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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
滨海新区 2020-2021 学年度第一学期期末质量检测
高一数学试题
满分 150 分,考试时间 100 分钟.
一、选择题:本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.
1. 已知集合 A={1,3,5},B={2,3,5,6},则 A∩B=( )
A. B. {3,5} C. {1,2,6} D. {1,2,3,
5,6}
【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集的定义直接出结果即可.
【详解】因为 A={1,3,5},B={2,3,5,6},
所以 3,5A B ,
故选:B.
【点睛】关键点点睛:该题考查的是有关集合的问题,解题的关键是熟练掌握交集的定义.
2. 命题“ [0, )x , e 1x ”的否定是( )
A. [0, )x , e 1x B. [0, )x , e 1x
C. [0, )x , e 1x D. [0, )x , e 1x
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称量词的否定是存在量词可得答案.
【详解】因为全称量词的否定是存在量词,
所以命题“ [0, )x , e 1x ”的否定是“ [0, )x , e 1x ”.
故选:D
3. 设函数 ( ) 2 + 5xf x x ,则函数 ( )f x 的零点所在区间是( )
- 2 -
A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理分析可得结果.
【详解】因为函数 ( ) 2 + 5xf x x 的图象连续不断,
且 1 11( 1) 2 1 5 02f , (0) 1 0 5 4 0f ,
(1) 2 1 5 2 0f , 2(2) 2 2 5 1 0f , 3(3) 2 3 5 6 0f ,
所以函数 ( )f x 的零点所在区间是 (1,2) .
故选:C
4. 在平面直角坐标系 xOy 中,角 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边
经过点 (4,3)P ,那么 cos 的值是( )
A. 4
5 B. 3
4 C. 4
3 D. 3
5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为 4x , 3y ,所以 2 23 4 5r ,
所以 4cos 5
x
r
.
故选:A
5. 把函数 ( ) sin4f x x 的图象向右平移 π
12
个单位长度,得到的图象所对应的函数 ( )g x 的解
析式是( )
A. π( ) sin(4 )12f x x B. π( ) sin(4 )3f x x
C. π( ) sin(4 )12f x x D. π( ) sin(4 )3f x x
【答案】B
- 3 -
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数的图象变换原则,即可得出结论.
【详解】由题意,将函数 ( ) sin4f x x 的图象向右平移 π
12
个单位长度,
可得 sin4( ) sin(4 )12 3g x x x .
故选
B
.
6. 设 R ,则“ 6
”是“ 1sin 2
”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦函数的图象性质分析.
【详解】当
6
,可以得到 1sin 2
,
反过来若 1sin 2
,有 26 k 或 5 26 k , k Z .
所以
6
为充分不必要条件,
故选:A.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断问题,属于简单题.
7. 下列计算正确的是( )
A. 33 ( 8) 8 B. 5
3 62 2 2 =2
C. 2log 32 =8 D. 3 3log 18 log 2=2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根式的性质可知 A 不正确;根据指数幂的运算性质计算可知 B 不正确;根据对数的性质
可知 C 不正确;根据对数的运算法则计算可知 D 正确.
- 4 -
【详解】因为 3 为奇数,所以 33 ( 8) 8 ,故 A 不正确;
5 1 1 5
03 6 2 3 62 2 2 2 2 1
,故 B 不正确;
2log 32 =3,故 C 不正确;
2
3 3 3 3 3
18log 18 log 2 log log 9 log 3 22
,故 D 正确.
故选:D
8. 下列命题为真命题的是( )
A. 若 a b ,则 2 2a b B. 若 2 2ac bc ,则 a b
C. 若 a b ,则 1 1
a b
D. 若 a b , c d ,则 a c b d
【答案】B
【解析】
【分析】
利用反例或不等式的性质逐项检验后可得正确的选项.
【详解】对于 AC,取 1, 2a b ,则 a b ,但 2 2a b , 1 1
a b
,故 AC 错.
