高中数学第三章指数函数和对数函数3_2_1指数概念的扩充问题导学案北师大版必修11 4页

3.2.1 指数概念的扩充 问题导学 一、分数指数幂概念的理解 活动与探究 1 (1) 1 2( 1)x   中 x 的取值范围是__________． (2)把下列各式中的 a(a＞0)写成分数指数幂的形式： ①a3 ＝5 4 ；②a3 ＝(－2) 8 ；③a－3 ＝10 4m (m∈N＋)． 迁移与应用 用分数指数幂表示下列各式中的 b(b＞0)： (1)b5 ＝32；(2)b4 ＝(－3) 2 ；(3)b－2 ＝18. 分数指数幂 m na 是一个实数，且 b＝ m na ⇔bn ＝am ，其中 a，b均为正数，m，n∈Z，且 m， n互素． 二、分数指数幂与根式的互化 活动与探究 2 (1)将各式化为根式：① 3 5x  ；② 2 5a ；③ 21 32x y  . (2)将各式化为分数指数幂：① 1 a3 ；② 3 x6 ；③ 3 a b . 迁移与应用 下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式： (1) 4 35  ；(2) a· a(a≥0)． 根式与分数指数幂互化的关键与技巧 (1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用 m na ＝ n am (a＞0， m，n∈N＋)． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式 写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简． 三、求指数幂 m na 的值 活动与探究 3 计算：(1) 1 264  ；(2) 2 38 ；(3) 1 3125  . 迁移与应用 计算： (1) 1 2 －4 ；(2) 1 3 0 ；(3)(0.01) －0.5 ； (4) 1 249 25        ；(5) 2 364 ；(6) 1 481  . 分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的 形式，用熟悉的知识去理解新概念是关键． 当堂检测 1．将 3 25 写成根式，正确的是( )． A． 3 5 2 B． 3 5 C． 5 3 2 D． 5 3 2．b4 ＝3(b＞0)，则 b 等于( )． A．3 4 B． 1 43 C．4 3 D．3 5 3．式子 1 29 －7 0 的值等于( )． A．－4 B．－10 C．2 D．3 4．把下列各式中的正实数 x 写成根式的形式： (1)x2 ＝3；(2)x7 ＝5 3 ；(3)x－2 ＝d9 . 5．求值：(1) 1 2100 ；(2) 3 29  ；(3) 3 41 81        . 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精 华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案： 课前预习导学 【预习导引】 1．bn＝am m nb a 预习交流 1 提示：不能．分数指数幂 m na 不表示 m n 个 a 相乘，而是关于 b 的方程 bn＝am 的解． 预习交流 2 提示：可以，因为有理数都可以写成分数的形式． 2．(1) n am (2) 1 n am (3)0 没有意义 预习交流 3 提示：(1) 若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 n am ＝ m na ＝0，无研究 的价值． (2)若 a＜0， m na ＝ n am 不一定成立，如 3 2( 2) ＝ 2 (－2) 3 无意义，故为了避免上述情况 规定了 a＞0. 预习交流 4 提示：根指数对应分数指数中的分母，被开方数的指数对应分数指数中的 分子． 3．(1)实数 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 思路分析：根据分数指数幂的定义进行求解． (1){x|x＞1} 解析：依题意 x－1＞0，解得 x＞1. (2)解：① 4 35a  ； ② 8 3( 2)a   ，即 8 32a  ； ③ 4 4 3 3 4 3 1 110 10 10 m m ma          . 迁 移 与 应 用 解 ： (1) 1 532b  ； (2)b4 ＝ ( － 3)2 ＝ 32 ＝ 9 ， 所 以 1 49b  ； (3) 1 1 2 2 118 18 b         . 活动与探究 2 思路分析：利用公式 m na ＝ n am 以及 1m n m n a a   进行互化． 解：(1)① 3 5 3 5 1x x   ＝ 1 5 x3 . ② 2 5a ＝ 5 a2 . ③ 1 21 2 32 2 3 xx y y  ＝ x 3 y2 . (2)① 1 a3 ＝ 3 2 3 2 1 =a a  . ② 3 x6 ＝ 6 3x ＝x2 . ③ 3 a b ＝ 1 1 13 3 2 1 2 =a a b b  . 迁移与应用 解：(1) 4 3 4 3 15 5   ＝ 1 3 5 4 . (2) a· a＝ 3 3 2 4=a a . 活动与探究 3 思路分析：将分数指数幂化为根式，再求值． 解：(1) 1 264  ＝ 1 64 ＝ 1 8 ； (2) 2 38 ＝ 3 8 2 ＝ 3 64＝4； (3) 1 3125  ＝ 1 3 125 ＝ 1 5 . 迁移与应用 解：(1)16；(2)1；(3)10；(4) 5 7 ；(5)16；(6) 1 3 . 【当堂检测】 1．D 2．B 3．C 解析： 1 29 －70＝ 9－1＝3－1＝2. 4．解：(1)x＝ 1 23 ＝ 3； (2)x＝ 3 75 ＝ 7 125； (3)x＝ 9 2 9 2 1=d d  ＝ 1 d9 . 5．解：(1)∵102＝100， ∴ 1 2100 ＝10. (2)∵ 1 27 2 ＝9 －3 ，∴ 3 29  ＝ 1 27 . (3)∵274＝ 1 81 －3，∴ 3 41 81        ＝27.