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  • 2021-06-16 发布

山东省聊城市2021届高三第一学期期中考试数学试卷

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2020—2021 学年度第一学期期中教学质量检测 高三数学试题 本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到 答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第 Ⅰ 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3. 第 Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应 的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案无效. 第 Ⅰ 卷   选择题( 60 分) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 . 1. 已知集合 A={x|x-1>0},B={y|y=2 x -1},则 A∪B= (  ) A.(1,+∞)    B.(-1,+∞)    C.(-∞,-1)    D.(-∞,1) 2. 如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数z=1+ai 2i 为“等部复 数”,则实数a 的值为 (  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3. 已知条件 p:x2 +x-2>0,条件q:x<a,若 p 是 q 的必要不充分条件,则a 的取值范围是 (  ) A.a≥1 B.a≤1 C.a≥-2 D.a≤-2 4. 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则此函数可能是 (  ) A.f(x)=cosxŰlnx B.f(x)=cosxŰln|x| C.f(x)=-cosxŰln|x| D.f(x)=|cosxlnx| 5. 刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出“割圆求周”方法:当n 很 大时,用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很 )页 6 共(页 1 第题试学数三高 高的圆周率 π≈3.1416. 在«九章算术注»中总结出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不 可割,则与圆周合体而无所失矣”的极限思想,可以说他是中国古代极限思想的杰出代表 . 运 用此思想,当 π 取 3.1416 时可得 cos89° 的近似值为 (  ) A.0.00873 B.0.01745 C.0.02618 D.0.03491 6. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< π 2)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin(3x- π 4)的 图象,只需将f(x)的图象 (  ) A. 向右平移π 6 个单位长度 B. 向左平移π 6 个单位长度 C. 向右平移π 2 个单位长度 D. 向左平移π 2 个单位长度 7. 若函数f(x)为 定义在 R 上的偶函数,且 在 (0,+ ∞)内 是 增 函 数,又 f(2)=0,则 不 等 式 xf(x-1)>0 的解集为 (  ) A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-1,1)∪(3,+∞) C.(-1,0)∪(3,+∞) D.(-2,0)∪(2,+∞) 8. 已知a,b∈R,ex ≥ax+b 对任意的x∈R 恒成立,则ab 的最大值为 (  ) A.1e B.1 C.2 D. e 2 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求 . 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 . 9. 已知a,b∈R,下列说法正确的有 (  ) A. 若a>b,则1a2<1b2 B. 若a>b,则a3 >b3 C. 若ab=1,则a+b≥2 D. 若a2 +b2 =1,则ab≤1 2 10. 某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试 . 学校对参加测 试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名 . 其中甲、 乙、丙三位同学的排名情况如图所示: )页 6 共(页 2 第题试学数三高 则下面判断中一定正确的是 (  ) A. 甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B. 乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 C. 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 D. 甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同学更靠前 11. 已知向量e1,e2 是平面α 内的一组基向量,O 为α 内的定点,对于α 内任意一点P,当OP→=x e1+ye2 时,则称有序实数对(x,y)为点 P 的广义坐标.若点 A、B(异于点O)的广义坐标分 别为(x1,y1),(x2,y2),关于下列命题正确的是 (  ) A. 线段 A、B 的中点的广义坐标为( x1+x2 2 , y1+y2 2 ) B.A、B 两点间的距离为 (x1-x2)2 +(y1-y2)2 C. 向量OA→平行于向量OB→的充要条件是x1y2=x2y1 D. 向量OA→垂直于OB→的充要条件是x1x2+y1y2=0 12. 已知 △ABC 的内角A,B,C 的对边长a,b,c 成等比数列,cos(A-C)=cosB+1 2,延长BA 至D.则下面结论正确的是 (  ) A.A=π 6 B.B=π 3 C. 若CD=3,则 △ACD 周长的最大值为 2 3+3 D. 若BD=4,则 △ACD 面积的最大值为 3 )页 6 共(页 3 第题试学数三高 第 Ⅱ 卷   非选择题( 90 分) 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 . 13. 若曲线f(x)=xsinx 在x= π 2 处的切线与直线ax-y+1=0 平行,则实数a= . 14. 