对于 D,取 1, 2a b , 2, 5c d ,则 a b , c d ,
但 3a c b d ,故 D 错误.
对于 B,因为 2 2ac bc ,故 2 0c ,故 a b .
故选:B.
9. 函数 sinf x x x 的图象大致是( )
A. B.
- 5 -
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据解析式的特征,利用函数的性质和特殊值排除选项可求.
【详解】因为 ( )f x 为奇函数,所以排除 A,C 选项,取
12x 可知 ( ) 012f ,所以排除 B 选
项,故选 D.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别,主要求解策略是利用函数的性质和特殊值来进行排
除,侧重考查直观想象的核心素养.
10. 已知函数 ( )f x 是定义在区间[ 1,2 ]a a 上的偶函数,且在区间[0,2 ]a 上单调递增,则不
等式 ( 1) ( )f x f a 的解集为( )
A. [ 1,3] B. (0,2) C. (0,1) (2,3] D.
[ 1,0) (1,2)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义域关于原点对称可得 1a ,根据 ( 1) (| 1|)f x f x 以及函数 ( )f x 的单调
性可解得结果.
【详解】因为函数 ( )f x 是定义在区间[ 1,2 ]a a 上的偶函数,
所以 1 2 0a a ,解得 1a ,
( 1) ( )f x f a 可化为 ( 1) (1)f x f ,
因为 ( )f x 在区间[0,2 ]a 上单调递增,所以 1 1x ,解得 0 2x .
故选:B
- 6 -
【点睛】关键点点睛:根据 ( 1) (| 1|)f x f x 以及函数 ( )f x 的单调性解不等式是解题关键.
11. 某种食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储存温度 x(单位:C )近似满足函数关系 3kx by (k,
b 为常数),若该食品在 0 C 的保鲜时间是 288 小时,在 5 C 的保鲜时间是 144 小时,则该食
品在15 C 的保鲜时间近似是( )
A. 32 小时 B. 36 小时 C. 48 小时 D. 60 小时
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件可得到 5
3 288
13 2
b
k
,然后算出 315 53 3 3k b k by 即可.
【 详 解 】 由 条 件 可 得 5
3 288
3 144
b
k b
, 所 以 5
3 288
13 2
b
k
, 所 以 当 15x 时
315 5 13 3 3 288 368
k b k by
故选:B
12. 已知 2 π( ) 2sin ( ) 1( 0)3f x x ,给出下列判断:
①若函数 ( )f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为 π
2
,则 =2 ;
②若函数 ( )f x 的图象关于点 π( ,0)12
对称,则 的最小值为 5;
③若函数 ( )f x 在 π π[ , ]6 3
上单调递增,则 的取值范围为 1(0, ]2
;
④若函数 ( )f x 在[0,2π]上恰有 7 个零点,则 的取值范围为 41 47[ , )24 24 .
其中判断正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先将 ( )f x 化简,对于①,由条件知,周期为 ,然后求出 ;对于②,由条件可得
- 7 -
2 ( )612 k k Z ,然后求出 1 6 ( )k k Z ,即可求解;对于③,由条件,得
23 6 2 ( )2 23 6 2
k
k Z
k
, 然 后 求 出 的 范 围 ; 对 于 ④ , 由 条 件 , 得
7 422 12 12
,然后求出 的范围;,再判断命题是否成立即可.
【详解】解: 2 π 2π π( ) 2sin ( ) 1=-cos(2 )=sin(2 )3 3 6f x x x x ,
周期 2
2T
.
①.由条件知,周期为 ,
1w ,
故①错误;
②.函数 ( )f x 的图象关于点 π( ,0)12
对称,则 2 ( )612 k k Z ,
1 6 ( )k k Z , ( 0)
∴ 的最小值为 5,
故②正确;
③.由条件, π π[ , ]6 3x ,
π π 2 π23 6 6 3 6x
由函数 ( )f x 在 π π[ , ]6 3
上单调递增得
23 6 2 ( )2 23 6 2
k
k Z
k
,
1
2
,
又 0 ,
10 2
,
故③正确.
