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- 2021-06-16 发布
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第二章单元质量评估(二)
时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小
题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.已知向量 a=(1,-2),b=(x,4),且 a∥b,则|a-b|等于( B )
A.5 3 B.3 5
C.2 5 D.2 2
解析:因为 a∥b,所以 4+2x=0,所以 x=-2,a-b=(1,-2)
-(-2,4)=(3,-6),所以|a-b|=3 5.故选 B.
2.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b 等于
( A )
A.1 B.2
C.3 D.5
解析:|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2
-2a·b+b2=6,将上面两式左右两边分别相减,得 4a·b=4,所以 a·b
=1.故选 A.
3.已知 M(-2,7),N(10,-2),点 P 是线段 MN 上的点,且PN→
=-2PM→ ,则点 P 的坐标是( D )
A.(-14,16) B.(22,-11)
C.(6,1) D.(2,4)
解析:设点 P(x,y),PN→=(10-x,-2-y),PM→ =(-2-x,7-y),
因为PN→=-2PM→ ,所以 10-x=-2-2-x,
-2-y=-27-y, 解得 x=2,
y=4.
故选
D.
4.若 a=e1+2e2,b=2e1-e2,则 a+2b 与 2a-b( C )
A.一定共线
B.一定不共线
C.当且仅当 e1 与 e2 共线时共线
D.当且仅当 e1=e2 时共线
解析:a+2b=e1+2e2+2(2e1-e2)=e1+2e2+4e1-2e2=5e1,2a-
b=2(e1+2e2)-(2e1-e2)=2e1+4e2-2e1+e2=5e2,当且仅当 e1 与 e2
共线时,a+2b 与 2a-b 共线.故选 C.
5.设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC→=3CD→ ,则( A )
A.AD→ =-1
3AB→+4
3AC→ B.AD→ =1
3AB→-4
3AC→
C.AD→ =4
3AB→+1
3AC→ D.AD→ =4
3AB→-1
3AC→
解析:AD→ =AB→ +BD→ =AB→ +4
3BC→ =AB→ +4
3(AC→ -AB→ )=-1
3AB→ +
4
3AC→,选 A.
6.直线( 3- 2)x+y=3 和直线 x+( 2- 3)y=2 的位置关系是
( B )
A.相交但不垂直 B.垂直
C.平行 D.重合
解析:直线( 3- 2)x+y=3 的方向向量为(1, 2- 3),直线 x
+( 2- 3)y=2 的方向向量为(1, 2+ 3),则(1, 2- 3)·(1, 2+
3)=1+( 2- 3)( 2+ 3)=1+(-1)=0,所以两直线垂直.故选
B.
7.已知 a,b,c 均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c 的取值
范围是( C )
A.[0,1] B.[-1,1]
C.[- 3, 3] D.[0, 3]
解析:由 a,b 为单位向量和|a+b|=1 的几何意义,可知|a-b|
= 3.设 a-b 与 c 的夹角为θ,所以(a-b)·c=|a-b||c|cosθ∈[- 3,
3].
8.对于向量 a,b,c 和实数λ,下列命题中正确的是( B )
A.若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 B.若λa=0,则 a=0 或λ
=0
C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a·b=a·c,则 b=c
解析:a·b=0 还有可能 a≠0 且 b≠0,a⊥b,故 A 不正确;B 正
确;若 a2=b2,即|a|=|b|,但 a 与 b 的夹角可以是任意的,故 C 不正
确;若 a⊥b,a⊥c,则 a·b=a·c=0,但 b 与 c 不一定相等,故 D 不
正确.综上可知,选 B.
9.已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB⊥BC,若点 P
的坐标为(2,0),则|PA→+PB→+PC→|的最大值为( B )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:由题意知 A,C 关于圆心(0,0)对称,设 A(x1,y1),B(x2,
y2),则 C(-x1,-y1),于是PA→+PB→+PC→=(x1-2,y1)+(x2-2,y2)
+(-x1-2,-y1)=(x2-6,y2),由于点 B 在圆 x2+y2=1 上,所以|PA→
+PB→+PC→|即是圆 x2+y2=1 上任一点到点(6,0)的距离,其最大值为 7,
故选 B.
