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- 2021-06-16 发布
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2020—2021
学年度第一学期期中教学质量检测
高三数学试题
本试卷分第
Ⅰ
卷(选择题)和第
Ⅱ
卷(非选择题)两部分.满分
150
分.考试用时
120
分钟.
注意事项:
1.
答题前,考生务必用
0.5
毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到
答题卡和试卷规定的位置上.
2.
第
Ⅰ
卷每小题选出答案后,用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.
第
Ⅱ
卷必须用
0.5
毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应
的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.
不按以上要求作答的答案无效.
第
Ⅰ
卷
选择题(
60
分)
一、单项选择题:本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的
.
1.
已知集合 A={x|x-1>0},B={y|y=2
x
-1},则
A∪B= ( )
A.(1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
2.
如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数z=1+ai
2i
为“等部复
数”,则实数a 的值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.
已知条件
p:x2
+x-2>0,条件q:x<a,若
p
是
q
的必要不充分条件,则a 的取值范围是
( )
A.a≥1 B.a≤1 C.a≥-2 D.a≤-2
4.
已知函数y=f(x)的图象如图所示,则此函数可能是 ( )
A.f(x)=cosxŰlnx B.f(x)=cosxŰln|x|
C.f(x)=-cosxŰln|x| D.f(x)=|cosxlnx|
5.
刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出“割圆求周”方法:当n 很
大时,用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很
)页
6
共(页
1
第题试学数三高
高的圆周率
π≈3.1416.
在«九章算术注»中总结出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不
可割,则与圆周合体而无所失矣”的极限思想,可以说他是中国古代极限思想的杰出代表
.
运
用此思想,当
π
取
3.1416
时可得
cos89°
的近似值为 ( )
A.0.00873 B.0.01745 C.0.02618 D.0.03491
6.
函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
π
2)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin(3x-
π
4)的
图象,只需将f(x)的图象 ( )
A.
向右平移π
6
个单位长度
B.
向左平移π
6
个单位长度
C.
向右平移π
2
个单位长度
D.
向左平移π
2
个单位长度
7.
若函数f(x)为 定义在 R 上的偶函数,且 在 (0,+ ∞)内 是 增 函 数,又 f(2)=0,则 不 等 式
xf(x-1)>0
的解集为 ( )
A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-1,1)∪(3,+∞)
C.(-1,0)∪(3,+∞) D.(-2,0)∪(2,+∞)
8.
已知a,b∈R,ex
≥ax+b 对任意的x∈R 恒成立,则ab 的最大值为 ( )
A.1e B.1 C.2 D.
e
2
二、多项选择题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分
.
在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求
.
全部选对的得
5
分,部分选对的得
3
分,有选错的得
0
分
.
9.
已知a,b∈R,下列说法正确的有 ( )
A.
若a>b,则1a2<1b2 B.
若a>b,则a3
>b3
C.
若ab=1,则a+b≥2 D.
若a2
+b2
=1,则ab≤1
2
10.
某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试
.
学校对参加测
试的
200
名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名
.
其中甲、
乙、丙三位同学的排名情况如图所示:
)页
6
共(页
2
第题试学数三高
则下面判断中一定正确的是 ( )
A.
甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B.
乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
C.
甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前
D.
甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同学更靠前
11.
已知向量e1,e2
是平面α 内的一组基向量,O 为α 内的定点,对于α 内任意一点P,当OP→=x
e1+ye2
时,则称有序实数对(x,y)为点 P 的广义坐标.若点 A、B(异于点O)的广义坐标分
别为(x1,y1),(x2,y2),关于下列命题正确的是 ( )
A.
线段 A、B 的中点的广义坐标为(
x1+x2
2 ,
y1+y2
2 )
B.A、B 两点间的距离为 (x1-x2)2
+(y1-y2)2
C.
向量OA→平行于向量OB→的充要条件是x1y2=x2y1
D.
向量OA→垂直于OB→的充要条件是x1x2+y1y2=0
12.
已知
△ABC 的内角A,B,C 的对边长a,b,c 成等比数列,cos(A-C)=cosB+1
2,延长BA
至D.则下面结论正确的是 ( )
A.A=π
6
B.B=π
3
C.
若CD=3,则
△ACD 周长的最大值为
2 3+3
D.
若BD=4,则
△ACD 面积的最大值为
3
)页
6
共(页
3
第题试学数三高
第
Ⅱ
卷
非选择题(
90
分)
三、填空题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分
.
13.
若曲线f(x)=xsinx 在x=
π
2
处的切线与直线ax-y+1=0
平行,则实数a= .