④.由 ( ) sin(2 ) 06f x x 得 2 ( )6x k k Z ,
解得 ( )2 12
kx k Z
- 8 -
( ) sin(2 )6f x x 且 ( )f x 在[0 ,2 ] 上恰有 7 个零点,可得 7 422 12 12
,
41 47
24 24
,
故④正确;
故选:C
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了转化思想和推理能力,属中档题.
关键点点睛:利用整体思想,结合正弦函数的图像和性质是根据周期,对称,单调性,零点
个数求求解参数的关键.
二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
13. πsin( )3
的值等于___________.
【答案】 3
2
【解析】
【分析】
根据诱导公式和特殊角的函数值可解得结果.
【详解】 πsin( )3
3sin 3 2
.
故答案为: 3
2
14. 幂函数 y x 的图象过点 (2, 2) ,则 ___________.
【答案】 1
2
【解析】
【分析】
将点的坐标代入解析式可解得结果.
【详解】因为幂函数 y x 的图象过点 (2, 2) ,
所以 2 2 ,解得 1
2
.
故答案为: 1
2
15. 已知 tan 24
,则 tan ________.
- 9 -
【答案】-3.
【解析】
【分析】
由两角差的正切公式展开,解关于 tan 的方程.
【详解】因为 tan 24
,所以 tan 1 2 tan 31 tan
.
【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用,注意公式的特点:分子是减号,分母是加号.
16. 设 0.4
3 30.2 log, 0. ,4 log 4a b c ,则 , ,a b c 的大小关系为___________.(用“<”连接)
【答案】 b a c
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的知识判断出 , ,a b c 的范围即可.
【详解】因为 0.4 00 .2 .2 10 0a , 3 3log 4<0<1< o0 g. l 4b c
所以b a c
故答案为:b a c
17. 若 0x ,则 14 +x x
的最小值为___________,此时 =x ___________.
【答案】 (1). 4 (2). 1
2
【解析】
【分析】
根据基本不等式可求得结果.
【详解】因为 0x ,所以 1 14 2 4 4x xx x
,当且仅当 14x x
,即 1
2x 时,等号成
立.
故答案为:4; 1
2
【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,
则必须把构成积的因式的和转化成定值;
- 10 -
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个
定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
18. 已知集合 2{ | + 6}, { | }A x y x x B x x m ,其中 Rm ,则集合
R Að =___________;若 Rx ,都有 x∈A 或 x∈B,则 m 的取值范围是___________.
【答案】 (1). { | 3 2}x x (2). 2m
【解析】
【分析】
化简集合 A ,根据补集的概念可求出 R Að ,将题意转化为 A B R 可求得结果.
【详解】由 2 6 0x x 得 3x 或 2x ,
所以 2{ | + 6}A x y x x ( , 3] [2, ) ,
所以 R Að { | 3 2}x x ,
因为”若 Rx ,都有 x∈A 或 x∈B”,所以 A B R ,即 ( , 3] [2, ) ( , ) Rm ,
所以 2m .
故答案为:{ | 3 2}x x ; 2m
【点睛】关键点点睛:将“若 Rx ,都有 x∈A 或 x∈B”转化为 A B R 是解题关键.
19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使
用.如图,一个半径为 4 m 的筒车按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周大约用时 15s ,其轴心
O(即圆心)距水面 2 m .设筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距离为 d(单位:m )(在水面下 d 为负
数),若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间,则 d 与时间 t(单位:s )之间的关系为
sin( )d A t K π( 0, 0,| | )2A .
(1)当盛水筒 P 第一次到达筒车的最高点时,t= ___________;
(2)盛水筒 P 到水面的距离 d 关于旋转时间 t 的函数解析式为___________.
