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- 2021-06-16 发布
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6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课
标
解
读
课标要求 核心素养
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.(一
般)
2.掌握向量共线坐标表示的条件.(难点)
1.借助数乘向量的坐标运算培养数学运算素养.
2.通过用坐标表示向量共线的条件培养逻辑推
理素养.
首都北京的中轴线是北京的中心标志,也是世界上现存最长的城市中轴线,在北京 700
余年的建筑格局上,中轴线起着相当重要的作用,但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正
北”的朝向,即它并没有和子午线重合.
问题 1:如何判断两条直线平行或重合呢?
答案 利用平行线的判定与性质.
问题 2:两向量是否共线又如何判断呢?
答案 利用平行向量定理.
1.平面向量数乘运算的坐标表示
文字描述 符号表示
向量 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,λ≠0
数乘
实数与向量的积的坐标
等于用这个实数乘原来
向量的①相应坐标
λa=②(λx1,λy1)
共线
向量共线的充要条件是
存在实数λ,使③a=λb
④x1y2-x2y1=0
特别提醒
向量共线的坐标表达式极易写错,如写成 x1y1-x2y2=0 或 x1x2-y1y2=0 都是不对的,因此要
理解并熟记这一公式,可简记为纵横交错积相减.
思考:能否写成
1
1
=
2
2
?
提示 不能,因为 x1,x2 有可能为 0.
2.线段常见的分点
分点坐标
线段端
点
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)
二等分
点
中点 ⑤
x1+x2
2 ,
y1+y2
2
三等分
点
靠近 P1
2x1 + x2
3 , 2y1 + y2
3靠近 P2
x1 + 2x2
3 , y1 + 2y2
3
探究一 向量数乘运算的坐标表示
例 1 (1)已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且 c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2 的值分别为
( )
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
(2)设向量 a,b 的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求下列各向量.
①3a;②2a+5b;③a-4b.
答案 (1)D
解析 (1)因为 a=(1,2),b=(2,3),
c=(3,4),c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),
所以
1 + 2 2 = 3,
2 1 + 3 2 = 4,
解得λ1=-1,λ2=2.
(2)①3a=3(-1,2)=(-3,6).
②2a+5b=2(-1,2)+5(3,-5)=(-2,4)+(15,-25)=(13,-21).
③a-4b=(-1,2)-4(3,-5)=(-13,22).
思维突破
向量的坐标运算
(1)主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算,
要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
(3)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
1-1 设向量α=(1,0),β=(0,1),γ=(4,5),若γ=λ(3α+2β)+μ(2α-β),其中λ,μ∈R,则
λ2+μ2= .
答案 5
解析 由已知可得γ=(3λ+2μ)α+(2λ-μ)β=(3λ+2μ,2λ-μ),
又γ=(4,5),
所以
3 + 2 = 4,
2 - = 5,
解得
= 2,
= -1,所以λ2+μ2=5.
探究二 向量共线的坐标表示
例 2 (1)已知 A,B,C 三点共线,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点的横坐标为 6,则 C 点的纵
坐标为( )
A.-13 B.9 C.-9 13
(2)已知向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则
λ= .
答案 (1)C (2)2
解析 (1)设 C(6,y),∵
∥
,
又
=(-8,8),
=(3,y+6),
∴-8×(y+6)-3×8=0,∴y=-9.
(2)因为 a=(1,2),b=(2,3),
所以λa+b=(λ,2λ)+(2,3)
=(λ+2,2λ+3).
因为向量λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线,
所以-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,解得λ=2.
思维突破
1.向量共线的判定方法
三点共线问题的实质是向量共线问题.
2.利用向量的坐标运算求参数
用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标,利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的
条件,建立关于参数的方程(组)进行求解.
2-1 已知 A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量
与
平行吗?直线 AB 平行于直线 CD
吗?
解析 根据题意知
=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),
=(2-1,7-5)=(1,2).
∵2×2-4×1=0,∴
∥
.
又
=(2,6),
=(2,4),
∴2×4-2×6≠0,
∴A,B,C 三点不共线,
∴AB 与 CD 不重合,∴AB∥CD.
2-2 (2020 山东淄博七中高一期中)设 A,B,C,D 为平面内的四点,且 A(1,3),B(2,-
2),C(4,1).
(1)若
=
,求 D 点的坐标;
(2)设向量 a=
,b=
,若 ka-b 与 a+3b 平行,求实数 k 的值.
解析 (1)设 D(x,y),
∵A,B,C,D 为平面内的四点,且 A(1,3),B(2,-2),C(4,1),
又
=
,
∴(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),
∴(1,-5)=(x-4,y-1),
∴
-4 = 1,
-1 = -5,
解得 x=5,y=-4,
∴D(5,-4).
