2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：第二章　平面向量 单元质量评估2 9页

第二章单元质量评估(二) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知向量 a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且 a∥b，则|a－b|等于( B ) A．5 3 B．3 5 C．2 5 D．2 2 解析：因为 a∥b，所以 4＋2x＝0，所以 x＝－2，a－b＝(1，－2) －(－2,4)＝(3，－6)，所以|a－b|＝3 5.故选 B. 2．设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b 等于 ( A ) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2 －2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得 4a·b＝4，所以 a·b ＝1.故选 A. 3．已知 M(－2,7)，N(10，－2)，点 P 是线段 MN 上的点，且PN→ ＝－2PM→ ，则点 P 的坐标是( D ) A．(－14,16) B．(22，－11) C．(6,1) D．(2,4) 解析：设点 P(x，y)，PN→＝(10－x，－2－y)，PM→ ＝(－2－x,7－y)， 因为PN→＝－2PM→ ，所以 10－x＝－2－2－x， －2－y＝－27－y， 解得 x＝2， y＝4. 故选 D. 4．若 a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，则 a＋2b 与 2a－b( C ) A．一定共线 B．一定不共线 C．当且仅当 e1 与 e2 共线时共线 D．当且仅当 e1＝e2 时共线 解析：a＋2b＝e1＋2e2＋2(2e1－e2)＝e1＋2e2＋4e1－2e2＝5e1,2a－ b＝2(e1＋2e2)－(2e1－e2)＝2e1＋4e2－2e1＋e2＝5e2，当且仅当 e1 与 e2 共线时，a＋2b 与 2a－b 共线．故选 C. 5．设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC→＝3CD→ ，则( A ) A.AD→ ＝－1 3AB→＋4 3AC→ B.AD→ ＝1 3AB→－4 3AC→ C.AD→ ＝4 3AB→＋1 3AC→ D．AD→ ＝4 3AB→－1 3AC→ 解析：AD→ ＝AB→ ＋BD→ ＝AB→ ＋4 3BC→ ＝AB→ ＋4 3(AC→ －AB→ )＝－1 3AB→ ＋ 4 3AC→，选 A. 6．直线( 3－ 2)x＋y＝3 和直线 x＋( 2－ 3)y＝2 的位置关系是 ( B ) A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 解析：直线( 3－ 2)x＋y＝3 的方向向量为(1， 2－ 3)，直线 x ＋( 2－ 3)y＝2 的方向向量为(1， 2＋ 3)，则(1， 2－ 3)·(1， 2＋ 3)＝1＋( 2－ 3)( 2＋ 3)＝1＋(－1)＝0，所以两直线垂直．故选 B. 7．已知 a，b，c 均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c 的取值 范围是( C ) A．[0,1] B．[－1,1] C．[－ 3， 3] D．[0， 3] 解析：由 a，b 为单位向量和|a＋b|＝1 的几何意义，可知|a－b| ＝ 3.设 a－b 与 c 的夹角为θ，所以(a－b)·c＝|a－b||c|cosθ∈[－ 3， 3]． 8．对于向量 a，b，c 和实数λ，下列命题中正确的是( B ) A．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0 B．若λa＝0，则 a＝0 或λ ＝0 C．若 a2＝b2，则 a＝b 或 a＝－b D．若 a·b＝a·c，则 b＝c 解析：a·b＝0 还有可能 a≠0 且 b≠0，a⊥b，故 A 不正确；B 正 确；若 a2＝b2，即|a|＝|b|，但 a 与 b 的夹角可以是任意的，故 C 不正 确；若 a⊥b，a⊥c，则 a·b＝a·c＝0，但 b 与 c 不一定相等，故 D 不 正确．综上可知，选 B. 9．已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 AB⊥BC，若点 P 的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为( B ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：由题意知 A，C 关于圆心(0,0)对称，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 C(－x1，－y1)，于是PA→＋PB→＋PC→＝(x1－2，y1)＋(x2－2，y2) ＋(－x1－2，－y1)＝(x2－6，y2)，由于点 B 在圆 x2＋y2＝1 上，所以|PA→ ＋PB→＋PC→|即是圆 x2＋y2＝1 上任一点到点(6,0)的距离，其最大值为 7， 故选 B. 10．