 / /
C.若 / /m n , n ,则 m D.若 / /m , ,则 m
答案:C
解析:对于 A ,若 / /m , / /n ,则 / /m n ,或 m , n 相交、异面,故不正确;
对于 B ,若 / /m , / /m ,则 / / 或 , 相交,故不正确;
对于 C ,因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直,则另一条一定和这个平面垂直,故正确;
对于 D ,若 / /m , ,则 m 、 相交或平行,或 m ,故不正确.故选 C .
11.在 ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别是 , ,a b c ,已知 5a , 7b , 8c ,则 (A C )
A. 90 B.120 C.135 D.150
答案: B.
解析:在 ABC 中, 5a Q , 7b , 8c ,
由余弦定理可得:
2 2 2 25 64 49 1cos 2 2 5 8 2
a c bB ac
,
b cQ ,故 B 为锐角,可得 60B ,
180 60 120A C .
12.若实数 x , y , z 满足 0.54x , 5log 3y , sin 22z
,则( )
A. x z y B. y z x C. z x y D. z y x
答案:D
解析: 0.54 2x , 5 50 log 3 log 5 1y , sin 2 cos2 02z
,
z y x ,故选:D.
答案: B .
13.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,公差为 d ,已知 1 0a , 5 17S S ,则 ( )
A. 11 0da B. 12 0da C. 1 12 0a a D. 1 11 0a a
解析: 5 17S S ,
1 1
5 4 17 165 172 2a d a d ,化为: 12 21 0a d .
21
12 1 1 1
2 2 2( 11 ) 021 21 441
ada a a a . 1( 0)a .
故选: B .
14.过双曲线
2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
, 的右焦点 F ,作渐近线 by xa
的垂线与双曲线左右两支都相交,
则双曲线离心率 e的取值范围为( )
A. 1 2, B. 1 2, C. 2 , D. 2 ,
答案:C
解析:过双曲线的右焦点 F 作渐近线 by xa
的垂线,设垂足为 A ,因为直线 AF 与双曲线左右两支
都相交,所以 AF 与渐近线 by xa
必定有交点 B,因此,直线 by xa
的斜率要小于直线 AF 的斜
率,即 2 2 2 2 2b a b a e ea b
,故选 C
15. 设 A 、 B 、 C 三 点 不 共 线 , 则 “ AB
与 AC
的 夹 角 是 钝 角 ” 是 “ AB AC BC ” 的
(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解 析 : 因 为 AB AC BC , 则 2 2 2
2AB AC AB AC BC , 则 2 2 22 cosc b bc A a , 即
2 2 2 22 cos 2 cosc b bc A c b bc A ,解得 cos 0A ,则 A 为钝角,故选 C.
16.对于无穷数列{ }na ,给出下列命题:
①若数列{ }na 既是等差数列,又是等比数列,则数列{ }na 是常数列.
②若等差数列{ }na 满足| | 2021na ,则数列{ }na 是常数列.
③若等比数列{ }na 满足| | 2021na ,则数列{ }na 是常数列.
④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na ,则数列{ }na 是常数列.
其中正确的命题个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案: C .
解析:对于①,若数列{ }na 既是等差数列又是等比数列,则数列{ }na 为常数列,且 0na ,故①正
确;
②若等差数列{ }na 满足| | 2021na ,由于数列{ }na 为无穷数列,
又数列{ }na 为等差数列,若公差不为 0,则| |na 无上界,则数列{ }na 是常数列,故②正确;
③若等比数列{ }na 满足| | 2021na ,考虑 1( )2
n
na ,则数列{ }na 不一定是常数列,故③错误;
④若各项为正数的等比数列{ }na 满足1 2021na ,即 1
11 2021na q
,可得 1 1a
, 1q
,
若 1q ,则 na 无上界,故 1q ,进而数列{ }na 是常数列,故④正确.
故选: C .
17.已知 ( )f x 是 R 上的奇函数,当 0x 时, 2log ( 1),0 1( ) | 3|, 1
x xf x x x
,则函数 1( ) 2y f x 的所
有零点之和是 ( )
A. 5 2 B.1 2 C. 2 1 D. 5 2
答案:A.
解析:法 1:根据题意,函数 1( ) 2y f x 的所有零点即方程 1( ) 2f x 的根,
当 0x 时,若 1( ) 2f x ,则有 2
1log ( 1) (0 1)2x x 或 1| 3| ( 1)2x x ,解得 2 1x 或 5
2
或
7
2
,
当 0x 时 , 若 1( ) 2f x , 有 1( ) ( ) 2f x f x , 即 2
1log ( 1) ( 1 0)2x x 或
1| 3| ( 1)2x x ,此时无解;则函数 1( ) 2y f x 的所有零点之和是 5 7( 2 1) 5 22 2
.