- 11 -
【答案】 (1). 5 (2). 2π π4sin( ) 2( 0)15 6d t t
【解析】
【分析】
(1)求出盛水筒 P 第一次到达筒车的最高点时的旋转角度,根据题意求出点 P 绕点O 逆时针
旋转的角速度,用旋转角度除以角速度即可得时间t ;
(2)根据图形可得 d 的最大、最小值,由此可得 A 和 K ,根据周期可得 ,根据当 0t 时,
0d 可求得 ,从而可得函数解析式;
【详解】(1)因为轴心 O(即圆心)距水面 2 m ,圆的半径为 4m ,所以当盛水筒 P 第一次到达
筒车的最高点时,点 P 绕点O 逆时针旋转了 2
3 3
,因为点 P 绕点 O 逆时针旋转一周
大约用时 15s ,所以点 P 绕点 O 逆时针旋转速度为每秒 2
15
,所以当盛水筒 P 第一次到达筒
车的最高点时,t=
2
3 52
15
秒.
(2)由图可知 d 的最大值为 2 4 6 ,最小值为 2 ,
所以 6, 2A K A K ,所以 4, 2A K ,
因为筒车旋转一周大约用时 15s ,所以函数的周期 15T ,所以 2 2
15T
,
当 0t 时, 0d ,即 24sin( 0 ) 2 015
,即 1sin 2
,
因为
2
,所以
6
,
所以 2π π4sin( ) 2( 0)15 6d t t .
故答案为:5; 2π π4sin( ) 2( 0)15 6d t t
【点睛】关键点点睛:根据题意求出 , ,A K 是解题关键.
20. 已知函数
2
1
2
2 2, 0,
( ) |log |, 0.
x x x
f x x x
若方程 ( )f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, ,x x x x, ,且
1 2 3 4x x x x< < < ,则实数 a 的最小值是___________; 4 1 22
3 4
4 x x xx x
的最小值是
___________.
- 12 -
【答案】 (1). 2 (2). 9
【解析】
【分析】
画出
2
1
2
2 2, 0,
( ) |log |, 0.
x x x
f x x x
的图像,数形结合分析参数的 a 的最小值,再根据对称性与函
数的解析式判断 1 2 3 4, , ,x x x x 中的定量关系化简 4 1 22
3 4
4 x x xx x
再求最值即可.
【详解】画出
2
1
2
2 2, 0,
( ) |log |, 0.
x x x
f x x x
的图像有:
因为方程 f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, , ,x x x x ,故 f x 的图像与 y a 有四个不同的交点,
又由图, 0 2f , 1 3f 故 a 的取值范围是 2,3 ,故 a 的最小值是 2.
又由图可知, 1 2
1 21 22
x x x x
, 0.5 3 0.5 4log logx x ,故
0.5 3 0.5 4 0.5 3 4log log log 0x x x x ,故 3 4 1x x .
故 4 1 2 4
4
2
3 4
4 4= 2x x x xx x x
.
又当 2a 时, 0.5 4 4log 2 4x x .当 3a 时, 0.5 4 4log 3 8x x ,故 4 4,8x .
又 4
4
42y x x
在 4 4,8x 时为增函数,故当 4 4x 时 4
4
42y x x
取最小值
42 4 94y .
- 13 -
故答案为:(1). 2 (2)9.
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,解题的关键是需要根据
题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.
三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步
骤.
21. 已知 1sin 3x , ,2x .
(1)求 cos x ,sin 2x 的值;
(2)求 πcos( )4x 的值.
【答案】(1) 2 2cos 3x , 4 2sin 2 9x ;(2) 2 4
6
.
【解析】
【分析】
(1)由 1sin 3x 及 x 的范围求得 cos x ,再利用二倍角的正弦公式即可求得sin 2x ;
(2)利用两角差的余弦公式直接代值求解即可.
【详解】解:(1) 1sin 3x , π π2x( , ),
2 2 2cos 1 sin 3x x
1 2 2 4 2sin 2 =2sin cos 2 ( )3 3 9x x x
(2) cos( ) cos cos sin sin4 4 4x x x
2 2 2 1 2 2 4
3 2 3 2 6
22. 已知函数 2( ) + +1f x x mx ,且 (1) 0f .
