山东省淄博市2021届高三上学期12月教学质量摸底检测（零模）数学试题 6页

高三数学试题 第 1 页（共 6 页） 参照秘密级管理★启用前 普通高中高三教学质量摸底检测考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写 在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  1,2,3,4,5U  ，  1,3A  ，  2,3,4B  ，则 ( )U A B  A． 1,3,4,5 B． 1,2,4 C． 2,4 D． 2．若 (1 ) 2z i i  ，则复数 z  A． 1 i  B． 1 i  C．1 i D．1 i 3．已知向量 ,a b 的夹角为 2 π 3 ， | | 2a  ， | | 1b  ，则 2a b  A．2 3 B．3 C． 3 D．12 4．某校学生的男女人数之比为2 :3，按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一 个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟．结合此数 据，估计该校全体学生每天运动时间的平均值为 A．98分钟 B．90分钟 C．88分钟 D．85分钟 5．若正实数 ,x y满足 3x y xy  ，则3 4x y 的最小值是 A．12 B．15 C．25 D．27 6．已知定义在R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( ) (2 )f x f x  ，且在[ 1,0) 上有 ( ) 4xf x  ，则 (2020.5)f  A．2 B． 1 2 C． 2 D． 1 2  7．在6 张奖券中有一等奖奖券1张、二等奖奖券2 张、三等奖奖券3张．现有3个人 抽奖，每人2 张，则不同的获奖情况有 A．15 B．18 C．24 D．90 高三数学试题 第 2 页（共 6 页） 8．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的强度常用 I (单位：瓦/米 2 ，即 2/ mW )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 L (单位： 分贝)表示，它们满足换算公式： 0 10lg I L I  ( 0L  ，其中 12 2 0 1 10 / mI W  是人 平均能听到的声音的最小强度)．国家《城市区域噪声标准》中规定白天公共场所不 超过 60 分贝，则要求声音的强度不超过 A． 610 2/ mW B． 610 2/ mW C． 126 10 2/ mW D． 121 10 6  2/ mW 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．已知 ,a bR ，则下列叙述中正确的是 A．若a b ，则 1 1 a b  B．若 0a b  ，则 0a b  C．“ 1a  ”是“ 2a a ”的充分不必要条件 D．命题“ 1a  ， 2 1 0a   ”的否定是“ 1a  ， 2 1 0a   ” 10．为了更好地支持“中小 型企业”的发展，某市决定 对部分企业的税收进行适 当的减免，现调查了当地的 100家中小型企业年收入 情况，并根据所得数据画出 了样本的频率分布直方图， 则下面结论正确的是 A．样本在区间[500,700] 内的频数为18 B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地 中小型企业能享受到减免税政策 C．样本的中位数小于350万元 D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表） 高三数学试题 第 3 页（共 6 页） 11．已知函数    sinf x A x   （其中 0A  ， 0  ， π 2   ）的部分图像，则下列结论正确的是 A．函数  f x 的图像关于直线 π 12 x  对称 B．函数  f x 的图像关于点 π ,0 12       对称 C．将函数  f x 图像上所有的点向右平移 π 6 个单位，得到函数  g x ，则  g x 为奇 函数 D．函数  f x 在区间 4 12 π π ,       上单调递增 12．定义“正对数函数”： 0, 0 1 ln ln , 1 x x x x       ． 若 0, 0a b  ，则下列说法正确的是 A． ln lna a  B． ( )( n 0ln l )a b a b    C． ln ( ) ln lnab a b    D． ln ( ) lnba b a  三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知随机变量  2~ 1,N  ，若 ( 3) 0.3P    ，则 ( 1 1)P    ____． 14．已知 π (0 ) 2   ， ， tan 3  ，则 π sin(2 ) 4   =______________． 15．在二项式 72 ( )x x  的展开式中，所有项系数之和为__________，含 4x 的项的系 数是_________（用数字作答，第1空2 分，第2 空3分）． 高三数学试题 第 4 页（共 6 页） 16．已知数列 na 为等差数列，数列 nb 为等比数列．若集合  1 2 3, ,A a a a ，集 合  1 2 3, ,B b b b ，集合  , , 2 ( 0, 0)C a b a b    ，且 A B C  ，则a b  ____________________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球 表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预 定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有 重大而深远的影响．为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社 团在本校高一年级进行了纳新工作．前五天的报名情况为：第1天3人，第2 天6 人， 第3天10人，第4 天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间 具有线性相关关系． （1）已知第 x 天的报名人数为 y ，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测第7 天 的报名人数（结果四舍五入取整数）． （2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查 了100名学生，并得到如下2 2 列联表： 有兴趣 无兴趣 合计 男生 45 5 50 女生 30 20 50 合计 75 25 100 请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学 生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”； 参考公式及数据：回归方程 ˆˆ ˆy a bx  中斜率的最小二乘估计公式为：      1 2 1 1 2 2 1 ˆ i n n i i i n n i i i i i i x y n n x x y y x y b x x x x               ， ˆâ y bx  ； K 2 ＝ 2( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d      ，其中n a b c d    ． 2P K k（ ） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高三数学试题 第 5 页（共 6 页） 18．（12 分）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c， 3 tan tan cos a C B b C   ． （1）求角 B 的大小； （2）若 5 2 a c  ， 1 2 BA BC  ，求b 的值． 19．（12 分）已知数列 na 是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前n 项和为 nS ， 1 5 81a a  ， 2 ,S 3 ,a 4 3a S 成等差数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 ，求 n na b 的前n 项和 nP ，并求 nP 的最小值． 从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题． ①数列 nb 满足： 1 1 2 b  ，  13 2 n n n n n b b     * N ； ②数列 nb 的前n 项和  2 nT n n  * N ； ③数列 nb 的前n 项和 nT 满足：  6 5n n nT b   * N ． 注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分． 20．（12 分）已知函数 3 2( ) ( 0f x ax x bx c a     ，且 , , )a b cR 在 0x  处取 得极值 1 ． （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）判断是否存在实数a 使得函数 ( )f x 的图像与直线 2 0x y   相切，若存 在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 高三数学试题 第 6 页（共 6 页） 21．（12 分）某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3红 2 白共5个小球，乙盒中有1红 4 白共5个小球，这些小球除颜色外完全相同．有两 种活动规则： 规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红 球，则还从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每 摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）； 规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红 球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出1个 红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）． （1）按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望； （2）请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由． 22．（12 分）已知函数 ( ) xf x xe e  （ e 是自然对数的底数）． （1）求函数 ( )f x 的最小值； （2）若函数 ( ) ( ) lng x f x k x  有且仅有两个不同的零点，求实数 k 的取值范 围．