在△OAB 中，OA→ ＝a，OB→ ＝b，OD 是 AB 边上的高．若AD→ ＝ λAB→，则λ等于( B ) A.a·b－a |a－b|2 B.a·a－b |a－b|2 C.a·b－a |a－b| D.a·a－b |a－b| 解析：由题意知OD→ ·AB→＝0，即AB→·(OA→ ＋AD→ )＝0，∴AB→·(OA→ ＋λAB→) ＝0，∴λ＝－AB→·OA→ AB→ 2 ＝－OB→ －OA→ ·OA→ OB→ －OA→ 2 ＝a·a－b |a－b|2 ，故选 B. 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案 填写在题中横线上) 11．已知 a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，其中 i·j＝0，|i|＝|j| ＝1，则 a·b＝－63. 解析：∵ a＋b＝2i－8j， a－b＝－8i＋16j， ∴ a＝－3i＋4j， b＝5i－12j. ∴a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－15|i|2 －48|j|2 ＋56i·j＝－63＋ 56×0＝－63. 12．平面向量 a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m＝2. 解析：a＝(1,2)，b＝(4,2)，则 c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝ 5， |b|＝2 5，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. ∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴ c·a |c|·|a| ＝ c·b |c|·|b| ，即5m＋8 5 ＝ 8m＋20 2 5 ，解得 m＝2. 13．设 e1，e2 是不共线的向量，已知向量AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1 ＋3e2，CD→ ＝2e1－e2，若向量AB→，BD→ 共线，则 k＝－8. 解析：∵BD→ ＝CD→ －CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，又AB→，BD→ 共线，故存在实数λ，使AB→＝λBD→ ，∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)． ∴λ＝2，k＝－4λ＝－8. 14．已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)b，若 b·c ＝0，则 t＝2. 解析：由 b·c＝0 知，b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝ta·b＋(1－t)b2 ＝ t×1×1×cos60°＋1－t＝0.即 1－1 2t＝0，所以 t＝2. 15.如图所示，设 P，Q 为△ABC 内的两点，且AP→＝2 5AB→＋1 5AC→， AQ→ ＝2 3AB→＋1 4AC→，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为4 5. 解析：根据题意，设AM→ ＝2 5AB→，AN→＝1 5AC→，则AP→＝AM→ ＋AN→，且 四边形 AMPN 为平行四边形，所以 NP∥AB，所以S△ABP S△ABC ＝|AN→| |AC→| ＝1 5 ， 同理，可得S△ABQ S△ABC ＝1 4.故S△ABP S△ABQ ＝4 5. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 16．(本小题 12 分)已知向量 a＝(－2,2)，b＝(2,1)，c＝(2，－1)， t∈R. (1)若(ta＋b)∥c，求 t 的值； (2)若|a－tb|＝3，求 t 的值． 解：(1)因为 a＝(－2,2)，b＝(2,1)，c＝(2，－1)，所以 ta＋b＝(2 －2t,1＋2t)． 因为(ta＋b)∥c，所以 2(1＋2t)＋(2－2t)＝0，解得 t＝－2. (2)|a－tb|＝ a－tb2＝ a2－2ta·b＋t2b2＝ 8＋4t＋5t2＝3，解得 t＝－1 或 t＝1 5. 17．(本小题 12 分)在△ABC 中，AB→＝(2,3)，AC→ ＝(1，k)，且△ ABC 为直角三角形，求 k 的值． 