14.
已 知
△ABC 中,AC =1,BC = 3,AB =2,点 M 是 线 段 AB 的 中 点,则CM→ ŰCA→ =
.
15.2020
年疫情期间,某医院
30
天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{an },己
知a1=1,a2=2,且满足an+2-an =1-(-1)
n
,则该医院
30
天内因患新冠肺炎就诊的人数
共有
.
16.
设f(x)=
|1nx|,0<x≤3
f(6-x),3<x<6
{ ,若方程f(x)=m 有四个不相等的实根xi(i=1,2,3,4),则
m 的取值范围为 ;x2
1 +x2
2 +x2
3 +x2
4
的最小值为
.
(第一空
2
分,第二
空
3
分)
四、解答题:本题共
6
小题,共
70
分
.
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
.
17.
(本小题满分
10
分)
在
△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a(cosB+cosC)=(b+c)cosA,S△ABC =10 3.
(1)若
△ABC 还同时满足下列三个条件中的两个:①a=7,②b=10,③c=8,请指出这两个
条件,并说明理由;
(2)若a=2 6,求
△ABC 的周长.
)页
6
共(页
4
第题试学数三高
18.
(本小题满分
12
分)
Sn 为等差数列{an }的前n 项和,且a1=2,S7=35,记bn =[lgan ],其中[x]表示不超过x 的
最大整数,如[0.9]=0,[1g99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn }的前
2020
项和.
19.
(本小题满分
12
分)
已知函数f(x)=log3(3
x
+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k 的值;
(2)若不等式f(x)-1
2
x-a≤0
对x∈[0,+∞)恒成立,求实数a 的取值范围.
20.
(本小题满分
12
分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
π
2)的图像与直线y=2
两相邻交点之间的距离
为π,且图像关于x=
π
12
对称.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)令函数g(x)=f(x)+1,且y=g(x)在[0,a]上恰有
10
个零点,求a 的取值范围.
)页
6
共(页
5
第题试学数三高
21.
(本小题满分
12
分)
某一企业为了进一步增加市场竞争力,计划在
2021
年利用新技术生产某款智能手机
.
通
过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本
200
万元,每生产x(千部)手机,需另投入
成本P(x)万 元,且 P (x)=
5x2
+100x,0<x<50
501x+8100x -10380,x≥50
ì
î
í
ïï
ïï ,由 市 场 调 研 知,每 部 手 机 售 价
5000
元,且全年内生产的手机若不超过
100(千部)则当年能全部销售完.
(1)求出
2021
年的利润y(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润
=
销售额
-
成本);
(2)2021
年年产量x(千部)为多少时,企业所获利润最大? 最大利润是多少?
22.
(本小题满分
12
分)
已知函数f(x)=ex
-1-asinx(a∈R).
(1)当a=1
时,判断f(x)在(0,+∞)的单调性;
(2)当x∈[0,π]时,f(x)≥0
恒成立,求实数a 的取值范围.
)页
6
共(页
6
第题试学数三高
2020—2021
学年度第一学期期中教学质量检测
高三数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题:
BADC BACD二、多项选择题:
9.BD 10.ABC 11.AC 12.BCD三、填空题:
13.1 14.1
2 15.255 16.(0,ln3),50
四、解答题
17.
解:因为a(cosB+cosC)=(b+c)cosA,所以
sinA(cosB+cosC)=(sinB+sinC)cosA,所
以
sin(A-B)=sin(C-A).又因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,即
2A=B+C,所
以 A=
π
3
.因为S△ABC =10 3,所以S△ABC =1
2
bcsinA=1
2
bc× 3
2 =10 3,所以bc=40.
