高中数学人教a版必修四课时训练：1．2.2 同角三角函数的基本关系 5页

1．2.2 同角三角函数的基本关系 课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求 值和证明． 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________________. (2)商数关系：____________(α≠kπ＋π 2 ，k∈Z)． 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1 的变形公式： sin2α＝________；cos2α＝________； (sin α＋cos α)2＝____________________； (sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______； sin α·cos α＝______________________＝________________________. (2)tan α＝sin α cos α 的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________. 一、选择题 1．化简 sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D.3 2 2．若 sin α＋sin2α＝1，则 cos2α＋cos4α等于( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．若 sin α＝4 5 ，且α是第二象限角，则 tan α的值等于( ) A．－4 3 B.3 4 C．±3 4 D．±4 3 4．已知 tan α＝－1 2 ，则1＋2sin αcos α sin2α－cos2α 的值是( ) A.1 3 B．3 C．－1 3 D．－3 5．已知 sin α－cos α＝－ 5 2 ，则 tan α＋ 1 tan α 的值为( ) A．－4 B．4 C．－8 D．8 6．若 cos α＋2sin α＝－ 5，则 tan α等于( ) A.1 2 B．2 C．－1 2 D．－2 二、填空题 7．已知α是第四象限角，tan α＝－ 5 12 ，则 sin α＝________. 8．已知 tan θ＝2，则 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________. 9．已知 sin αcos α＝1 8 且π 4<α<π 2 ，则 cos α－sin α＝____. 10．若 sin θ＝k＋1 k－3 ，cos θ＝k－1 k－3 ，且θ的终边不落在坐标轴上，则 tan θ的值为________． 三、解答题 11．化简：1－cos4α－sin4α 1－cos6α－sin6α . 12．求证：1－2sin 2xcos 2x cos2 2x－sin2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x . 能力提升 13．证明： (1) 1－cos2α sin α－cos α －sin α＋cos α tan2α－1 ＝sin α＋cos α； (2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)． 14．已知 sin θ、cos θ是关于 x 的方程 x2－ax＋a＝0 的两个根(a∈R)． (1)求 sin3θ＋cos3θ的值； (2)求 tan θ＋ 1 tan θ 的值． 1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在 “同角”二字上，如 sin22α＋cos22α＝1，sin 8α cos 8α ＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同 角”． 2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一 般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求 sin α或 cos α时，其正负号是由角 α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式． 3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、 统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点． 1．2.2 同角三角函数的基本关系 答案 知识梳理 1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tan α＝sin α cos α 2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2 sin α＋cos α2－1 2 1－sin α－cos α2 2 (2)cos αtan α sin α tan α 作业设计 1．C 2.B 3.A 4．C [1＋2sin αcos α sin2α－cos2α ＝sin α＋cos αsin α＋cos α sin α＋cos αsin α－cos α ＝ sin α＋cos α sin α－cos α ＝tan α＋1 tan α－1 ＝ －1 2 ＋1 －1 2 －1 ＝－ 1 3.] 5．C [tan α＋ 1 tan α ＝sin α cos α ＋cos α sin α ＝ 1 sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－sin α－cos α2 2 ＝－1 8 ，∴tan α＋ 1 tan α ＝－8.] 6．B [方法一 由 cos α＋2sin α＝－ 5 cos2α＋sin2α＝1 联立消去 cos α后得(－ 5－2sin α)2＋sin2α＝1. 化简得 5sin2α＋4 5sin α＋4＝0 ∴( 5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－2 5 5 . ∴cos α＝－ 5－2sin α＝－ 5 5 . ∴tan α＝sin α cos α ＝2. 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－ 5， ∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5， ∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α cos2α＋sin2α ＝5， ∴1＋4tan α＋4tan2α 1＋tan2α ＝5， ∴tan2α－4tan α＋4＝0， ∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.] 7．－ 5 13 8.4 5 解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ sin2θ＋cos2θ ＝tan2θ＋tan θ－2 tan2θ＋1 ， 又 tan θ＝2，故原式＝4＋2－2 4＋1 ＝4 5. 9．－ 3 2 解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝3 4 ， ∵π 4<α<π 2 ，∴cos α