解：若 A＝90°，由已知得AB→·AC→＝0，可知 2×1＋3k＝0，解得 k ＝－2 3.若 B＝90°，则AB→·BC→＝0. ∵BC→＝AC→－AB→＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，∴AB→·BC→＝2×(－ 1)＋3(k－3)＝0，解得 k＝11 3 . 若 C＝90°，则AC→·BC→ ＝0.可知 1×(－1)＋k(k－3)＝0，即 k2－3k －1＝0，解得 k＝3± 13 2 . 综上，可得 k＝－2 3 ，或 k＝11 3 ，或 k＝3＋ 13 2 或 k＝3－ 13 2 . 18．(本小题12分)在直角坐标系中，已知OA→ ＝(4，－4)，OB→ ＝(5,1)， 点 M 在直线 OA 上，OB→ 在OA→ 方向上的射影数量为|OM→ |，求MB→ 的坐 标． 解：设点 M 的坐标为(x，y)．∵OB→ 在OA→ 方向上的射影数量为|OM→ |， ∴OM→ ⊥MB→ ，∴OM→ ·MB→ ＝0. 又OM→ ＝(x，y)，MB→ ＝(5－x,1－y)，∴x(5－x)＋y(1－y)＝0. 又点 O，M，A 三点共线，∴OM→ ＝λOA→ (λ∈R)，∴x 4 ＝ y －4.∴ x5－x＋y1－y＝0， x 4 ＝ y －4. 解得 x＝2， y＝－2. ∴MB→ ＝OB→ －OM→ ＝(5－2,1＋2)＝(3,3)． 19．(本小题 12 分)如图，已知正方形 ABCD，E、F 分别是 CD、 AD 的中点，BE、CF 交于点 P. 求证：(1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. 证明： 如图，建立直角坐标系 xOy，其中 A 为原点，不妨设 AB＝2， 则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． (1)BE→＝OE→ －OB→ ＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF→＝OF→ －OC→ ＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， 因为BE→·CF→＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， 所以BE→⊥CF→，即 BE⊥CF. (2)设 P(x，y)，则FP→＝(x，y－1)， 因为FP→∥CF→，所以－x＝－2(y－1)，即 x＝2y－2. 同理由BP→∥BE→，得 y＝－2x＋4，代入 x＝2y－2. 解得 x＝6 5 ，所以 y＝8 5 ，即 P 6 5 ，8 5 . 所以 AP→ 2＝ 6 5 2＋ 8 5 2＝4＝AB→ 2， 所以|AP→|＝|AB→|，即 AP＝AB. 20．(本小题 13 分)设 a，b 是不共线的两个非零向量． (1)若OA→ ＝2a－b，OB→ ＝3a＋b，OC→ ＝a－3b，求证：A，B，C 三 点共线； (2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值； (3)若AB→＝a＋b，BC→＝2a－3b，CD→ ＝2a－kb，且 A，C，D 三点 共线，求 k 的值． 解：(1)证明：AB→＝OB→ －OA→ ＝a＋2b，AC→＝OC→ －OA→ ＝－a－2b， 所以AC→＝－AB→.又因为 A 为公共点，所以 A，B，C 三点共线． (2)设 8a＋kb＝λ(ka＋2b)，λ∈R，则 8＝λk， k＝2λ， 解得 k＝4， λ＝2 或 k＝－4， λ＝－2， 所以实数 k 的值为±4. (3)AC→＝AB→＋BC→＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因为 A，C，D 三 点共线，所以AC→与CD→ 共线． 从 而 存 在 实 数 μ 使 AC→ ＝ μ CD→ ， 即 3a － 2b ＝ μ(2a － kb) ， 得 3＝2μ， －2＝－μk. 解得 μ＝3 2 ， k＝4 3. 所以 k＝4 3. 21．(本小题 14 分)如图，扇形 AOB 的弧的中点为 M，动点 C、 D 分别在 OA、OB 上，且 OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点，用OA→ 、OB→ 表示 向量MC→ ； (2)求MC→ ·MD→ 的取值范围． 解：(1)由题意知 OA 綊 MB，所以OM→ ＝OA→ ＋OB→ .所以MC→ ＝OC→ － OM→ ＝－1 4OA→ －OB→ . (2)设OC→ ＝kOA→ ，则OD→ ＝(1－k)OB→ ，MC→ ＝(k－1)OA→ －OB→ ，MD→ ＝ －OA→ －kOB→ MC→ ·MD→ ＝1 2 k－1 2 2＋3 4 ，由 k∈[0,1]得MC→ ·MD→ 的取值范围是 3 8 ，1 2 .