2
分
ƺ
ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
选条件
①②:因为 a
sinA=
b
sinB,所以 7
3
2
= 10
sinB,所以
sinB=5 3
7 >1,这不可能,所以
△ABC
不能同时满足
①③, 3
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ选条件
②③:这与bc=40
矛盾.所以
△ABC 不能同时满足
②③. 4
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ选条件
①③:因为a2
=b2
+c2
-2bccosA,
所以
7
2
=b2
+8
2
-2×b×8×cos
π
3,所以b=3
或b=5,又因为bc=40,所以b=5,所以
△ABC 同时满足
①②. 5
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(2)由(2 6)2
=b2
+c2
-2bccos
π
3=(b+c)2
-3bc=(b+c)2
-120, 8
分ƺƺƺƺƺƺƺƺ
所以b+c=12, 9
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以周长为
12+2 6. 10
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
18.解:(1)由题意得,所以S7=7(a1+a7)
2 =7a4=35,所以a4=5
又因为a1=2,所以d=1,所
以an =n+1. 3
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以bn =[lg(n+1)],所以b1=0,b11=1,b101=2. 5
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(2)bn =[lg(n+1)],当an ∈[2,10)时,bn =0; 6
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[10,100)时,bn =1; 7
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[100,1000)时,bn =2; 8
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[1000,2020]时,bn =3; 9
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以T2020=0×8+1×90+2×900+3×1021=4953. 12
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
19.解:(1)因为y=f(x)偶函数,所以
∀x∈R,f(-x)=f(x),即
log3(3
-x
+1)-kx=log(3
x
+1)+kx 对
∀x∈R 恒成立. 2
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
于是
2kx=log(3
-x
+1)-log3(3
x
+1)=log33
-x
+1
3
x
+1 =log33
-x
=-x 恒成立,
而x 不恒为零,所以k=-1
2
. 6
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(2)因为不等式f(x)-1
2
x-a≤0
对x∈[0,+∞)恒成立,
即a≥log3(3
x
+1)-x 在区间[0,+∞)上恒成立,
令g(x)=log3(3
x
+1)-x=log3(1+1
3
x ), 10
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
)页
2
共(页
1
第案答考参题试学数三高
因为
1<1+1
3
x ≤2,所以g(x)=log3(1+1
3
x )≤log32,所以a≥log32,
所以a 的取值范围是[log32,+∞) 12
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
20.解:(1)由已知可得T=π,2π
ω =π,∴ω=2 2
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
又f(x)的图象关于x=
π
12
对称,所以
2×
π
12+φ=kπ+
π
2,k∈Z 4
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∵-
π
2<φ<
π
2,∴φ=
π
3
. 5
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
所以f(x)=2sin(2x+
π
3) 6
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(2)令g(x)=0,求得
sin(2x+
π
3)=-1
2,
要使y=g(x)在[0,a]上恰有
10
个零点,则
5×2π-
π
6≤2a+
π
3<5×2π+π+
π
6, 10
分ƺƺƺ
解得19π
4 ≤a<65π
12
.
所以a 的取值范围是[19π
4 ,65π
12 ). 12
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
21.解:(1)当
0<x<50
时,y=500x-(5x2
+100x)-200=-5x2
+400x-200; 2
分ƺƺƺ
当
50≤x≤100
时,y=500x-(501x+8100x -10380)-200=-(x+8100x )+10180,
4
分
ƺƺ
ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∴y=
-5x2
+400x-200,0<x<50
-(x+8100x )+10180,50≤x≤100{ . 6
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(2)若
0<x<50,y=-5(x-40)2
+7800,当x=40
时,ymax=7800
万元. 8
分ƺƺƺƺƺ
若
50≤x≤100,y=-(x+8100x )+10180≤10180-2 8100=10000,
当且仅当x=8100x
时,即x=90
时,ymax=10000
万元. 11
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∴2021
年年产量为
90
千部时,企业所获利润最大,最大利润是
10000
万元. 12
分ƺƺƺƺ
22.解:(1)当a=1
时,f(x)=ex
-1-sinx,所以f′(x)=ex
-cosx 1
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当x∈(0,+∞)时,ex
>1,cosx≤1,所以f′(x)>0. 3
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 4
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(2)因为f(x)=ex
-1-asinx(a∈R),所以f′(x)=ex
-acosx,设h(x)=f′(x),h′(x)=ex
+asinx,当a≤0
时,即
-a≥0
时,因为x∈[0,π],sinx≥0,所以
-asinx≥0,而ex
-1≥0,所以ex
-1-asinx≥0,即f(x)≥0
恒成立, 6
分ƺƺƺƺ当
0<a≤1
时,h′(x)=ex
+asinx≥0,所以f′(x)在[0,π]上递增,而f′(0)=1-a≥0,所以f′(x)≥f′(0)=0,所以f(x)在[0,π]上递增,即f(x)≥f(0)=0
成立, 8
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
当a>1
时,h′(x)=ex
+asinx≥0,所以f′(x)在[0,π]上递增,而f′(0)=1-a<0,f′(
π
2)
=e
π
2 >0,所以存在x0∈[0,π],有f′(x0)=0,当
0<x<x0
时,f′(x)<0,f(x)递减,当x0<x<π 时,f′(x)>0,f(x)递增,所以当x=x0
时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0),而f(x0)<f(0)=0,不成立. 11
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ综上:实数a 的取值范围是(-∞,1]. 12
分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
)页
2
共(页
2
第案答考参题试学数三高
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