已 知 △ABC 中,AC =1,BC = 3,AB =2,点 M 是 线 段 AB 的 中 点,则CM→ ŰCA→ = . 15.2020 年疫情期间,某医院 30 天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{an },己 知a1=1,a2=2,且满足an+2-an =1-(-1) n ,则该医院 30 天内因患新冠肺炎就诊的人数 共有 . 16. 设f(x)= |1nx|,0<x≤3 f(6-x),3<x<6 { ,若方程f(x)=m 有四个不相等的实根xi(i=1,2,3,4),则 m 的取值范围为 ;x2 1 +x2 2 +x2 3 +x2 4 的最小值为 . (第一空 2 分,第二 空 3 分) 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分 . 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 17. (本小题满分 10 分) 在 △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a(cosB+cosC)=(b+c)cosA,S△ABC =10 3. (1)若 △ABC 还同时满足下列三个条件中的两个:①a=7,②b=10,③c=8,请指出这两个 条件,并说明理由; (2)若a=2 6,求 △ABC 的周长. )页 6 共(页 4 第题试学数三高 18. (本小题满分 12 分) Sn 为等差数列{an }的前n 项和,且a1=2,S7=35,记bn =[lgan ],其中[x]表示不超过x 的 最大整数,如[0.9]=0,[1g99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn }的前 2020 项和. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数f(x)=log3(3 x +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求k 的值; (2)若不等式f(x)-1 2 x-a≤0 对x∈[0,+∞)恒成立,求实数a 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< π 2)的图像与直线y=2 两相邻交点之间的距离 为π,且图像关于x= π 12 对称. (1)求y=f(x)的解析式; (2)令函数g(x)=f(x)+1,且y=g(x)在[0,a]上恰有 10 个零点,求a 的取值范围. )页 6 共(页 5 第题试学数三高 21. (本小题满分 12 分)    某一企业为了进一步增加市场竞争力,计划在 2021 年利用新技术生产某款智能手机 . 通 过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本 200 万元,每生产x(千部)手机,需另投入 成本P(x)万 元,且 P (x)= 5x2 +100x,0<x<50 501x+8100x -10380,x≥50 ì î í ïï ïï ,由 市 场 调 研 知,每 部 手 机 售 价 5000 元,且全年内生产的手机若不超过 100(千部)则当年能全部销售完. (1)求出 2021 年的利润y(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润 = 销售额 - 成本); (2)2021 年年产量x(千部)为多少时,企业所获利润最大? 最大利润是多少? 22. (本小题满分 12 分) 已知函数f(x)=ex -1-asinx(a∈R). (1)当a=1 时,判断f(x)在(0,+∞)的单调性; (2)当x∈[0,π]时,f(x)≥0 恒成立,求实数a 的取值范围. )页 6 共(页 6 第题试学数三高 2020—2021 学年度第一学期期中教学质量检测 高三数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题: BADC BACD二、多项选择题: 9.BD 10.ABC 11.AC 12.BCD三、填空题: 13.1 14.1 2 15.255 16.(0,ln3),50 四、解答题 17. 解:因为a(cosB+cosC)=(b+c)cosA,所以 sinA(cosB+cosC)=(sinB+sinC)cosA,所 以 sin(A-B)=sin(C-A).又因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,即 2A=B+C,所 以 A= π 3 .因为S△ABC =10 3,所以S△ABC =1 2 bcsinA=1 2 bc× 3 2 =10 3,所以bc=40. 2 分 ƺ ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 选条件 ①②:因为 a sinA= b sinB,所以 7 3 2 = 10 sinB,所以 sinB=5 3 7 >1,这不可能,所以 △ABC 不能同时满足 ①③, 3 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ选条件 ②③:这与bc=40 矛盾.所以 △ABC 不能同时满足 ②③. 4 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ选条件 ①③:因为a2 =b2 +c2 -2bccosA, 所以 7 2 =b2 +8 2 -2×b×8×cos π 3,所以b=3 或b=5,又因为bc=40,所以b=5,所以 △ABC 同时满足 ①②. 5 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (2)由(2 6)2 =b2 +c2 -2bccos π 3=(b+c)2 -3bc=(b+c)2 -120, 8 分ƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以b+c=12, 9 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以周长为 12+2 6. 10 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 18.解:(1)由题意得,所以S7=7(a1+a7) 2 =7a4=35,所以a4=5 又因为a1=2,所以d=1,所 以an =n+1. 3 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以bn =[lg(n+1)],所以b1=0,b11=1,b101=2. 