高中数学人教a版必修4课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 word版含解析 3页

课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、选择题 1．(山东高考)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)，若向量 a，b 的夹角为π 6 ，则实数 m＝ ( ) A．2 3 B. 3 C．0 D．－ 3 答案：B 2．已知平面向量 a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若 c＝a－(a·b)b，则|c|等于( ) A．4 2 B．2 5 C．8 D．8 2 答案：D 3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量 c 满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则 c 等于( ) A. 7 9 ，7 3 B. －7 3 ，－7 9 C. 7 3 ，7 9 D. －7 9 ，－7 3 答案：D 4．(湖北高考)已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 AB  在CD  方向上 的投影为( ) A.3 2 2 B.3 15 2 C．－3 2 2 D．－3 15 2 答案：A 5．已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且 a 与 b 的夹角为锐角，则 实数λ的取值范围是( ) A．(－∞，－2)∪ －2，1 2 B. 1 2 ，＋∞ C. －2，2 3 ∪ 2 3 ，＋∞ D. －∞，1 2 答案：A 二、填空题 6．已知 A(1,2)，B(3,4)，|n|＝ 2，则| AB  ·n|的最大值为________． 答案：4 7.如图，已知点 A(1,1)和单位圆上半部分上的动点 B，若OA  ⊥OB  ， 则向量OB  的坐标为________． 答案： － 2 2 ， 2 2 8．已知 a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若 a 与 b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 答案： －∞，－4 3 ∪ 0，1 3 ∪ 1 3 ，＋∞ 三、解答题 9．已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a＝(1,2)． (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c 的坐标； (2)若|b|＝ 5 2 ，且 a＋2b 与 2a－b 垂直，求 a 与 b 的夹角θ. 解：(1)设 c＝(x，y)，∵|c|＝2 5，∴ x2＋y2＝2 5， ∴x2＋y2＝20. 由 c∥a 和|c|＝2 5， 可得 1·y－2·x＝0， x2＋y2＝20， 解得 x＝2， y＝4， 或 x＝－2， y＝－4. 故 c＝(2,4)或 c＝(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即 2a2＋3a·b－2b2＝0， ∴2×5＋3a·b－2×5 4 ＝0，整理得 a·b＝－5 2 ， ∴cos θ＝ a·b |a||b| ＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π. 10．平面内有向量OA  ＝(1,7)，OB  ＝(5,1)，OP  ＝(2,1)，点 M 为直线 OP 上的一动点． (1)当 MA  · MB  取最小值时，求OM  的坐标； (2)在(1)的条件下，求 cos∠AMB 的值． 解：(1)设OM  ＝(x，y)，∵点 M 在直线 OP 上， ∴向量OM  与OP  共线，又 OP  ＝(2,1)． ∴x×1－y×2＝0，即 x＝2y. ∴OM  ＝(2y，y)．又 MA  ＝OA  －OM  ，OA  ＝(1,7)， ∴ MA  ＝(1－2y,7－y)． 同理 MB  ＝OB  －OM  ＝(5－2y,1－y)． 于是 MA  · MB  ＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12. 可知当 y＝ 20 2×5 ＝2 时， MA  · MB  有最小值－8，此时OM  ＝(4,2)． (2)当OM  ＝(4,2)，即 y＝2 时， 有 MA  ＝(－3,5)， MB  ＝(1，－1)， | MA  |＝ 34，| MB  |＝ 2， MA  · MB  ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8. cos∠AMB＝ MA  ·MB  | MA  || MB  | ＝ －8 34× 2 ＝－4 17 17 . 11．设平面向量 a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝ －1 2 ， 3 2 ，且 a 与 b 不共线． (1)求证：向量 a＋b 与 a－b 垂直； (2)若两个向量 3a＋b 与 a－ 3b 的模相等，求角α. 解：(1)证明：由题意知， a＋b＝ cos α－1 2 ，sin α＋ 3 2 ， a－b＝ cos α＋1 2 ，sin α－ 3 2 ， ∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－1 4 ＋sin2α－3 4 ＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． (2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知( 3a＋b)2＝(a－ 3b)2，化简得 a·b＝0，∴－1 2cos α＋ 3 2 sin α ＝0， ∴tan α＝ 3 3 ， 又 0≤α<2π，∴α＝π 6 或α＝7π 6 .