(2)∵a=
=(1,-5),b=
=(2,3),
∴ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k,-5k)-(2,3)=(k-2,-5k-3),
a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(1,-5)+(6,9)=(7,4).
∵ka-b 与 a+3b 平行,
∴7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得 k=-
1
3
,
∴实数 k 的值为-
1
3
.
探究三 向量共线的应用
例 3 (易错题)已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|
|=2|
|,求点
P 的坐标.
解析 设点 P 的坐标为(x,y),
∵|
|=2|
|,
∴P 在线段 AB 上时,
=2
,
∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
∴
-3 = -2-2 ,
+ 4 = 4-2 ,
解得
=
1
3 ,
= 0,∴点 P 的坐标为
1
3 ,0
;
当 P 在线段 AB 的延长线上时,
=-2
,
∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
∴
-3 = 2 + 2 ,
+ 4 = -4 + 2 ,
解得
= -5,
= 8,
∴点 P 的坐标为(-5,8).
综上所述,点 P 的坐标为
1
3 ,0
或(-5,8).
1.(变条件)若将本例条件“|
|=2|
|”改为“
=3
”,其他条件不变,求点 P 的坐标.
解析 设点 P 的坐标为(x,y).
因为
=3
,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),
所以
-3 = -3-3 ,
+ 4 = 6-3 ,
解得
= 0,
=
1
2 ,所以点 P 的坐标为
0,
1
2
.
2.(变条件)若将本例条件改为“经过点 P(-2,3)的直线分别交 x 轴、y 轴于点 A,B,且
|
|=3|
|”,求点 A,B 的坐标.
解析 由题设知,A,B,P 三点共线,
且|
|=3|
|.设 A(x,0),B(0,y).
①点 P 在 A,B 之间,则有
=3
,
∴(-x,y)=3(-2-x,3),∴
- = -6-3 ,
= 9,
解得 x=-3,y=9,
点 A,B 的坐标分别为(-3,0),(0,9).
②点 P 不在 A,B 之间,则有
=-3
,
易得点 A,B 的坐标分别为
-
3
2 ,0
,(0,-9).
综上,点 A,B 的坐标分别为(-3,0),(0,9)或
-
3
2 ,0
,(0,-9).
易错点拨
常因点的位置考虑不全而造成过程性失分.
在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以根据几何问题转化为向量问题
后解方程(组)求解,同时应注意分类讨论.
3-1 已知两点 P1(3,2),P2(-8,3),点 P
1
2 ,y
满足
1P
=λ
2
,求λ及 y 的值.
解析 因为
1P
=
1
2 -3,y-2=
-
5
2 ,y-2
,
2
=
-8-
1
2 ,3-y
=
-
17
2 ,3-y
,
又
1P
=λ
2
,
所以
-
5
2 ,y-2
=λ
-
17
2 ,3-y
,
根据向量相等,
得
-
5
2 = -
17
2 ,
-2 = (3- ),
解得
=
5
17 ,
=
49
22 .
1.若向量 a=(
3
,1),b=(0,-2),则与 a+2b 共线的向量可以是( )
A.c=(
3
,-1) B.e=(-1,-
3
)
C.d=(-
3
,-1) D.f=(-1,
3
)
答案 D 因为 a+2b=(
3
,-3)=-
3
(-1,
3
),所以向量 a+2b 与(-1,
3
)是共线向量.
2.设点 P 是 P1(1,-2),P2(-3,5)连线上一点,且
2P
=-
1
2
·
1
,则点 P 的坐标为( )
A.(5,-9) B.(-9,5)
C.(-7,12) D.(12,-7)
答案 C 设 P(x,y),∵
2P
=-
1
2 1
,∴P2 是 P1P 的中点,∴-3=
1+
2
,5=
-2+
2
,
解得 x=-7,y=12,∴P(-7,12).
3.(多选题)已知 A(3,-6),B(-5,2),且 A,B,C 三点在一条直线上,则 C 点的坐标可能是( )
A.(-9,6) B.(-1,-2)
C.(-7,-2) D.(6,-9)
答案 ABD 设 C(x,y),则
=(x-3,y+6),
=(-8,8).
∵A,B,C 三点在同一条直线上,∴
-3
-8
=
+6
8
,即 x+y+3=0,将四个选项分别代入 x+y+3=0 验证可
知 A,B,D 符合要求.
4.已知 a=(2,1),b=(x,-1),且(a-b)与 b 共线,则|x|= .
答案 2
解析 由题知 a-b=(2-x,2),∵(a-b)∥b,
∴(2-x)×(-1)-2x=0,解得 x=-2,
∴|x|=2.
5.设 O 是坐标原点,
=(k,12),
=(4,5),
=(10,k),当 k 为何值时,A,B,C 三点共线?