10.在△OAB 中,OA→ =a,OB→ =b,OD 是 AB 边上的高.若AD→ =
λAB→,则λ等于( B )
A.a·b-a
|a-b|2 B.a·a-b
|a-b|2
C.a·b-a
|a-b| D.a·a-b
|a-b|
解析:由题意知OD→ ·AB→=0,即AB→·(OA→ +AD→ )=0,∴AB→·(OA→ +λAB→)
=0,∴λ=-AB→·OA→
AB→ 2
=-OB→ -OA→ ·OA→
OB→ -OA→ 2
=a·a-b
|a-b|2
,故选 B.
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案
填写在题中横线上)
11.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 i·j=0,|i|=|j|
=1,则 a·b=-63.
解析:∵ a+b=2i-8j,
a-b=-8i+16j, ∴ a=-3i+4j,
b=5i-12j.
∴a·b=(-3i+4j)·(5i-12j)=-15|i|2 -48|j|2 +56i·j=-63+
56×0=-63.
12.平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a
的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=2.
解析:a=(1,2),b=(4,2),则 c=ma+b=(m+4,2m+2),|a|= 5,
|b|=2 5,a·c=5m+8,b·c=8m+20.
∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,∴ c·a
|c|·|a|
= c·b
|c|·|b|
,即5m+8
5
=
8m+20
2 5
,解得 m=2.
13.设 e1,e2 是不共线的向量,已知向量AB→=2e1+ke2,CB→=e1
+3e2,CD→ =2e1-e2,若向量AB→,BD→ 共线,则 k=-8.
解析:∵BD→ =CD→ -CB→=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,又AB→,BD→
共线,故存在实数λ,使AB→=λBD→ ,∴2e1+ke2=λ(e1-4e2).
∴λ=2,k=-4λ=-8.
14.已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b,若 b·c
=0,则 t=2.
解析:由 b·c=0 知,b·c=[ta+(1-t)b]·b=ta·b+(1-t)b2 =
t×1×1×cos60°+1-t=0.即 1-1
2t=0,所以 t=2.
15.如图所示,设 P,Q 为△ABC 内的两点,且AP→=2
5AB→+1
5AC→,
AQ→ =2
3AB→+1
4AC→,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为4
5.
解析:根据题意,设AM→ =2
5AB→,AN→=1
5AC→,则AP→=AM→ +AN→,且
四边形 AMPN 为平行四边形,所以 NP∥AB,所以S△ABP
S△ABC
=|AN→|
|AC→|
=1
5
,
同理,可得S△ABQ
S△ABC
=1
4.故S△ABP
S△ABQ
=4
5.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤)
16.(本小题 12 分)已知向量 a=(-2,2),b=(2,1),c=(2,-1),
t∈R.
(1)若(ta+b)∥c,求 t 的值;
(2)若|a-tb|=3,求 t 的值.
解:(1)因为 a=(-2,2),b=(2,1),c=(2,-1),所以 ta+b=(2
-2t,1+2t).
因为(ta+b)∥c,所以 2(1+2t)+(2-2t)=0,解得 t=-2.
(2)|a-tb|= a-tb2= a2-2ta·b+t2b2= 8+4t+5t2=3,解得
t=-1 或 t=1
5.
17.(本小题 12 分)在△ABC 中,AB→=(2,3),AC→ =(1,k),且△
ABC 为直角三角形,求 k 的值.
解:若 A=90°,由已知得AB→·AC→=0,可知 2×1+3k=0,解得 k
=-2
3.若 B=90°,则AB→·BC→=0.
∵BC→=AC→-AB→=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3),∴AB→·BC→=2×(-
1)+3(k-3)=0,解得 k=11
3 .
若 C=90°,则AC→·BC→ =0.可知 1×(-1)+k(k-3)=0,即 k2-3k
-1=0,解得 k=3± 13
2 .