5 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (2)bn =[lg(n+1)],当an ∈[2,10)时,bn =0; 6 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[10,100)时,bn =1; 7 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[100,1000)时,bn =2; 8 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[1000,2020]时,bn =3; 9 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以T2020=0×8+1×90+2×900+3×1021=4953. 12 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 19.解:(1)因为y=f(x)偶函数,所以 ∀x∈R,f(-x)=f(x),即 log3(3 -x +1)-kx=log(3 x +1)+kx 对 ∀x∈R 恒成立. 2 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 于是 2kx=log(3 -x +1)-log3(3 x +1)=log33 -x +1 3 x +1 =log33 -x =-x 恒成立, 而x 不恒为零,所以k=-1 2 . 6 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (2)因为不等式f(x)-1 2 x-a≤0 对x∈[0,+∞)恒成立, 即a≥log3(3 x +1)-x 在区间[0,+∞)上恒成立, 令g(x)=log3(3 x +1)-x=log3(1+1 3 x ), 10 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ )页 2 共(页 1 第案答考参题试学数三高 因为 1<1+1 3 x ≤2,所以g(x)=log3(1+1 3 x )≤log32,所以a≥log32, 所以a 的取值范围是[log32,+∞) 12 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 20.解:(1)由已知可得T=π,2π ω =π,∴ω=2 2 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又f(x)的图象关于x= π 12 对称,所以 2× π 12+φ=kπ+ π 2,k∈Z 4 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∵- π 2<φ< π 2,∴φ= π 3 . 5 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以f(x)=2sin(2x+ π 3) 6 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (2)令g(x)=0,求得 sin(2x+ π 3)=-1 2, 要使y=g(x)在[0,a]上恰有 10 个零点,则 5×2π- π 6≤2a+ π 3<5×2π+π+ π 6, 10 分ƺƺƺ 解得19π 4 ≤a<65π 12 . 所以a 的取值范围是[19π 4 ,65π 12 ). 12 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 21.解:(1)当 0<x<50 时,y=500x-(5x2 +100x)-200=-5x2 +400x-200; 2 分ƺƺƺ 当 50≤x≤100 时,y=500x-(501x+8100x -10380)-200=-(x+8100x )+10180, 4 分 ƺƺ ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴y= -5x2 +400x-200,0<x<50 -(x+8100x )+10180,50≤x≤100{ . 6 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (2)若 0<x<50,y=-5(x-40)2 +7800,当x=40 时,ymax=7800 万元. 8 分ƺƺƺƺƺ 若 50≤x≤100,y=-(x+8100x )+10180≤10180-2 8100=10000, 当且仅当x=8100x 时,即x=90 时,ymax=10000 万元. 11 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴2021 年年产量为 90 千部时,企业所获利润最大,最大利润是 10000 万元. 12 分ƺƺƺƺ 22.解:(1)当a=1 时,f(x)=ex -1-sinx,所以f′(x)=ex -cosx 1 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当x∈(0,+∞)时,ex >1,cosx≤1,所以f′(x)>0. 3 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 4 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (2)因为f(x)=ex -1-asinx(a∈R),所以f′(x)=ex -acosx,设h(x)=f′(x),h′(x)=ex +asinx,当a≤0 时,即 -a≥0 时,因为x∈[0,π],sinx≥0,所以 -asinx≥0,而ex -1≥0,所以ex -1-asinx≥0,即f(x)≥0 恒成立, 6 分ƺƺƺƺ当 0<a≤1 时,h′(x)=ex +asinx≥0,所以f′(x)在[0,π]上递增,而f′(0)=1-a≥0,所以f′(x)≥f′(0)=0,所以f(x)在[0,π]上递增,即f(x)≥f(0)=0 成立, 8 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当a>1 时,h′(x)=ex +asinx≥0,所以f′(x)在[0,π]上递增,而f′(0)=1-a<0,f′( π 2) =e π 2 >0,所以存在x0∈[0,π],有f′(x0)=0,当 0<x<x0 时,f′(x)<0,f(x)递减,当x0<x<π 时,f′(x)>0,f(x)递增,所以当x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0),而f(x0)<f(0)=0,不成立. 11 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ综上:实数a 的取值范围是(-∞,1]. 12 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ )页 2 共(页 2 第案答考参题试学数三高