高中人教a版数学必修4：第22课时 平面向量的正交分解与坐标运算 word版含解析 3页

第 22 课时 平面向量的正交分解与坐标运算 课时目标 1.理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义． 2．理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则、熟练进行向量的坐标运算． 识记强化 1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底， 对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y 使 a＝xi＋yj， 我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)． 3．平面向量的坐标运算 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于 这两个向量相应坐标的和(差)． (2)λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)． (3)若 A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x2，y2)，则AB→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2 －y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 课时作业 一、选择题 1．已知 i, j 分别是方向与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，设 a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x ＋1)j(其中 x∈R)，则向量 a 位于( ) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：因为 a＝(x2＋x＋1，－x2＋x－1)， x2＋x＋1＝(x＋1 2)2＋3 4 ＞0， －x2＋x－1＝－ x－1 2 2－3 4 ＜0， 故 a 位于第四象限． 2．已知 a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b 的坐标是( ) A．(7,1) B．(－7，－1) C．(－7,1) D．(7，－1) 答案：B 解析：∵a＝(3，－1)，b＝(－1,2)， ∴－3a－2b＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－7，－1)． 3．已知向量AB→＝(2,4)，AC→＝(0,2)，则1 2BC→＝( ) A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1) 答案：D 解析：1 2BC→＝1 2(AC→－AB→)＝1 2(－2，－2)＝(－1，－1)，故选 D. 4．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则DA→ ＝( ) A．(2,4) B．(3,5) C．(1,1) D．(－1，－1) 答案：C 解析：DA→ ＝－AD→ ＝－BC→＝－(AC→－AB→)＝(1,1)． 5．若AB→＝(1,1)，AD→ ＝(0,1)，BC→＋CD→ ＝(a，b)，则 a＋b＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：A 解析：BC→＋CD→ ＝BD→ ＝AD→ －AB→＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故 a＝－1，b＝0，a＋b＝－1. 6．设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c)，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为( ) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 答案：D 解析：由题意知：4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0⇒d＝(－2，－6)，故选 D. 二、填空题 7．已知向量AB→＝(－1,2)，AC→＝(3，－1)，则向量BC→的坐标为________． 答案：(4，－3) 解析：BC→＝AC→－AB→＝(3，－1)－(－1,2)＝(4，－3)． 8．若 a＝(1,2)，b＝(－1,0)，则 2a－b＝________. 答案：(3,4) 解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)． 9．平面上有 A(－2,1)、B(1,4)、D(4，－3)三点，点 C 在直线 AB 上，且AC→ ＝1 2BC→ ，连 结 DC 并延长，取点 E 使CE→＝1 4DE→ ，则点 E 的坐标为________． 答案：(－8，－5 3) 解析：设 C(x，y)，由AC→＝1 2BC→，得(x＋2，y－1)＝1 2(x－1，y－4)． 即 x＋2＝1 2 x－1， y－1＝1 2 y－4. 解得 x＝－5， y＝－2. 即 C(－5，－2)．又 E 在 DC 延长线上， ∴CE→＝1 4DE→ ，设 E(a，b)， 则(a＋5，b＋2)＝1 4(a－4，b＋3) 解之得 a＝－8，b＝－5 3.∴E(－8，－5 3)． 三、解答题 10．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，OP→ ＝OA→ ＋tAB→.求：t 分别为何值时，P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？P 在第二象限？ 解：由题意，OP→ ＝OA→ ＋tAB→＝(1＋3t,2＋3t)． 若 P 在 x 轴上，只需 2＋3t＝0，所以 t＝－2 3 ； 若 P 在 y 轴上，只需 1＋3t＝0，所以 t＝－1 3 ； 若 P 在第二象限，只需 1＋3t<0， 2＋3t>0， ∴－2 3