解析 ∵
=(k,12),
=(4,5),
=(10,k),∴
=
-
=(4-k,-7),
=
-
=(10-k,k-12),又 A,B,C 三点共线,∴由两向量平行的充要条件,得(4-k)(k-
12)+7(10-k)=0,解得 k=-2 或 k=11,
即当 k=-2 或 k=11 时,A,B,C 三点共线.
逻辑推理——方程思想在平面几何中的应用
已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标.
解析 解法一:由 O,P,B 三点共线,得
∥
,
可设
=λ
=(4λ,4λ),
则
=
-
=(4λ-4,4λ),
=
-
=(-2,6).
由 A,P,C 三点共线,得
∥
,
∴(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=
3
4
,
∴
=
3
4
=(3,3),
∴点 P 的坐标为(3,3).
解法二:设点 P(x,y),则
=(x,y),
=(4,4).
∵P、B、O 三点共线,
∴
∥
,∴4x-4y=0.
又 A(4,0),C(2,6),O(0,0),
∴
=
-
=(x,y)-(4,0)=(x-4,y),
=
-
=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
∵P、A、C 三点共线,
∴
∥
,∴6(x-4)+2y=0,
∴
4 -4 = 0,
6( -4) + 2 = 0,
解得
= 3,
= 3.∴点 P 的坐标为(3,3).
素养探究:利用线段相交,得到三点共线,转化为向量共线,利用方程思想求解,过程中
体现了逻辑推理核心素养.
如图,在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
=
1
4
,
=
1
2
,AD 与 BC 交于点 M,
求点 M 的坐标.
解析 ∵点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
∴
=(0,5),
=(4,3).
设 C(x1,y1),∵
=
1
4
=
0,
5
4
,
∴x1=0,y1=
5
4
,
∴点 C 的坐标为
0,
5
4
.
同理可得点 D 的坐标为
2,
3
2
.
设点 M 的坐标为(x,y),则
=(x,y-5),
=
2,-
7
2
.
且 A,M,D 三点共线,∴
∥
,
∴-
7
2
x-2(y-5)=0,即 7x+4y=20.①
∵
=
, -
5
4
,
=
4-0,3-
5
4
=
4,
7
4
.
且 C,M,B 三点共线,
∴
∥
,
∴
7
4
x-4
-
5
4
=0,即 7x-16y=-20.②
由①②,得 x=
12
7
,y=2,
∴点 M 的坐标为
12
7 ,2
.
1.设向量 a=(x,-4),b=(1,-x),若向量 a 与 b 同向,则 x 等于( )
A.-2 B.2 C.±2 D.0
答案 B
2.已知向量 a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),则λ的值为( )
A.
1
2
B.
1
3
C.1 D.2
答案 A
3.已知向量 a=(1,1),b=(-1,0),λa+μb 与 a-2b 共线,则
等于( )
A.
1
2
B.2 C.-
1
2
D.-2
答案 C
4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,
则向量 c 等于( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
答案 D 因为 4a,3b-2a,c 对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以 4a+3b-2a+c=0,
则 c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
5.如图,在△ABC 中,
=
1
5
,EF∥BC,EF 交 AC 于 F,设
=a,
=b,则
等于( )
A.-a+
1
5
b B.a-
1
5
b
C.
2
3
a-
1
3
b D.
1
3
a+
2
3
b
答案 A ∵
=
1
5
,∴
=-
4
5
,
又∵EF∥BC,∴
=
1
5
=
1
5
(
-
),
∴
=
+
=-
4
5
+
1
5
(
-
)
=
1
5
-
=-a+
1
5
b.
6.已知△ABC 的顶点 A(2,3)和重心 G(2,-1),则 BC 边上的中点的坐标是 .
答案 (2,-3)
解析 设 BC 边上的中点为 D(x,y),
则
=2
,又 A(2,3),G(2,-1),
∴
=(0,-4),
=(x-2,y+1),
∴
2( -2) = 0,
2( + 1) = -4,
解得
= 2,
= -3,
故 D(2,-3).
7.已知 a=(1,1),b=(x2,x+λ)且 a∥b,则实数λ的最小值是 .
答案 -
1
4解析 因为 a∥b,所以 x2-x-λ=0,
即λ=x2-x=
-
1
2
2
-
1
4
≥-
1
4
,
所以λ的最小值为-
1
4
.
8.已知 A,B,C 三点共线,
=-
3
8
,点 A,B 的纵坐标分别为 2,5,则点 C 的纵坐标
为 .
答案 10
解析 设点 C 的纵坐标为 y,
∵A,B,C 三点共线,
=-
3
8
,点 A,B 的纵坐标分别为 2,5,
∴2-5=-
3
8
(y-2),∴y=10.
9.已知 A,B,C 三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且
=
1
3
,
=
1
3
.
(1)求点 E,F 的坐标;
(2)判断
与
是否共线.