法 2:根据题意,函数 1( ) 2y f x 的所有零点即方程 1( ) 2f x 的根,
当 0x 时,若 1( ) 2f x ,则有 2
1log ( 1) (0 1)2x x 或 1| 3| ( 1)2x x ,解得 2 1x 或 5
2
或
7
2
,且 ( ) 0f x ,则当 0x 时,由 ( )f x 是 R 上的奇函数可知 ( ) 0f x ,故 1( ) 2f x 无解,则函
数 1( ) 2y f x 的所有零点之和是 5 7( 2 1) 5 22 2
.
18.如图,在三棱锥 S ABC 中, SA ABC 面 , AB BC ,E、F 是 SC 上两个三等分点,
记二面角 E AB F 的平面角为 ,则 tan ( )
A.有最大值 4
3 B.有最大值 3
4
C.有最小值 4
3 D.有最小值 3
4
答案:B.
解析:法 1:以 B 为原点, BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,过 B 作平面 ABC 的垂线为 z
轴,建立空间直角坐标系,
设 AB a ,则 2 1 2,0,0 , 0,0,0 , , ,3 3 3A a B E a b c
, 1 2 1, ,3 3 3F a b c
,
,0,0BA a , 2 1 2
3 3 3BE a b c
, , , 1 2 1
3 3 3BF a b c
, , ,
设平面 ABE 的法向量 , ,n x y z ,
则
0
2 1 2 03 3 3
n BA ax
n BE ax by cz
,取 z b ,得 0, 2 ,n c b ,
设平面 ABF 的法向量 , ,m x y z ,
则
0
1 2 1 03 3 3
m BA ax
m BF ax by cz
. ,取 2z b ,得 0, ,2m c b ,
∵二面角 E AB F 的平面角为 ,
∴
2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
2 2 4cos 4 4 54 4
2
c b c b
c b c bc b c b
m n
m n
.
,
∴ 3tan 4
. ∴ tan 有最大值 3
4
.
故选:B.
法 2:分别作二面角 F AB C 和 E AB C 的平面角
(如图所示),设它们的大小分别为 1 2, ,则所求二面角
F AB E 的大小为 1 2 .
设 , ,AB a BC b SA c ,
则有 1
2
23tan 1
3
c c
bb
, 2
1
3tan 2 2
3
c c
bb
,
所以 1 2tan 4tan ,于是
1 2 2
1 2 2
1 2 2
2
2
tan tan 3tan 3 3tan tan 11 tan tan 1 4tan 44tan tan
当且仅当 2
2
14tan tan
,即 2
1tan 2
时取等号. 此时 max
3tan 4
.
故选 B.
非选择题部分(共 46 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每空 3 分,共 15 分。
19.设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和.若 1 1a , 4 8a ,则 3a , 5S .
答案: 4 , 31
解析:设等比数列{ }na 的公比为 q , 1 1a , 4 8a , 3 8q ,解得 2q .
则 2
3 2 4a ,
5
5
1 2 311 2S
,故答案为: 4 , 31.
【另解】数感猜该等比数列为1,2,4,8,16, ,符合题意,则 3 4a , 5 31S .
20.若向量 1,1, xa , 1,2,1b , 1,1,1c ,满足条件 2 2 c a b ,则 x 2 .
21.如图,在 Rt ABC 中, 1,AC BC x , D 是斜边 AB 的中点,将 BCD 沿直线 CD 翻折,若在
翻折过程中存在某个位置,使得 CB AD ,则 x 的取值范围是
解析:法 1:由题意得,
2 1
2
xAD CD BD , BC x ,取 BC 中点 E ,
翻折前,在图 1 中,连接 ,DE CD ,则 1 1
2 2DE AC ,
翻折后,在图 2 中,此时 CB AD .
,BC DE BC AD , BC 平面 ADE ,
BC AE DE BC , ,又 BC AE , E 为 BC 中点, 1AB AC ,
211 4AE x ,
2 1
2
xAD ,
在 ADE 中:①
2
21 1 112 2 4
x x ,②
2
21 1 112 2 4
x x ,③ 0x ;
由①②③可得 0 3x .