综上,可得 k=-2
3
,或 k=11
3
,或 k=3+ 13
2
或 k=3- 13
2 .
18.(本小题12分)在直角坐标系中,已知OA→ =(4,-4),OB→ =(5,1),
点 M 在直线 OA 上,OB→ 在OA→ 方向上的射影数量为|OM→ |,求MB→ 的坐
标.
解:设点 M 的坐标为(x,y).∵OB→ 在OA→ 方向上的射影数量为|OM→ |,
∴OM→ ⊥MB→ ,∴OM→ ·MB→ =0.
又OM→ =(x,y),MB→ =(5-x,1-y),∴x(5-x)+y(1-y)=0.
又点 O,M,A 三点共线,∴OM→ =λOA→ (λ∈R),∴x
4
= y
-4.∴
x5-x+y1-y=0,
x
4
= y
-4. 解得 x=2,
y=-2.
∴MB→ =OB→ -OM→ =(5-2,1+2)=(3,3).
19.(本小题 12 分)如图,已知正方形 ABCD,E、F 分别是 CD、
AD 的中点,BE、CF 交于点 P.
求证:(1)BE⊥CF;
(2)AP=AB.
证明:
如图,建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,不妨设 AB=2,
则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)BE→=OE→ -OB→ =(1,2)-(2,0)=(-1,2),
CF→=OF→ -OC→ =(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
因为BE→·CF→=-1×(-2)+2×(-1)=0,
所以BE→⊥CF→,即 BE⊥CF.
(2)设 P(x,y),则FP→=(x,y-1),
因为FP→∥CF→,所以-x=-2(y-1),即 x=2y-2.
同理由BP→∥BE→,得 y=-2x+4,代入 x=2y-2.
解得 x=6
5
,所以 y=8
5
,即 P
6
5
,8
5 .
所以 AP→ 2=
6
5 2+
8
5 2=4=AB→ 2,
所以|AP→|=|AB→|,即 AP=AB.
20.(本小题 13 分)设 a,b 是不共线的两个非零向量.
(1)若OA→ =2a-b,OB→ =3a+b,OC→ =a-3b,求证:A,B,C 三
点共线;
(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值;
(3)若AB→=a+b,BC→=2a-3b,CD→ =2a-kb,且 A,C,D 三点
共线,求 k 的值.
解:(1)证明:AB→=OB→ -OA→ =a+2b,AC→=OC→ -OA→ =-a-2b,
所以AC→=-AB→.又因为 A 为公共点,所以 A,B,C 三点共线.
(2)设 8a+kb=λ(ka+2b),λ∈R,则 8=λk,
k=2λ, 解得 k=4,
λ=2
或
k=-4,
λ=-2, 所以实数 k 的值为±4.
(3)AC→=AB→+BC→=(a+b)+(2a-3b)=3a-2b,因为 A,C,D 三
点共线,所以AC→与CD→ 共线.
从 而 存 在 实 数 μ 使 AC→ = μ CD→ , 即 3a - 2b = μ(2a - kb) , 得
3=2μ,
-2=-μk.
解得
μ=3
2
,
k=4
3.
所以 k=4
3.
21.(本小题 14 分)如图,扇形 AOB 的弧的中点为 M,动点 C、
D 分别在 OA、OB 上,且 OC=BD,OA=1,∠AOB=120°.
(1)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点,用OA→ 、OB→ 表示
向量MC→ ;
(2)求MC→ ·MD→ 的取值范围.
解:(1)由题意知 OA 綊 MB,所以OM→ =OA→ +OB→ .所以MC→ =OC→ -
OM→ =-1
4OA→ -OB→ .
(2)设OC→ =kOA→ ,则OD→ =(1-k)OB→ ,MC→ =(k-1)OA→ -OB→ ,MD→ =
-OA→ -kOB→
MC→ ·MD→ =1
2
k-1
2 2+3
4 ,由 k∈[0,1]得MC→ ·MD→ 的取值范围是
3
8
,1
2 .
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