解析 (1)设 E(x1,y1),F(x2,y2).依题意,得
=(2,2),
=(-2,3).
由
=
1
3
可知,(x1+1,y1)=
1
3
(2,2),
∴
1 + 1 =
2
3 ,
1 =
2
3 ,
解得
1 = -
1
3 ,
1 =
2
3 ,∴点 E 的坐标为
-
1
3 ,
2
3
.
由
=
1
3
可知,(x2-3,y2+1)=
1
3
(-2,3),
∴
2-3 = -
2
3 ,
2 + 1 = 1,
解得
2 =
7
3 ,
2 = 0,∴点 F 的坐标为
7
3 ,0
.
(2)由(1)可知,
=
7
3 ,0
-
-
1
3 ,
2
3
=
8
3 ,-
2
3
,
又
=(4,-1),
∴
=
2
3
(4,-1)=
2
3
,∴
与
共线.
10.已知点 A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若
=
+m
,且点 P 在 y 轴上,则 m=( )
A.-2 B.
1
5
C.-
1
5
D.2
答案 B 设 P(x,y),由题意得
=m
,
又 A(1,2),B(2,4),C(-3,5),
∴
=(x-1,y-2),
=(-5,1),
∴
-1 = -5 ,
-2 = ,
∴P(-5m+1,m+2),
又点 P 在 y 轴上,∴-5m+1=0,∴m=
1
5
.
11.在△ABC 中,已知 A(2,3),B(6,-4),G(4,-1)是中线 AD 上一点,且|
|=2|
|,那么点 C
的坐标为( )
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
答案 C 设 C(x,y),则有
=
1
2
(
+
)=
+2
2 ,
-10
2
.
又|
|=2|
|,
∴
=
2
3
=
+2
3 ,
-10
3
.
∵A(2,3),G(4,-1),∴
=(2,-4),
∴ +2
3 = 2,
-10
3 = -4,
解得
= 4,
= -2.∴C(4,-2).
12.若
=i+2j,
=(3-x)i+(4-y)j(其中 i,j 为单位向量且其方向分别与 x 轴,y 轴正方向相
同),
与
共线,则 x,y 的值可能分别为( )
A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4
答案 B ∵i,j 为单位向量且其方向分别与 x 轴,y 轴正方向相同,∴
=i+2j=(1,2),
=(3-x)i+(4-y)j=(3-x,4-y),
∵
与
共线,
∴1×(4-y)-2×(3-x)=0,
整理得 2x-y=2,结合选项可知 x,y 的值可能分别为 2,2.
13.已知向量 a=(-2,3),b∥a,向量 b 的起点为 A(1,2),终点 B 在坐标轴上,则点 B 的坐标
为 .
答案
0,
7
2
或
7
3 ,0解析 设 B(x,y),则
=(x-1,y-2)=b.由 b∥a,可设 b=λa(λ∈R),又 a=(-2,3),
∴b=(-2λ,3λ).
∴
-2 = -1,
3 = -2,
∴
= 1-2 ,
= 3 + 2.又点 B 在坐标轴上,则 1-2λ=0 或 3λ+2=0,
∴λ=
1
2
或λ=-
2
3
,
∴点 B 的坐标为
0,
7
2
或
7
3 ,0
.
14.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10).若
=
+λ
(λ∈R),试求λ为何值时,
(1)点 P 在第一、三象限的角平分线上;
(2)点 P 在第三象限内.
解析 设点 P 的坐标为(x,y),则
=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ
=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵
=
+λ
(λ∈R),
∴
-2 = 3 + 5 ,
-3 = 1 + 7 ,
则
= 5 + 5 ,
= 4 + 7 .(1)若点 P 在第一、三象限的角平分线上,
则 5+5λ=4+7λ,∴λ=
1
2
,
∴当λ=
1
2
时,点 P 在第一、三象限的角平分线上.
(2)若点 P 在第三象限内,则
5 + 5 < 0,
4 + 7 < 0,∴λ<-1,∴当λ<-1 时,点 P 在第三象限内.
15.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足 c=ma+nb 的实数 m,n;
(2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求 d.
解析 (1)因为 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),所以 c=ma+nb=(3m-n,2m+2n)=(4,1),
则
3 - = 4,
2 + 2 = 1,
解得 m=
9
8
,n=-
5
8
.
(2)由 d=(x,y),得 d-c=(x-4,y-1),
易知 a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,
所以
4( -4)-2( -1) = 0,
( -4)
2
+ (y-1)
2
= 1,
解得
= 4 +
5
5 ,
= 1 +
2 5
5
或
= 4-
5
5 ,
= 1-
2 5
5 ,
所以 d=
4 +
5
5 ,1 +
2 5
5
或 d=
4-
5
5 ,1-
2 5
5
.
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