如图 3,翻折后,当 1B CD 与 ACD 在一个平面上,
AD 与 1B C 交于 M ,且 1AD B C , 1AD B D CD BD , 1CBD BCD B CD ,
又 1 90CBD BCD B CD , 1 30CBD BCD B CD ,
60A , tan60BC AC ,此时 3x 。综上, x 的取值范围为 0, 3 ,故选 A.
法 2:作 CE AB ,如图,BD CD DA ,所以 CBD BCD ECA ,则 90 2DCE ,
若CB AD ,则 AD 平面 BCE ,所以存在某个位置, B 在底面的射影在直线 CE 上,
所以要求 90 2 ,即 30 ,所以 1 3tan 3x
,所以 0 3x
22.函数 2 2 Rf x x ax ax a a 有四个不同的零点,则 a 的取值范围
解析:(1)若 0a ,则 2f x x ,显然直线 y ax a 与 ( )f x 不可能有 4 个交点,不符合题意;
若 0a ,作出 2 2f x x ax 的函数图象,则直线 y ax a 与
f x 的图象不可能有 4 个交点,不符合题意;
若 0a ,作出 f x 的函数图象如图所示:
当 0 2x a 时, 2 2f x x ax ,
设直线 1y k x 与 y f x 在 0,2a 上的函数图象相切,切点为
00 ,x y ,
则
0
2
0 0 0
0 0
2 2
2
x a k
x ax y
kx k y
,解得 2 2 2 2 1k a a ,
2 2 2 2 1a a a ,解得 4a .
三、解答题:本大题共 3 小题,共 31 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23. (本题满分 10 分)已知函数 ( ) sin( )sin 2f x x x .
(I)求 ( )6f 的值;
(II)若 3( ) 10f ,0 3
.求 ( )6f 的值.
解: 1( ) sin( )sin + sin cos sin22 2f x x x x x x .
(I)所以 1 3( ) sin6 2 3 4f .
(II)因为 1 3( ) sin 22 10f ,所以 3sin 2 5
.
因为 0 3
,所以 20 2 3
,
又因为 3 3sin 2 5 2
,所以 0 2 2
,所以 4cos2 5
.
所以 1 1( ) sin2( ) sin(2 )6 2 6 2 3f
1 sin2 cos cos2 sin2 3 3
1 3 1 4 3 3 4 3
2 5 2 5 2 20
.
24.(本题满分 10 分)已知抛物线 2: 4C y x ,焦点 F ,直线l 与抛
物线C 交于 A , B 两点,线段 AB 中点 P
(Ⅰ)若 P 的纵坐标为5,求直线l 的斜率;
(Ⅱ)若 | | 4AB a a ,求证:不论 4a a 取何值,当 P 点横坐标最小时,直线 l 过定点。
第 24 题
解:
(I)设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,
2
1 1
2
2 2
4
4
y x
y x
,作差可得 2 2
1 2 1 24 4y y x x ,
所以 1 2
1 2 1 2
4 4 2
10 5l
y yk x x y y
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ty m ,联立 2 4y x ,可得
2 4 4 0y ty m ,可得 1 2 4y y t , 1 2 4y y m ,
则 2 2 2 2
1 2 1 2| | 1 ( ) 4 1 16 16MN t y y y y t t m a ,可得
2
2
216(1 )
am tt
,
则
2 2
2 2
1 2 1 2 2( ) 2 4 2 2(1 ) 2 2 2 28(1 ) 4
a ax x t y y m t m t at
,
当且仅当
2
2
2 2(1 )8(1 )
a tt
,即 2 1 4
at ,代入可得 1m ,故直线过定点 1,0
25. (本题满分 11 分)已知二次函数 2f x ax bx c ,且 1x 时, 1f x .
(I)若 1,a b c ,求实数 b 的取值范围
(II) a b c 的最大值
(III)求证:当 3x 时, 17f x
解:
(I) 2f x x bx b
因为 1x 时, 1f x
故
1 1 1
1 1 1
1 0 1
f
f
f
,解得 1 0b ,故: 1x 时, 1f x 等价于
1 1 1
1 1 1
1 12
f
f
bf
可解得:2 2 2 0b
(II)
1
1
0
f a b c
f a b c
f c
,故解得:
1 1 2 0
2
1 1
2
0
f f fa
f fb
c f
1 1 2 0 1 1 02 2
1 1 1 1 2 02 2
f f f f fa b c f
f f f f f
故 max 1 , 1 2 0 3f f f
(III) 2 6 3 8 03 3
x xf x ax bx c f f f
当 3x 时, 1, 13 3
x x
故 6 3 8 0 6 3 8 0 173 3 3 3
x x x xf x f f f f f f
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