(1)求实数 m 的值;
(2)求不等式 ( ) 1f x 的解集;
(3)根据定义证明函数 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增.
- 14 -
【答案】(1) 2m ;(2){ | 0 2}x x ;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由 (1) 0f 可算出答案;
(2)解出即可;
(3)利用定义证明即可.
【详解】(1) 2(1) 1 + +1 2f m m ,
(1) 0f , 2 0m ,即 2m ;
(2)由(1)知, 2( ) 2 +1f x x x ,
2( ) 1 2 0f x x x ,
解得 0 2x ,不等式 ( ) 1f x 的解集为{ | 0 2}x x ;
(3)设 1 2 1x x ,
则 2 2
1 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 1 ( 2 1)f x f x x x x x
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 )= ) + 2)x x x x x x x x ( ( (
1 2 1x x , 1 2 1 2 1 20 + 2, + 2 0,x x x x x x , 即
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) + 2) 0f x f x x x x x (
1 2( ) ( )f x f x .
函数 ( )f x 在 (1 + ), 上单调递增.
23. 已知函数 ( ) sin 2 sin 2 3 cos23 3f x x x x
,
(1)求函数 ( )f x 的最小正周期;
(2)当 π[0, ]2x 时,
(i)求函数 ( )f x 的单调递减区间;
(ii)求函数 ( )f x 的最大值、最小值,并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量 x
的值.
- 15 -
【答案】(1)最小正周期为 π ;(2)(i) π π[ , ]12 2
;(ii)当 π=12x 时, ( )f x 取最大值为 2 ;当
π= 2x 时, ( )f x 取最小值为 3 .
【解析】
【分析】
(1)利用和差公式展开合并,再利用辅助角公式计算可得 2sin (2 + )3f x x ,可得最小
正周期为 π ;(2)(i)通过换元法令 π2 3t x ,求出 siny t 的范围,然后再根据 siny t
的单调递减区间求解即可;(ii)根据函数单调性求得最大值,然后计算端点值,比较大小之
后可得函数的最小值.
【 详 解 】 解 : ( 1 )
π π π( ) = sin(2 + ) sin(2 ) 3 cos2 =sin 2 + 3 cos2 =2sin(2 + )3 3 3f x x x x x x x .
2π= =π2T , ( )f x 的最小正周期为 π .
(2)(i) π[0, ]2x , π π 4π2 [ , ]3 3 3t x ,
siny t , π 4π[ , ]3 3t 的单调递减区间是 π 4π[ , ]2 3t ,
且由 π π 4π22 3 3x ,得 π π
12 2x ,
所以函数 ( )f x 的单调递减区间为 π π[ , ]12 2 .
(ii)由(i)知, ( )f x 在 π π[ , ]12 2
上单调递减,在 π[0, ]12
上单调递增.
且 π(0)=2sin 33f , π π( )=2sin 212 2f , π 4π( )=2sin 32 3f ,
所以,当 π=12x 时, ( )f x 取最大值为 2 ;当 π= 2x 时, ( )f x 取最小值为 3 .
【点睛】思路点睛:(1)关于三角函数解析式化简问题,首先利用和差公式或者诱导公式展
开合并化为同角,然后再利用降幂公式进行降次,最后需要运用辅助角公式进行合一化简运
算;(2)三角函数的单调区间以及最值求解,需要利用整体法计算,可通过换元利用 siny t
的单调区间以及最值求解.
24. 已知函数 ( ) = xf x a , ( ) = log ( 3 )ag x x a ,其中 0a 且 1a .
(1)若 3a ,
- 16 -
(i)求函数 ( ) = log ( 3 )ag x x a 的定义域;
(ii) [ 1,0]x 时,求函数 (2 ) ( 1) 1y f x mf x 的最小值 ( )h m ;
(2)若当 [ 2, 3]x a a 时,恒有| ( ) ( 2 ) | 1g x g x a ,试确定 a 的取值范围.
【答案】(1)(i){ | 9}x x ;(ii) 2
10 2,9 9
9 2 2= 1 ,4 9 3
22 3 , 3
m m
h m m m
m m
;(2) 9 570 12a .
【解析】
【分析】
(1)(i)把 3a 代入 ( )g x ,可得答案{ | 9}x x ;
(ii) 3a 时, ( ) = 3xf x ,求得 2(2 ) ( 1) 1= 3 3 3 1x xy f x mf x m ( ) ,利用动轴定区
间讨论求得函数最小值;
(2)由| ( ) ( 2 ) | 1g x g x a 得 2 21 log ( 4 +3 ) 1a x ax a ,
令 2 2( ) 4 +3r x x ax a ,其对称轴为 0
4 22
ax a ,讨论 ( )r x 在 [ 2, 3]x a a 上单调
性,可得 2 2( ) = log ( 4 +3 )au x x ax a 在 [ 2, 3]x a a 上单调递减,得答案.
【详解】(1)(i) 3a 时, 3( ) = log ( 9)g x x ,
9 0x ,解得 9x ,
当 3a 时,函数 ( )g x 的定义域是{ | 9}x x ;
(ii) 3a 时, ( ) = 3xf x ,
2 1 2(2 ) ( 1) 1=3 3 1= 3 3 3 1x x x xy f x mf x m m ( ) ,
令3 =x t , [ 1,0]x , 1 ,13t
,
即求函数 2( ) 3 1F t t mt 在 1 ,13t
的最小值.
- 17 -
对称轴 0
3 3
2 2
m mt ,
①当 0
3 1
2 3
mt ,即 2
9m 时,函数 ( )F t 在 1 ,13t
上单调递增,
当 1= 3t 时函数取最小值,最小值为 1 1 1 10= 3 1=3 3 3 9F m m
2
;
②当 0
3 12
mt ,即 2
3m 时,函数 ( )F t 在 1 ,13t
上单调递减,
当 =1t 时函数取最小值,最小值为 (1)=1 3 1 1= 2 3F m m 2 ;
③当 0
1 ,13t
,即 2 2,9 3m
时,当 3= 2
mt 时函数 ( )F t 取最小值,
最小值为
23 3 3 9= 3 1=12 2 2 4
m m m mF m
2
;
综上, [ 1,0]x 时,函数 (2 ) ( 1) 1y f x mf x 的最小值为
2
10 2,9 9
9 2 2( )= 1 ,4 9 3
22 3 , 3
m m
h m m m
m m
.
(2)由 ( ) = log ( 3 )ag x x a 得 3 0x a ,即 3x a ,
[ 2, 3]x a a 2 3a a ,即 0 1a ,
由| ( ) ( 2 ) | 1g x g x a 可得:|log ( 3 )+log ( )| 1a ax a x a ,
即|log ( 3 )( )| 1a x a x a ,也即 2 21 log ( 4 +3 ) 1a x ax a ,
令 2 2( ) 4 +3r x x ax a ,其对称轴为 0
4 22
ax a ,
0 1a , 2 2a a , ( )r x 在 [ 2, 3]x a a 上单调递增,
2 2( ) = log ( 4 +3 )au x x ax a 在 [ 2, 3]x a a 上单调递减,
max( ) = ( 2) = log (4 4 )au x u a a , min( ) = ( 3) = log (9 6 )au x u a a ,
- 18 -
又 0 1a ,则 log (9 6 ) 1
log (4 4 ) 1
a
a
a
a
,解得 9 570 12a ,
所以 a 的取值范围为 9 570 12a .
【点睛】本题考查了函数解析式的求法,函数的最值,函数恒成立的问题,综合性较强,所
谓“动轴定区间法”,轴动区间定:比较对称轴与区间端点的位置关系,根据函数的单调性
数形结合判断 y 的范围,需要分类讨论.
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